Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 10, 2019 1:55 pm
Πρόβλημα 1
Ορίζουμε τις ακολουθίες με ως εξής:
και
και
και
Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς , ώστε ο αριθμός
να είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και το ύψος του (το σημείο είναι το ίχνος του ύψους πάνω στην ). Έστω το σημείο τομής της με την . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων και , αντίστοιχα. Φέρουμε την ευθεία και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την . Αν τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια τάξη μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον μαθητές.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από τουλάχιστον ένα μαθητή απ’ αυτούς.
Ορίζουμε τις ακολουθίες με ως εξής:
και
και
και
Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς , ώστε ο αριθμός
να είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και το ύψος του (το σημείο είναι το ίχνος του ύψους πάνω στην ). Έστω το σημείο τομής της με την . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων και , αντίστοιχα. Φέρουμε την ευθεία και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την . Αν τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια τάξη μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον μαθητές.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από τουλάχιστον ένα μαθητή απ’ αυτούς.