2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του
. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 
.7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί
και 
, με 
. Έστω ![x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right )](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1278f999814b31213d2ac6649c42ed29.png "x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right )")
.Να δείξετε, ότι η ακολουθία
φθίνει. 8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο
φέρουμε το ύψος 
. Τα σημεία 
και 
είναι τα μέσα των τμημάτων 
και 
αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο 
του τριγώνου 
θεωρούμε την διάμετρο 
. Να δείξετε, ότι 
.9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό
-γωνο (
). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το -γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών. 10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών
δίνεται από τις συνθήκες 
, ![a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/470455dbb362d970db14020f1821bafc.png "a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]}")
για όλους τους φυσικούς 
. Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό 
σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το . (Ως συνήθως, με ![[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3e5314e9fd31509fdeb83faa0f729ba2.png "[x]")
συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το 
.)Πηγή
οι τέσσερις διαδοχικοί με 
.
είναι μεσοκάθετος της 
με 
σημείο της 
. 
. Από τον κύκλο 
και αυτό με τον κύκλο δίνουν ότι 
ισοσκελές τραπέδιο άρα 
. 
έχουμε 
μεσοκάθετη της οπότε 
![x_i> x_{i+1}\Leftrightarrow 2^i\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cc123cb95e44c10750ecf758f6e945cb.png "x_i> x_{i+1}\Leftrightarrow 2^i\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )")
![b_1=\sqrt[2^i]{b},a_1=\sqrt[2^i]{a}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7b698c3b1c9661b035e30ac69a034f84.png "b_1=\sqrt[2^i]{b},a_1=\sqrt[2^i]{a}")
![\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9d3b92a46cd3cbd8c755ffc60ad29f95.png "\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}")
![b> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{b}> 1\Leftrightarrow b_2> 1\\\.... a> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{a}> 1\Leftrightarrow a_2> 1\,\,\acute{\alpha} \rho \alpha \,\,a_2+b_2> 2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d76f6c97c51b097a5dd290f02104e9f8.png "b> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{b}> 1\Leftrightarrow b_2> 1\\\.... a> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{a}> 1\Leftrightarrow a_2> 1\,\,\acute{\alpha} \rho \alpha \,\,a_2+b_2> 2")