ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 19, 2019 9:09 am

Αγαπητοί φίλοι,

Ας συζητήσουμε εδώ τις λύσεις των θεμάτων του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" της ΕΜΕ [b][color=#FF0000]όχι όμως νωρίτερα από τις 12 που είναι η επίσημη λήξη του διαγωνισμού[/color][/b]! Τα θέματα θα ανέβουν με τη λήξη του.

Καλή επιτυχία στους μαθητές που διαγωνίζονται!

Αλέξανδρος
Συνημμένα
2019-ΘΕΜΑΤΑ_ΕΥΚΛΕΙΔΗ_2019_01_19.pdf
(477.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 1850 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:01 pm

Πρόβλημα- 1 Α' Λυκείου

\displaystyle {a^3} + {b^3} = 2ab(a + b) \Leftrightarrow (a + b)({a^2} - 3ab + {b^2}) = 0 κι επειδή οι a, b είναι θετικοί θα είναι \displaystyle a + b \ne 0,

άρα \displaystyle {a^2} + {b^2} = 3ab \Rightarrow {a^4} + {b^4} = 7{a^2}{b^2} (1) και \displaystyle K = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^4} + {b^4}}}{{{a^2}{b^2}}}\mathop  = \limits^{(1)} 7


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm

ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι x\ne 0. Παρατηρούμε ότι αν x>0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=3

ενώ αν x<0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=-3

Συνεπώς,

-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1 για x>0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=3

και

1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1 για x<0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=-3

Έτσι, \cos(xy)=1, με x=-3 και xy=0 ή \cos(xy)=-1 με x=3 και xy=\pi. ή xy=-\pi

Συνεπώς, οι λύσεις είναι (x,y)=(-3,0) και (x,y)=(3,\pi/3) ή (x,y)=(3,-\pi/3).

Επεξεργασία (2:53μμ):Μια άσκηση παρόμοια με αυτή του ΘΕΜΑΤΟΣ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ βρίσκεται εδώ.

Η ιδέας της λύση που δώσαμε τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια λύση διαφορετική από αυτή που δώσαμε παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 19, 2019 2:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:03 pm

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι θετικοί διαιρέτες του 50 που αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το  3 είναι οι 1,10,25

και οι θετικοί διαιρέτες του 243 που αφήνουν υπόλοιπο 3 όταν διαιρεθούν με το 4 είναι οι 3,27,243.

Εύκολα βρίσκουμε ότι n=1,4,9 και m=1,7,61.

(α) Αφού 2(n+1)\leq 20 και -3(m+2)\leq -9 έχουμε

A\leq 20-9+7=18 με το ίσο αν και μόνο αν (n,m)=(9,1).

(β) Αφού \dfrac{1}{n^2}\geq \dfrac{1}{9^2} και \dfrac{m^2}{3721}\leq \dfrac{61^2}{3721}=1

είναι

B=\dfrac{162}{n^2}-\dfrac{m^2}{3721}\geq \dfrac{162}{81}-1=1,

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν (n,m)=(9,61).

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Από τις δοθείσες σχέσεις παίρνουμε

\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{y}+\dfrac{5}{z}=\dfrac{5}{z}+\dfrac{1}{x}},

οπότε z=5x και y=3x.

Άρα η

\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{140}{x^2+y^2+z^2}}

δίνει

\displaystyle{\dfrac{2}{x}=\dfrac{140}{x^2+9x^2+25x^2}=\dfrac{4}{x^2}},

η οποία δίνει x=2. Άρα (x,y,z)=(2,6,10).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:06 pm

Πρόβλημα 4 Β Λυκείου
Ευκλείδης 2019 Β Λυκείου.png
Ευκλείδης 2019 Β Λυκείου.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 10445 φορές
H AC είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, άρα \displaystyle A\widehat IC = A\widehat KC = 90^\circ  \Leftrightarrow \boxed{CI=CK}

\displaystyle IA = IK \Leftrightarrow \omega  = \varphi  \Leftrightarrow 90^\circ  - K\widehat AC = 90^\circ  - B\widehat AD \Leftrightarrow K\widehat AC = B\widehat AD \Leftrightarrow \boxed{CK=BD}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:07 pm

Πρόβλημα – 1 Β Λυκείου

\displaystyle ||x + 8| - 3x| = \frac{{x + 7}}{6}
Επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, το ίδιο θα συμβαίνει και με το δεύτερο, άρα \displaystyle x \ge  - 7 \Rightarrow x >  - 8

Οπότε η εξίσωση γράφεται:\displaystyle |x + 8 - 3x| = \frac{{x + 7}}{6} \Leftrightarrow  - 2x + 8 = \frac{{x + 7}}{6} ή \displaystyle  - 2x + 8 =  - \frac{{x + 7}}{6}

απ’ όπου παίρνουμε τις λύσεις \boxed{x=\frac{41}{13}} ή \boxed{x=5}} που επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 798
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:09 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι x\ne 0. Παρατηρούμε ότι αν x>0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=3

ενώ αν x<0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=-3

Συνεπώς,

-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1 για x>0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=3

και

1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1 για x<0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=-3

Έτσι, \cos(xy)=1, με x=-3 και xy=0 ή \cos(xy)=-1 με x=3 και xy=0.

