Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 861
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.


7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.


8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.


9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό n-γωνο (n \geq 4). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το n-γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.


10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών a_{1}, a_{2}, … δίνεται από τις συνθήκες a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]} για όλους τους φυσικούς n \geq1. Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό k σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το k. (Ως συνήθως, με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x.)


Πηγή



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Φεβ 06, 2019 1:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη


6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.
Έστω 100+a,101+a,102+a,103+a οι τέσσερις διαδοχικοί με a\in \mathbb{N}^{*}
Αν a άρτιος,έστω a=2k.
Είναι
101+a+102+a+103+a=3a+306=3\left ( a+102 \right )=3\left ( 2k+102 \right )=3\cdot 2\cdot \left ( k+51 \right )
άρα για a άρτιο ισχύει.
Αν a περιττός ,έστω  a=2m+1
Είναι
100+a+101+a+102+a=3a+303=3\left ( a+101 \right )=3\left ( 2m+102 \right )=3\cdot 2\cdot \left ( m+51 \right )


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1770
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Φεβ 06, 2019 2:55 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 100. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 1.


7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.


8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.


9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό n-γωνο (n \geq 4). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το n-γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.


10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών a_{1}, a_{2}, … δίνεται από τις συνθήκες a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{[\sqrt{n}]} για όλους τους φυσικούς n \geq1. Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό k σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το k. (Ως συνήθως, με [x] συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το x.)


Πηγή

Πρόβλημα 8

Ειναι AM=MH,HN=NC,KL\perp AC,BH\perp AC

Εφόσον KLS//BH,BK=BK'\Rightarrow HS=SB'

ακόμη SN//B'C,MS//AB',MS=\dfrac{AB'}{2},SN=\dfrac{B'C}{2}

H KLS είναι μεσοκάθετος της MN

Αρα MS=SN\Rightarrow AB'=B'C



Γιάννης
Συνημμένα
Πανρώσικη Ολυμπιαδα Μαθηματικών 2018_19 ,10 ταξη ,2 μέρα πρόβλημα 8.png
Πανρώσικη Ολυμπιαδα Μαθηματικών 2018_19 ,10 ταξη ,2 μέρα πρόβλημα 8.png (119.01 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Φεβ 06, 2019 4:11 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε το ύψος BH. Τα σημεία M και N είναι τα μέσα των τμημάτων AH και CH αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του τριγώνου BMN θεωρούμε την διάμετρο BB^{\prime}. Να δείξετε, ότι AB^{\prime} =CB^{\prime}.
BS\perp AC με S σημείο της AC. BH\cap \Omega \equiv X. Από τον κύκλο
\widehat{BB{}'N}=\widehat{BMN}\kappa \alpha \iota \widehat{BNB{}'}=\widehat{BHM}=90\alpha \rho \alpha \widehat{B{}'BN}=\widehat{MBH}
οπότε MX=B{}'N και αυτό με τον κύκλο δίνουν ότι MH{B}'N ισοσκελές τραπέδιο άρα \widehat{B{}'NS}=\widehat{XMH}.
Από την ισότητα των τριγώνων XMH,{B}'SN έχουμε SN=MH

SN=MH\Leftrightarrow SN+NC=MH+HN\Leftrightarrow SC=\frac{AH+HC}{2}=\frac{AC}{2}
Αυτο μας δείνει S μέσο AC άρα S{B}' μεσοκάθετη της οπότε A{B}'={B}'C


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 07, 2019 3:44 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη



7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a και b, με b > a >1. Έστω
x_{n}=2^{n} \left (\sqrt[ 2^{n}]{ b} - \sqrt[2^{n}]{ a} \right ).
Να δείξετε, ότι η ακολουθία x_{1},x_{2},… φθίνει.

Πρέπει να δείξουμε ότι x_{i}> x_{i+1}\,\,i=1,2,3,4.....
Είναι

x_i> x_{i+1}\Leftrightarrow 2^i\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )

Έστω b_1=\sqrt[2^i]{b},a_1=\sqrt[2^i]{a}

\left ( \sqrt[2^i]{b} -\sqrt[2^i]{a}\right )> 2\left ( \sqrt[2^{i+1}]{b}-\sqrt[2^{i+1}]{a} \right )\Leftrightarrow b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}

Έστω b_1=b_2^2,a_1=a_2^2

b_1-a_1> 2\sqrt{b_1}-2\sqrt{a_1}\Leftrightarrow b_2^2-a_2^2> 2\left (b_2-a_2 \right )\Leftrightarrow b_2+a_2> 2

που ισχύει γιατί

b> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{b}> 1\Leftrightarrow b_2> 1\\\.... a> 1\Leftrightarrow\sqrt[2^i]{a}> 1\Leftrightarrow a_2> 1\,\,\acute{\alpha} \rho \alpha \,\,a_2+b_2> 2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες