Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
[b]Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014. [/b]
[b]1.[/b] Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι. Τα παιδιά με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος) σημειώνουν μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το 1000. Δεν επιτρέπεται να σημειώσουν έναν ήδη σημειωμένο αριθμό, καθώς και οποιοδήποτε αριθμό που διαφέρει από κάποιο σημειωμένο κατά 1 ή που να δίνει με κάποιο σημειωμένο άθροισμα 1001. Αυτός που δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος έχει στρατηγική νίκης;
[b]2.[/b] Το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού είναι τέτοιο, ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις ρίζες, αλλά οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής , το πολύ δυο. Να αποδείξετε, ότι και η εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες.
[b]3.[/b] Θα ονομάσουμε τον μη μηδενικό φυσικό αριθμό «καλό», αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δυο πρώτων μεταξύ τους φυσικών αριθμών, ο πρώτος εκ των οποίων γράφεται σαν γινόμενο περιττού πλήθους πρώτων αριθμών (όχι απαραίτητα διαφορετικών) και ο δεύτερος ως άρτιου. Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν άπειροι καλοί που είναι τέταρτες δυνάμεις φυσικών αριθμών.
[b]4.[/b] Η διάμεσος του τριγώνου ισούται με την διχοτόμο , . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
[b]5.[/b] Δίνεται τετράγωνο . Τα κελία του οποίου χρωματίζονται με χρώματα έτσι, ώστε σε κάθε στήλη και κάθε γραμμή τα χρώματα όλων των κελιών να είναι διαφορετικά. Καμία τετράδα κελιών που βρίσκεται στην τομή δυο γραμμών και δυο στηλών, δεν μπορεί να είναι χρωματισμένη με ακριβώς τρία χρώματα. Με τι μπορεί να ισούται το ;
[b]6.[/b] Οι θετικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
[b]7.[/b] Στο εσωτερικό τριγώνου δίνεται κύκλος. Από το σημείο προς αυτό το κύκλο άγονται δυο εφαπτόμενες, οι οποίες τέμνουν την πλευρά στα σημεία και . Τα σημεία ορίζονται αναλόγως. Είναι γνωστό, ότι πέντε από αυτά τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι και το έκτο θα ανήκει σε αυτό το κύκλο.
[b]8.[/b] Δίνεται φυσικός αριθμός . Να αποδείξετε, ότι στις ακμές πλήρους γράφου κόμβων μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από μια φορά έτσι, ώστε σε κάθε (πιθανόν κλειστή) διαδρομή τριών ακμών το άθροισμα των αριθμών να είναι τουλάχιστον .
[url=http://www.239.ru/mathcenter?page=1]Πηγή
[/url]
[b]1.[/b] Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι. Τα παιδιά με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος) σημειώνουν μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το 1000. Δεν επιτρέπεται να σημειώσουν έναν ήδη σημειωμένο αριθμό, καθώς και οποιοδήποτε αριθμό που διαφέρει από κάποιο σημειωμένο κατά 1 ή που να δίνει με κάποιο σημειωμένο άθροισμα 1001. Αυτός που δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος έχει στρατηγική νίκης;
[b]2.[/b] Το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού είναι τέτοιο, ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις ρίζες, αλλά οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής , το πολύ δυο. Να αποδείξετε, ότι και η εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες.
[b]3.[/b] Θα ονομάσουμε τον μη μηδενικό φυσικό αριθμό «καλό», αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δυο πρώτων μεταξύ τους φυσικών αριθμών, ο πρώτος εκ των οποίων γράφεται σαν γινόμενο περιττού πλήθους πρώτων αριθμών (όχι απαραίτητα διαφορετικών) και ο δεύτερος ως άρτιου. Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν άπειροι καλοί που είναι τέταρτες δυνάμεις φυσικών αριθμών.
[b]4.[/b] Η διάμεσος του τριγώνου ισούται με την διχοτόμο , . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
[b]5.[/b] Δίνεται τετράγωνο . Τα κελία του οποίου χρωματίζονται με χρώματα έτσι, ώστε σε κάθε στήλη και κάθε γραμμή τα χρώματα όλων των κελιών να είναι διαφορετικά. Καμία τετράδα κελιών που βρίσκεται στην τομή δυο γραμμών και δυο στηλών, δεν μπορεί να είναι χρωματισμένη με ακριβώς τρία χρώματα. Με τι μπορεί να ισούται το ;
[b]6.[/b] Οι θετικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
[b]7.[/b] Στο εσωτερικό τριγώνου δίνεται κύκλος. Από το σημείο προς αυτό το κύκλο άγονται δυο εφαπτόμενες, οι οποίες τέμνουν την πλευρά στα σημεία και . Τα σημεία ορίζονται αναλόγως. Είναι γνωστό, ότι πέντε από αυτά τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι και το έκτο θα ανήκει σε αυτό το κύκλο.
[b]8.[/b] Δίνεται φυσικός αριθμός . Να αποδείξετε, ότι στις ακμές πλήρους γράφου κόμβων μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από μια φορά έτσι, ώστε σε κάθε (πιθανόν κλειστή) διαδρομή τριών ακμών το άθροισμα των αριθμών να είναι τουλάχιστον .
[url=http://www.239.ru/mathcenter?page=1]Πηγή
[/url]
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Μία λύση με αρκετή Άλγεβρα ...Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 15, 2019 11:48 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014.
4. Η διάμεσος του τριγώνου ισούται με την διχοτόμο , . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Είναι, (γνωστό, προκύπτει με νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα ) και .
Οπότε, πρέπει (1).
Ακόμη, είναι , οπότε από εδώ προκύπτει ότι , ή ισοδύναμα (2).
Θέτω, και άρα οι (1), (2) γίνονται :
(3) και
(4).
Οπότε, , και η (3) ξαναγράφεται (μετά την απλοποιήση με το ), (5).
Έστω, η συνάρτηση του πρώτου μέλους ως προς το .
Είναι εύκολο να δούμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
i) . Τότε, , οπότε .
Ακόμη, είναι , οπότε , συνεπώς , και το ζητούμενο δείχθηκε.
ii) . Τότε, ομοίως .
Ακόμη, , άρα και πάλι
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αναμένω μία Γεωμετρική απόδειξη ...
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
[quote="Ορέστης Λιγνός" post_id=308872 time=1550334247 user_id=15700]
[quote=Al.Koutsouridis post_id=308839 time=1550267339 user_id=11448]
[b]Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014. [/b]
[b]4.[/b] Η διάμεσος του τριγώνου ισούται με την διχοτόμο , . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
[/quote]
Μία λύση με αρκετή Άλγεβρα ...
Είναι, (γνωστό, προκύπτει με νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα ) και .
Οπότε, πρέπει (1).
Ακόμη, είναι , οπότε από [url=https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=21997&hilit=%CE%A3%CE%B1%CE%BD+%CE%A0%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B5%CE%B9%CE%BF]εδώ[/url] προκύπτει ότι , ή ισοδύναμα (2).
Θέτω, και άρα οι (1), (2) γίνονται :
(3) και
(4).
Οπότε, , και η (3) ξαναγράφεται (μετά την απλοποιήση με το ), (5).
Έστω, η συνάρτηση του πρώτου μέλους ως προς το .
Είναι εύκολο να δούμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
i) . Τότε, , οπότε .
Ακόμη, είναι , οπότε , συνεπώς , και το ζητούμενο δείχθηκε.
ii) . Τότε, ομοίως .
Ακόμη, , άρα και πάλι
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αναμένω μία Γεωμετρική απόδειξη ...
[/quote]
Μια άλλη λυση με γεωμετρία:
Έστω
διχοτομος της άρα
Στο τριγωνο :
Στο τριγωνο :
Όμως
Άρα (1)
Επίσης στο τριγωνο έχουμε:
Στο τριγωνο :
Οποτε άρα τα τρίγωνα
Και είναι ίσα(2)
Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι
Άρα
[quote=Al.Koutsouridis post_id=308839 time=1550267339 user_id=11448]
[b]Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014. [/b]
[b]4.[/b] Η διάμεσος του τριγώνου ισούται με την διχοτόμο , . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
[/quote]
Μία λύση με αρκετή Άλγεβρα ...
Είναι, (γνωστό, προκύπτει με νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα ) και .
Οπότε, πρέπει (1).
Ακόμη, είναι , οπότε από [url=https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=21997&hilit=%CE%A3%CE%B1%CE%BD+%CE%A0%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B5%CE%B9%CE%BF]εδώ[/url] προκύπτει ότι , ή ισοδύναμα (2).
Θέτω, και άρα οι (1), (2) γίνονται :
(3) και
(4).
Οπότε, , και η (3) ξαναγράφεται (μετά την απλοποιήση με το ), (5).