Συνεπώς, οι λύσεις είναι (x,y)=(-3,0) και (x,y)=(3,0)
Κάτι δεν πάει καλά. Η (3, 0) δεν επαληθεύει, ενώ αντίθετα επαληθεύουν οι (3, \frac{\pi}{3}) και (3, -\frac{\pi}{3})


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:10 pm

Πρόβλημα – 4 Α’ Λυκείου
Ευκλείδης 2019 Α Λυκείου.png
Ευκλείδης 2019 Α Λυκείου.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 10415 φορές

α) Φέρνω τη διάμετρο BOZ και έστω K το συμμετρικό του Z ως προς C και H η προβολή του C στην AE. Το τρίγωνο

ZBK είναι ισοσκελές κι επειδή \widehat Z=60^\circ θα είναι ισόπλευρο. Είναι όμως BD=2DC, άρα D είναι το βαρύκεντρο του

τριγώνου ZBK που σημαίνει ότι τα σημεία K, E, O είναι συνευθειακά. Με \displaystyle KO \bot BZ \Leftrightarrow \boxed{D\widehat OC=30^\circ}

β) Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων BOD, CHD είναι \displaystyle HC = \frac{{BO}}{2} = \frac{R}{2}
\displaystyle (ABEC) = (ABE) + (ACE) = \frac{1}{2}AE \cdot BO + \frac{1}{2}AE \cdot CH = R\left( {R + \frac{R}{2}} \right) = \frac{{3{R^2}}}{2}

Αλλά, \displaystyle a = R\sqrt 3  \Leftrightarrow R = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow \boxed{(ABEC)=\frac{a^2}{2}}


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:13 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:09 pm
achilleas έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι x\ne 0. Παρατηρούμε ότι αν x>0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=3

ενώ αν x<0, τότε \dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0 με την ισότητα αν-ν x=-3

Συνεπώς,

-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1 για x>0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=3

και

1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1 για x<0 με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=-3

Έτσι, \cos(xy)=1, με x=-3 και xy=0 ή \cos(xy)=-1 με x=3 και xy=0.

Συνεπώς, οι λύσεις είναι (x,y)=(-3,0) και (x,y)=(3,0)
Κάτι δεν πάει καλά. Η (3, 0) δεν επαληθεύει, ενώ αντίθετα επαληθεύουν οι (3, \frac{\pi}{3}) και (3, -\frac{\pi}{3})
Ευχαριστώ! Το προφανές σφάλμα διορθώθηκε. Είναι xy=\pm \pi στη 2η περίτπωση, όχι xy=0. :oops:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:24 pm

Θεωρώ.......να ανεβάζονται λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις.ΑΙσθανομαι σαν να ....στο πηγάδι.


Μενέλαος
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Ιουν 19, 2018 2:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μενέλαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

Γεια σας ,
Θα ήθελα να προσθέσω και εγω, μια λύση του προβλήματος 2 της τρίτης γυμνασίου

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
τελευταία επεξεργασία από Μενέλαος σε Σάβ Ιαν 19, 2019 1:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


LeoKoum
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:33 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από LeoKoum » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:03 pm

Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm

Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).


Σιλουανός Μπραζιτίκος
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:08 pm

LeoKoum έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:03 pm
Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου
Ολοκλήρωμα για να γράψεις το εμβαδόν τραπεζίου συναρτήσει του m; Πάντως και εγώ βρήκα m=2


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm

Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2} να λυθεί x^{2}+6xcos(xy)+9=0

Λύση

cos(xy)=n, -1\leq n \leq1
x^{2}+6nx+9=0

\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1 Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο n=\pm 1
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Σάβ Ιαν 19, 2019 1:17 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Μενέλαος
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Ιουν 19, 2018 2:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μενέλαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm

silouan έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm
Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789


Μενέλαος
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Ιουν 19, 2018 2:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μενέλαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:12 pm

Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm
silouan έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm
Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789
Όντως από απροσεξία το γ το έγραψα λάθος είναι 755533222


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:12 pm

Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm
silouan έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm
Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789
βάλε και το 1 στο παιχνίδι :D


Μενέλαος
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Ιουν 19, 2018 2:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μενέλαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:17 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:12 pm
Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm
silouan έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm
Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222 :)
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789
βάλε και το 1 στο παιχνίδι :D
Επίσης θα ήθελα να ρωτήσω : το σχήμα βαθμολογείται ; ( δηλαδή τι γίνεται σε περίπτωση που δεν υπάρχει σχήμα )


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 424
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:29 pm

Θέμα 1 β' γυμνασίου

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}+a^{2}}{b^{2}}-10 \right )\left ( \dfrac{a^{2}-3b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )
για \dfrac{a}{\beta}=3

Λύση:

A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}}{\beta^{2}}+\dfrac{a^{2}}{\beta^2} -10\right )\left ( \dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{3\beta^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )=\left ( 3+\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^2 -10\right )\left ( 1+3\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^{-2} +\dfrac{13}{3}\right )=...\left ( 3+9-10 \right )\left ( 1-\dfrac{2}{3} +\dfrac{13}{3}\right )=2\cdot \dfrac{15}{3}=10\Leftrightarrow A=10
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Σάβ Ιαν 19, 2019 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης