Σελίδα 1 από 1

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
από Al.Koutsouridis
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.


7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.


8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.


9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό n-γωνο (n \geq 4). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το n-γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.


10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών a_{1}, a_{2}, … δίνεται από τις συνθήκες a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]} για όλους τους φυσικούς n \geq1. Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό k σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το k. (Ως συνήθως, με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x.)


Πηγή

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 06, 2019 1:21 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη


6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.
Έστω 100+a,101+a,102+a,103+a οι τέσσερις διαδοχικοί με a\in \mathbb{N}^{*}
Αν a άρτιος,έστω a=2k.
Είναι
101+a+102+a+103+a=3a+306=3\left ( a+102 \right )=3\left ( 2k+102 \right )=3\cdot 2\cdot \left ( k+51 \right )
άρα για a άρτιο ισχύει.
Αν a περιττός ,έστω  a=2m+1
Είναι
100+a+101+a+102+a=3a+303=3\left ( a+101 \right )=3\left ( 2m+102 \right )=3\cdot 2\cdot \left ( m+51 \right )

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 06, 2019 2:55 pm
από STOPJOHN
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.


7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.


8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.


9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό n-γωνο (n \geq 4). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το n-γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.


10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών a_{1}, a_{2}, … δίνεται από τις συνθήκες a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]} για όλους τους φυσικούς n \geq1. Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό k σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το k. (Ως συνήθως, με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x.)


Πηγή

Πρόβλημα 8

Ειναι AM=MH,HN=NC,KL\perp AC,BH\perp AC

Εφόσον KLS//BH,BK=BK'\Rightarrow HS=SB'

ακόμη SN//B'C,MS//AB',MS=\dfrac{AB'}{2},SN=\dfrac{B'C}{2}

H KLS είναι μεσοκάθετος της MN

Αρα MS=SN\Rightarrow AB'=B'C



Γιάννης

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 06, 2019 4:11 pm
από Xriiiiistos
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.
BS\perp AC με S σημείο της AC. BH\cap \Omega \equiv X. Από τον κύκλο
\widehat{BB{}'N}=\widehat{BMN}\kappa \alpha \iota \widehat{BNB{}'}=\widehat{BHM}=90\alpha \rho \alpha \widehat{B{}'BN}=\widehat{MBH}
οπότε MX=B{}'N και αυτό με τον κύκλο δίνουν ότι MH{B}'N ισοσκελές τραπέδιο άρα \widehat{B{}'NS}=\widehat{XMH}.
Από την ισότητα των τριγώνων XMH,{B}'SN έχουμε SN=MH

SN=MH\Leftrightarrow SN+NC=MH+HN\Leftrightarrow SC=\frac{AH+HC}{2}=\frac{AC}{2}
Αυτο μας δείνει S μέσο AC άρα S{B}' μεσοκάθετη της οπότε A{B}'={B}'C

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 07, 2019 3:44 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.

Πρέπει να δείξουμε ότι x_{i}> x_{i+1}\,\,i=1,2,3,4.....
Είναι

x_i> x_{i+1}\Leftrightarrow 2^i\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )

Έστω b_1=\sqrt[2^i]{b},a_1=\sqrt[2^i]{a}

\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}

Έστω b_1=b_2^2,a_1=a_2^2

b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}\Leftrightarrow b_2^2-a_2^2> 2\left (b_2-a_2 \right )\Leftrightarrow b_2+a_2> 2

που ισχύει γιατί

b> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{b}> 1\Leftrightarrow b_2> 1\\\.... a> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{a}> 1\Leftrightarrow a_2> 1\,\,\acute{\alpha} \rho \alpha \,\,a_2+b_2> 2