Έστω, η συνάρτηση του πρώτου μέλους ως προς το .
Είναι εύκολο να δούμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
i) . Τότε, , οπότε .
Ακόμη, είναι , οπότε , συνεπώς , και το ζητούμενο δείχθηκε.
ii) . Τότε, ομοίως .
Ακόμη, , άρα και πάλι
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αναμένω μία Γεωμετρική απόδειξη ...
[/quote]
Μια άλλη λυση με γεωμετρία:
Έστω
διχοτομος της άρα
Στο τριγωνο :
Στο τριγωνο :
Όμως
Άρα (1)
Επίσης στο τριγωνο έχουμε:
Στο τριγωνο :
Οποτε άρα τα τρίγωνα
Και είναι ίσα(2)
Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι
Άρα
τελευταία επεξεργασία από christinat σε Παρ Δεκ 18, 2020 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Τα παραπάνω ισχύουν αν τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αυτό όμως, πρέπει να αποδειχθεί.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Επειδή ζητήθηκε η λύση, παραθέτω την επίσιμη σε απόκρυψη, σε περίπτωση που θέλει κάποιος να την προσπαθήσει.έγραψε: ↑Παρ Φεβ 15, 2019 11:48 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014.
6. Οι θετικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Αλέξανδρε .
Τα στατιστικά!
Τα στατιστικά!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Καπού εκεί στη πηγή κρύβονται και τα στατιστικά, που θα έλεγε ο Μπομπ Ρος. Είναι ένα excel που μπορείτε να το δείτε εδώ.
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Ιουν 07, 2019 9:39 amΚαπού εκεί στη πηγή κρύβονται και τα στατιστικά, που θα έλεγε ο Μπομπ Ρος. Είναι ένα excel που μπορείτε να το δείτε εδώ.
Καλά το 7 είναι σούπερ!! Παρότι δεν το έχω έτοιμο πλήρως, έχω την αίσθηση ότι μπορεί να αποδειχτεί, ότι: αν τα τέσσερα από τα έξη σημεία είναι ομοκυκλικά ( στην εκφώνηση μιλάει για πέντε σημεία όχι τέσσερα), τότε και τα έξη είναι ομοκυκλικά.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Ισχύει πως τα έξι σημεία γενικά βρίσκονται σε κωνική *
οπότε έπεται άμεσα πως αν τα 5 ορίζουν κύκλο,και το 6ο ανήκει στον κύκλο.
*βλ. Εδώ θεώρημα Bradley:https://www.google.com/url?sa=t&source= ... ge31DoXN_Q
Υγ.Είχα δει μια απόδειξη πριν κάτι χρόνια.Θα προσπαθήσω να βρω μια καινούρια για αυτό το δυσκολούτσικο θεώρημα.
οπότε έπεται άμεσα πως αν τα 5 ορίζουν κύκλο,και το 6ο ανήκει στον κύκλο.
*βλ. Εδώ θεώρημα Bradley:https://www.google.com/url?sa=t&source= ... ge31DoXN_Q
Υγ.Είχα δει μια απόδειξη πριν κάτι χρόνια.Θα προσπαθήσω να βρω μια καινούρια για αυτό το δυσκολούτσικο θεώρημα.
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Νομίζω βρήκα μια που βασίζεται στις ενελίξεις (involutions):
Παίρνω τη μοναδική κωνική που εφάπτεται στις .
Ορίζω το ως την τομή της δεύτερης εφαπτομένης από το στην κωνική με την .
Ας είναι .
Από Dual of Desargues' Involution για το και την εγγεγραμμένη του κωνική,υπάρχει ενέλιξη που ανταλλάζει τις .
Έτσι καθώς κινείται το ,τα βρίσκονται σε ενέλιξη στην .
Η ενέλιξη αυτή καθορίζεται από τις τομές των παραπάνω δεσμών με την .
Αν πάρω την κωνική που περνά από τα θέλω να δείξω πως περνά και από το .
Καθώς όμως κινείται το οι παραπάνω περιγγεγραμμένες κωνικές του τετραπλεύρου
δημιουργούν ενέλιξη πάνω στην (τα σημεία τομής τους με την ευθεία...).Ουσιαστικά είναι το Desargues Involution.
Δείχνω ότι αυτή η ενέλιξη ταυτίζεται με την παραπάνω ενέλιξη που προκύπτει από την εγγεγραμμένη κωνική.
Αρκεί να δειχτεί πως οι 2 ενελίξεις έχουν 2 κοινά ζεύγη συζυγών σημείων,
Αυτό όμως είναι απλό:Και οι 2 π.χ. ανταλλάσσουν τα ,ενώ αν πάρω τις τομές των με την έστω που είναι συζυγή σημεία της πρώτης ενέλιξης
έχω τα σεβιανά τρίγωνα για τα οποία είναι γνωστό πως υπάρχει κωνική που περνά από τις κορυφές τους (πρόκειται για ειδική περίπτωση του θεωρήματος Carnot στο συννημένο της προηγούμενης ανάρτησης).
Άρα η δεύτερη ενέλιξη εκ των 2 ανταλλάσει και αυτή τα .Άρα οι 2 ενελίξεις ταυτίζονται και συνεπώς για οποιοδήποτε σημείο ,το αντίστοιχο βρίσκεται πάνω στην και το θεώρημα ουσιαστικά δείχτηκε.
Φιξάρω τα και παίρνω μεταβλητό σημείο πάνω στην .Παίρνω τη μοναδική κωνική που εφάπτεται στις .
Ορίζω το ως την τομή της δεύτερης εφαπτομένης από το στην κωνική με την .
Ας είναι .
Από Dual of Desargues' Involution για το και την εγγεγραμμένη του κωνική,υπάρχει ενέλιξη που ανταλλάζει τις .
Έτσι καθώς κινείται το ,τα βρίσκονται σε ενέλιξη στην .
Η ενέλιξη αυτή καθορίζεται από τις τομές των παραπάνω δεσμών με την .
Αν πάρω την κωνική που περνά από τα θέλω να δείξω πως περνά και από το .
Καθώς όμως κινείται το οι παραπάνω περιγγεγραμμένες κωνικές του τετραπλεύρου
δημιουργούν ενέλιξη πάνω στην (τα σημεία τομής τους με την ευθεία...).Ουσιαστικά είναι το Desargues Involution.
Δείχνω ότι αυτή η ενέλιξη ταυτίζεται με την παραπάνω ενέλιξη που προκύπτει από την εγγεγραμμένη κωνική.
Αρκεί να δειχτεί πως οι 2 ενελίξεις έχουν 2 κοινά ζεύγη συζυγών σημείων,
Αυτό όμως είναι απλό:Και οι 2 π.χ. ανταλλάσσουν τα ,ενώ αν πάρω τις τομές των με την έστω που είναι συζυγή σημεία της πρώτης ενέλιξης
έχω τα σεβιανά τρίγωνα για τα οποία είναι γνωστό πως υπάρχει κωνική που περνά από τις κορυφές τους (πρόκειται για ειδική περίπτωση του θεωρήματος Carnot στο συννημένο της προηγούμενης ανάρτησης).
Άρα η δεύτερη ενέλιξη εκ των 2 ανταλλάσει και αυτή τα .Άρα οι 2 ενελίξεις ταυτίζονται και συνεπώς για οποιοδήποτε σημείο ,το αντίστοιχο βρίσκεται πάνω στην και το θεώρημα ουσιαστικά δείχτηκε.
Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Καλημέρα,Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 15, 2019 11:48 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014.
2. Το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού είναι τέτοιο, ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις ρίζες, αλλά οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής , το πολύ δυο. Να αποδείξετε, ότι και η εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες.
Η έχει 4 ρίζες άρα η παράγωγος αυτής θα έχει 3 ρίζες. Δηλ. η θα έχει τρεις ρίζες και επειδή είναι 3ου βαθμού θα έχει την μορφή του σχήματος (μπλέ καμπύλη).
Η έχει το πολύ 2 ρίζες άρα η παράγωγος αυτής έχει μία ακριβώς ρίζα, δηλ. . Είναι η μπλέ καμπύλη μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά (πράσινη) έτσι ώστε τα τοπικά ακρότατα να βρίσκονται πάνω από τον άξονα .
Επομένως και η βρίσκεται μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά (κόκκινη) σε σχέση με την , άρα η έχει επίσης μία ακριβώς ρίζα δηλ. η παράγουσα αυτής η θα έχει το πολύ ρίζες.
Αυτό προφανώς ισχύει και για κάθε άλλη ευθεία με αρνητική κλίση όχι απαραίτητα με κλίση
- Συνημμένα
-
- P'(x).png (359.71 KiB) Προβλήθηκε 1521 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες