ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 517
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 am

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm
Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2} να λυθεί x^{2}+6xcos(xy)+9=0

Λύση

cos(xy)=n, -1\leq n \leq1
x^{2}+6nx+9=0

\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1 Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο n=\pm 1
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;



Λέξεις Κλειδιά:
queenf
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 10:08 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#82

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από queenf » Κυρ Ιαν 20, 2019 10:11 am

Παω β γυμνασιου Ποσα θεματα πιστευετε επρεπε να εχω απαντησει σωστα για να περασω ;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2241
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#83

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 20, 2019 10:12 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 am
Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm
Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2} να λυθεί x^{2}+6xcos(xy)+9=0

Λύση

cos(xy)=n, -1\leq n \leq1
x^{2}+6nx+9=0

\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1 Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο n=\pm 1
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;
Γιατί να μην μπορούμε;


Χριστίνα..:
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 10:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#84

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χριστίνα..: » Κυρ Ιαν 20, 2019 10:39 am

Εγω έλυσα το πρώτο αλλά λάθος το δεύτερο το β ερώτημα και το τρίτο και πάω β γυμνασίου πως λέτε να τα πήγα;;


Χριστίνα..:
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 10:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#85

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χριστίνα..: » Κυρ Ιαν 20, 2019 10:43 am

Επίσης ποτε θα βγουν τα αποτελέσματα περίπου;;;


AquaticLand
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 17, 2018 3:58 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#86

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AquaticLand » Κυρ Ιαν 20, 2019 12:58 pm

Καλησπέρα σας!Μπορει Μηπως κανεις να δημιουργήσει ενα poll για κάθε ταξη για να δούμε ποσα θέματα απαντήσαμε πάνω κάτω;
Ευχαριστω


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#87

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Ιαν 20, 2019 1:12 pm

Καλησπέρα σας. Θα προτείνω και εγώ τη δική μου λύση για το θεμα 4 Α Λυκείου.
α) Είναι BOC\angle =2BAC\angle=120^{0} και OBC\angle =OCB\angle =30^{0}. Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα BOD, DOC προκύπτουν οι σχέσεις \frac{BD}{sinBOD}=\frac{OD}{sin30} και \frac{DC}{sinDOC}=\frac{OD}{sin30} άρα ισχύει \frac{BD}{sinBOD}=\frac{DC}{sinDOC} και αφού BD=2DC και BOD\angle =120-DOC\angle καταλήγουμε μετά από πράξεις στην τριγωνομετρική εξίσωση tan(DOC)=\frac{\sqrt{3}}{3} άρα DOC\angle =30^{0}.
b) 'Εστω BD=2b , DC=b. OB=2b*cos30=\sqrt{3}b=OA=OE,AB=\sqrt{2}OA=\sqrt{6}b=BE\Rightarrow (ABE)=3b^{2}.
Επίσης, από τη σχέση sin30=2sin15cos15 προκύπτει ότι sin15=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} . Επίσης EC=sin15*AE=\sqrt{6-3\sqrt{3}}b,       AC=\sqrt{AE^{2}- EC^{2}}=\sqrt{6+3\sqrt{3}}b\Rightarrow    (AEC)=AC*EC/2=3b^{2}/2
Τέλος, (ABEC)=(ABE)+(AEC)=3b^{2}+\frac{3b^{2}}{2}=\frac{9b^{2}}{2}=\frac{9}{2}*\frac{a^{2}}{9}=\frac{a^{2}}{2}.
τελευταία επεξεργασία από panagiotis iliopoulos σε Δευ Ιαν 21, 2019 7:26 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#88

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Κυρ Ιαν 20, 2019 1:50 pm

Μία λύση για το θέμα 1 της Γ Λυκείου είναι να επιλέξουμε x=1,2,..9 και να υπολογίσουμε εύκολα το πλήθος s των A ως s=9* (999/37+1)


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2610
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#89

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιαν 20, 2019 1:52 pm

ΘΕΜΑ 4- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.

H είναι το μέσο του A\Gamma και N είναι το μέσο του AB. (αντί για \Sigma και P).
Συνημμένα
euclid_C_2019_no4.png
euclid_C_2019_no4.png (39.62 KiB) Προβλήθηκε 1222 φορές


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2508
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#90

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Ιαν 20, 2019 2:00 pm

Θέμα 3 β λυκείου

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x,y) που είναι λύσεις της εξίσωσης x^2 + 6 x \cos(xy)+9=0 και ανήκουν στο ορθογώνιο
D = \left\{ -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\right\} του Καρτεσιανού επιπέδου Oxy.

Όμορφο θέμα κατά τη γνώμη μου.

Λύση

Θεωρούμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου:
\Delta = 36 \cos^2 (xy) - 36 = 36 (\cos^2 (xy) - 1 )\leq 0.

Οπότε, η εξίσωση έχει λύσεις μόνο για \Delta = 0 \Leftrightarrow \cos(xy) = \pm 1.

\Leftrightarrow \cos(xy) = \cos(0) ή  \cos(xy) = \cos \pi \Leftrightarrow
xy = 2k\pi ή  xy = k\pi , k\in \mathbb{Z}.

Συνεπώς xy = k\pi , \ k \in \mathbb{Z}.

Θεωρούμε τώρα τις περιπτώσεις των τεταρτημορίων του δοθέντος ορθογωνίου στο οποίο θέλουμε τις λύσεις:
1ο τεταρτημόριο
Αν  0\leq x\leq \pi , 0\leq y \leq \frac{\pi}{2} έχουμε:

0 \leq xy \leq \frac{\pi^2}{2} \Leftrightarrow 0\leq \pi \leq \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow k = 0 , k =1
Οπότε yx = 0\ \eta\ yx = \pi \Leftrightarrow y=0\ \eta\ x=0\ \eta\ yx = \pi.

Αν yx=\pi η εξίσωση γίνεται x^2 - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=3, οπότε \fbox{(x,y) = \left(3, \frac{3}{\pi} \right)}.

Αν y=0 η εξίσωση γίνεται x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=-3, οπότε \fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right)} η οποία εδώ απορρίπτεται γιατί τώρα δουλεύουμε στο 1ο τεταρτημόριο του ορθογωνίου, αλλά θα προκύψει καθώς θα κάνουμε τα ίδια για το
2ο τεταρτημόριο

Έχουμε ότι : -\pi \leq x \leq 0,   0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}
οπότε 0 \leq -x \leq \pi \Rightarrow  0 \leq -xy \leq \frac{\pi^2}{2} \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2} \leq k \leq 0 \Leftrightarrow k=-1,\ k=0.

Οπότε yx = 0\ \eta\ yx = -\pi \Leftrightarrow y=0\ \eta\ x=0\ \eta\ yx = -\pi.

Αν yx=-\pi η εξίσωση γίνεται x^2 - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=3, οπότε \fbox{(x,y) = \left(3, -\frac{3}{\pi} \right)}.
Αν y=0 η εξίσωση γίνεται x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=-3, οπότε \fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right)}.

Ομοίως μπορούμε να εργαστούμε για τα άλλα δύο τεταρτημόρια του ορθογωνίου και τελικά οι λύσεις είναι:

\fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right) , \left(3, -\frac{3}{\pi} \right) , \left(3, \frac{3}{\pi} \right)}.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2508
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#91

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Ιαν 20, 2019 3:06 pm

Θέμα 2 β λυκείου

Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z ικανοποιούν τις ισότητες x+2y = y+3z = z + 5x, να βρείτε:

α) την τιμή των λόγων \frac{x}{y} , \frac{z}{y}.
β) τις τιμές των x,y,z για τις οποίες η παράσταση x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144 παίρνει την ελάχιστη τιμή της.


Λύση

Οι τρεις σχέσεις μπορούν να γραφούν ως ένα ομογενές σύστημα 3Χ3 ως εξής:

\displaystyle{\displaystyle \left\{\begin{matrix} 
x + 2y = y + 3z\\ 
x+2y = z + 5x\\ 
y+3z = z + 5x 
\end{matrix} 
\right. \Leftrightarrow 
\left\{\begin{matrix} 
x + y -3z = 0\\ 
-4x  + 2y -z = 0\\ 
-5x + y + 2z = 0 
\end{matrix} 
\right. \Leftrightarrow 
\left\{\begin{matrix} 
x+y-3z = 0\\ 
-13x + 5y = 0 \\ 
6y -13 z = 0 
\end{matrix} 
\right. \Rightarrow 
\frac{x}{y}=\frac{5}{13}, \frac{z}{y} =\frac{6}{13} 
}

Παρατήρηση: Το σύστημα, ως ομογενές, αντιστοιχεί σε τρία επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Βλέπε και σχήμα. Τρία τέτοια επίπεδα είτε έχουν μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων, είτε έχουν άπειρα κοινά σημεία που βρίσκονται σε μία ευθεία. Αν μεταβάλετε για παράδειγμα το συντελεστή 3 της πρώτης εξίσωσης σε -1 θα δείτε τρία επίπεδα που διέρχονται από μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο.

Τώρα, για την μέγιστη τιμή της παράστασης x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144 μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε από τις σχέσεις που βρέθηκαν στο α ερώτημα, οπότε έχουμε:

x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144 = \frac{25}{169}y^2 +y^2 +\frac{36}{169}y^2 - 2y +144 = \frac{230}{169}y^2 - 2y -144

η οποία είναι μία παραβολή ως προς y και λαμβάνει όντως ελάχιστη τιμή αφού
a=\frac{230}{169} >0 για y = \frac{-b}{2a} = \frac{169}{230}.
Με αντικατάσταση προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή δίνεται για x=\frac{13}{46}, y=\frac{169}{230}, z=\frac{39}{115}.
$


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 517
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#92

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Κυρ Ιαν 20, 2019 4:44 pm

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Έστω M το μέσο του BD. Είναι AH=2OM.
CK^2=AC^2-AH^2=4R^2-4OM^2=4BM^2 άρα CK=2BM=BD


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2508
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#93

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Ιαν 20, 2019 5:03 pm

Συνοψίζοντας τους συνδέσμους με όλες τις λύσεις


Β γυμνασίου
Θέμα 1ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 33#p307733

Θέμα 2ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 44#p307744

Θέμα 3ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 46#p307746


Θέμα 4ο


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307751


Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860

Θέμα 2ο



https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860

Θέμα 3ο


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307861


Θέμα 4ο


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307870

Α λυκείου
Θέμα 1ο


Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b είναι τέτοιοι, ώστε  \displaystyle  a^3 + b^3 = 2ab (a+b) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K=\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{a^2}.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 6#p307706

Θέμα 2ο


Oi Θετικοί ακέραιοι m,n είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί \frac{50}{3n-2}, \frac{243}{4m -1} να είναι θετικοί ακέραιοι.

α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
\displaystyle A = 2(n+1) - 3(m+2) + 7
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
\displaystyle B = \frac{162}{n^2} -\frac{m^2}{3721}



https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709


Θέμα 3ο


Na προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z που ικανοποιούν τις εξισώσεις:
\displaystyle  \frac{y+3x}{xy} = \frac{3z + 5y}{yz} =\frac{5x + z}{zx}=\frac{140}{x^2 + y^2 + z^2}


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709


Θέμα 4ο


Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma, me \hat{A}	 = 60^o. Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου C(O,R), του τριγώνου AB\Gamma τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ έτσι, ώστε B\Delta = 2 \cdot \Delta \Gamma.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 13#p307713

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 41#p307741

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p307799

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 06#p307806

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307840
Β λυκείου


Θέμα 1ο


Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση:
\displaystyle \big| |x+8| - 3x \big| = \frac{x+7}{6} .



https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11#p307711

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 23#p307823


Θέμα 2ο


Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z ικανοποιούν τις ισότητες x+2y = y+3z = z + 5x, να βρείτε:

α) την τιμή των λόγων \frac{x}{y} , \frac{z}{y}.

β) τις τιμές των x,y,z για τις οποίες η παράσταση x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144 παίρνει την ελάχιστη τιμή της.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52#p307852

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307740

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 88#p307788

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 18#p307818

Θέμα 3ο


Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x,y) που είναι λύσεις της εξίσωσης x^2 + 6 x \cos(xy)+9=0 και ανήκουν στο ορθογώνιο
D = \left\{ -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\right\} του Καρτεσιανού επιπέδου Oxy.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p307708

Θέμα 4ο

Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο C_1 (O,R) τέτοιο, ώστε \hat{B}=\hat{\Delta}=90^o. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΔ. Ο κύκλος C_2 (A, AH) κέντρου Α και ακτίνας ΑΗ τέμνει τον κύκλο C_1 (O,R) στα σημεία Ι και Κ. Να αποδείξετε ότι ΓΙ=ΓΚ = ΒΔ.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 10#p307710

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 05#p307805

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 55#p307855

Γ λυκείου


Θέμα 1ο

Να βρειτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: }\displaystyle A = \overline{xxxabc}  =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c  \displaystyle{
όπου x,a,b,c ψηφία με x\neq 0, διαιρούνται με το 37.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p307821

Θέμα 2ο


Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=|mx+4| + |mx-4|,\ m>0 και y=12 ορίζουν κυρτό επίπεδο σχήμα του οποίου το εμβαδό ισούται με 20τ.μ. Να προσδιορίσετε την τιμή της πραγματικής παραμέτρου m>0.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 25#p307825


Θέμα 3ο

Δίνεται η αλγεβρική παράσταση

\displaystyle A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}

Να απλοποιήσετε την παράσταση A και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4, για κάθε τιμή της παραμέτρου a \in \mathbb{R}.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 90#p307790

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 17#p307817

Θέμα 4ο

Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο, ώστε \hat{A} = \hat{B}<90^o και A\Delta + B\Gamma = \Gamma\Delta. Η παράλληλη ευθεία προς την πλευρά ΑΔ από το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΔΖ τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΓΚ και ΔΛ τέμνονται στο σημείο Θ και οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΘ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.


https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 43#p307743

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 49#p307749

Edit: Γιώργο Ρίζο ευχαριστούμε για τη συμπλήρωση των τελευταίων λύσεων. Θα το έκανα, όπως και για τις εκφωνήσεις, αλλά από αύριο γιατί έπρεπε να τελειώσω κάτι διορθώσεις σήμερα !
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Κυρ Ιαν 20, 2019 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 8 φορές συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
GeorgeSal
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 4:58 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#94

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GeorgeSal » Κυρ Ιαν 20, 2019 5:04 pm

Έχω μία ερώτηση...Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και στο 1ο θέμα πήρα και την περιίπτωση που a+b=0 (λόγω απροσεξίας)...Πόσες μονάδες πιστεύετε ότι θα μου αφαιρεθούν;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4284
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#95

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 20, 2019 6:15 pm

polysot έγραψε:
Κυρ Ιαν 20, 2019 5:03 pm
Συνοψίζοντας τους συνδέσμους με όλες τις λύσεις

Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο

Θέμα 2ο

Θέμα 3ο

Θέμα 4ο


Για λόγους πληρότητας κι επειδή ως τώρα 20-1-2019, 18:30 δεν υπάρχουν επίσημες λύσεις στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ, δίνω κάποιες απαντήσεις στα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου.


Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 1ο.jpg
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 1ο.jpg (20.2 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές



Επειδή είναι  \displaystyle \alpha  + \beta  + \gamma  =  - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = 0 , από ταυτότητα του Euler, είναι

 \displaystyle {\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3} = 3\alpha \beta \gamma , οπότε  \displaystyle {\rm A} = \alpha  + \beta  - \gamma  =  - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}

Εναλλακτικά, κάνουμε τις υψώσεις και τις πράξεις …


Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 2ο.jpg
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 2ο.jpg (28.13 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Είναι  \displaystyle 63000 = 7 \cdot {5^3} \cdot {3^2} \cdot {2^3} , οπότε ο μικρότερος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000 είναι εξαψήφιος και είναι ο 555789.

Ο μικρότερος επταψήφιος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000 είναι ο 1555789. Πράγματι, αν αναλύσουμε το 8 σε 2\cdot4, τότε ο επταψήφιος θα έχει ψηφίο εκατομμυρίων το 2.

Δεν μπορούμε να βρούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000, αφού μπορούμε να προσθέσουμε όσες φορές θέλουμε το 1 στα ψηφία του.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Ιαν 20, 2019 6:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4284
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#96

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 20, 2019 6:18 pm

Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 3ο.jpg
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 3ο.jpg (41.28 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές



Οι γωνίες είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο τόξο  \displaystyle \mathop {\Gamma \Delta }\limits^ \cap   = 90^\circ , αφού η αντίστοιχη επίκεντρη είναι η  \displaystyle \widehat {\Gamma {\rm O}\Delta } , άρα  \displaystyle \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 45^\circ .

Είναι  \displaystyle \widehat {{\rm A}\Delta {\rm B}} = 90^\circ , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, άρα και  \displaystyle \widehat {{\rm E}\Delta {\rm A}} = 90^\circ , οπότε το  \displaystyle {\rm E}{\rm A}\Delta είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα  \displaystyle {\rm E}\Delta  = {\rm A}\Delta .

Για τον ίδιο λόγο και το  \displaystyle {\rm B}{\rm Z}\Delta είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα και  \displaystyle {\rm Z}\Delta  = \Delta {\rm B} .

Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων E{\rm Z}\Delta και {\rm A}{\rm B}\Delta , είναι  \displaystyle {\rm E}{\rm Z} = {\rm A}{\rm B} = 2R
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Ιαν 21, 2019 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4284
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#97

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pm

Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg (42.34 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.


Έστω ότι εμφανίζονται k φορές το 15 και 10-k φορές το 13

Προσθέτοντας τις δέκα τριάδες έχουμε


 \displaystyle 6\left( {A + B + \Gamma  + \Delta  + E} \right) = 15\kappa  + 13\left( {10 - \kappa } \right) = 130 + 2\kappa

οπότε  \displaystyle 3\left( {A + B + \Gamma  + \Delta  + E} \right) - 65 = \kappa

και αφού  \displaystyle 1 < \kappa  < 10 είναι

 \displaystyle 1 < 3\left( {A + B + \Gamma  + \Delta  + E} \right) - 65 < 10 \Leftrightarrow 22 < {\rm A} + {\rm B} + \Gamma  + \Delta  + {\rm E} < 25

Έστω  \displaystyle {\rm A} + {\rm B} + \Gamma  = 15 οπότε  \displaystyle 7 < \Delta  + {\rm E} < 10 \Rightarrow \Delta  + {\rm E} = 8\;\;\; \vee \;\;\Delta  + {\rm E} = 9

Αν  \displaystyle \Delta  + {\rm E} = 8 , τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\rm A} = 7\;\; \vee \;\;{\rm A} = 5\\ 
{\rm B} = 7\;\; \vee \;\;{\rm B} = 5\\ 
\Gamma  = 7\;\; \vee \;\;\Gamma  = 5 
\end{array} \right. με δεκτή την περίπτωση  \displaystyle {\rm A} = {\rm B} = \Gamma  = 5 .
Τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\Delta  = 3\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 5\\ 
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 
\Delta  = 5\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 3 
\end{array} \right.
Αν  \displaystyle \Delta  + {\rm E} = 9 , τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\rm A} = 6\;\; \vee \;\;{\rm A} = 4\\ 
{\rm B} = 6\;\; \vee \;\;{\rm B} = 4\\ 
\Gamma  = 6\;\; \vee \;\;\Gamma  = 4 
\end{array} \right. αδύνατο.

Έστω  \displaystyle {\rm A} + {\rm B} + \Gamma  = 13 οπότε  \displaystyle 9 < \Delta  + {\rm E} < 12 \Rightarrow \Delta  + {\rm E} = 10\;\;\; \vee \;\;\Delta  + {\rm E} = 11

Αν  \displaystyle \Delta  + {\rm E} = 10 , τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\rm A} = 3\;\; \vee \;\;{\rm A} = 5\\ 
{\rm B} = 3\; \vee \;\;{\rm B} = 5\\ 
\Gamma  = 3\;\; \vee \;\;\Gamma  = 5 
\end{array} \right. με δεκτή την περίπτωση  \displaystyle {\rm A} = {\rm B} = 5\;\; \vee \;\;\Gamma  = 3

ή αντίστοιχα  \displaystyle {\rm A} = 3,\;{\rm B} = \Gamma  = 5\;\;\; \vee \;\;{\rm B} = 3,\;{\rm A} = \Gamma  = 5 .

Τότε  \displaystyle \Delta  = 5\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 5 .

Αν  \displaystyle \Delta  + {\rm E} = 11 , τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\rm A} = 2\;\; \vee \;\;{\rm A} = 4\\ 
{\rm B} = 2\;\; \vee \;\;{\rm B} = 4\\ 
\Gamma  = 2\;\; \vee \;\;\Gamma  = 4 
\end{array} \right. αδύνατο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8056
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#98

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 20, 2019 10:40 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pm
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg


Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι \Gamma,\Delta,E. Τότε τα A+B+\Gamma,A+B+\Delta,A+B+E είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.

Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο x. Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα x+x+x. Πρέπει λοιπόν x=5. Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το y. Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα x+x+y οπότε πρέπει y=3. Το 3 εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα 5+3+3 = 11, άτοπο.

Άρα οι αριθμοί μας είναι οι 5,5,5,5,3 με κάποια σειρά.


Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#99

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Δευ Ιαν 21, 2019 12:23 pm

Καλημέρα, μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση στο Πρόβλημα 3 της Β Γυμνασίου, κυρίως για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών που θα διαβάσουν στο μέλλον αυτά τα θέματα για τους αντίστοιχους διαγωνισμούς που θα γράψουν.

Έστω x οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μεγαλύτερες πλευρές της πλατείας και y οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μικρότερες πλευρές της πλατείας, τότε από τα δεδομένα ισχύει x=2y.

Επειδή το συνολικό πλήθος από τις κολώνες είναι 182, ισχύει 2x+2y-4=182 (τις 4 κολώνες που βάλαμε στις γωνίες στο άθροισμα 2x+2y τις έχουμε μετρήσει 2 φορές, για αυτό και πρέπει να αφαιρέσουμε 4).

Τότε 2x+2y=186 , άρα x+y=93 και από την προηγούμενη σχέση 2y+y=93 , δηλαδή 3y=93 , άρα
y=31 και x=62.

Τελικά στη μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 62 κολώνες που δημιουργούν 61 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μεγαλύτερη πλευρά έχει μήκος 61 επί 4, δηλαδή 244 μέτρα, ενώ στη μικρότερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 31 κολώνες που δημιουργούν 60 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μικρότερη πλευρά έχει μήκος 30 επί 4, δηλαδή 120 μέτρα.

Καλά αποτελέσματα και καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!!!


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Altrian
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#100

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Ιαν 21, 2019 1:24 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:40 pm
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pm
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg


Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι \Gamma,\Delta,E. Τότε τα A+B+\Gamma,A+B+\Delta,A+B+E είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.

Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο x. Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα x+x+x. Πρέπει λοιπόν x=5. Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το y. Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα x+x+y οπότε πρέπει y=3. Το 3 εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα 5+3+3 = 11, άτοπο.

Άρα οι αριθμοί μας είναι οι 5,5,5,5,3 με κάποια σειρά.
Γ Γυμνασίου 4.
Κάπως διαφορετικά
1. Κατ' αρχήν δεν μπορεί να υπάρχει κανείς ζυγός (Ζ) στην πεντάδα γιατί τότε σχηματίζεται σε κάθε περίπτωση κάποια τριάδα με άρτιο άθροισμα. Αρα όλοι μονοί (Μ).
2. Εφόσον δύο τριάδες με δύο κοινά χαρτιά και ένα διαφορετικό μπορεί να διαφέρουν ως προς το άθροισμα το πολύ κατά 2, τότε τα διαφορετικά χαρτιά θα διαφέρουν κατά 2 το πολύ. Επειδή αυτό θα ισχύει σε κάθε δύο τέτοιες τριάδες σημαίνει ότι το ελάχιστο και το μέγιστο από τα 5 χαρτιά θα διαφέρουν το πολύ κατά 2.
Από τις 1,2 έχουμε ότι οι πιθανές τιμές των χαρτιών είναι δύο διαδοχικοί μονοί αριθμοί και εν προκειμένω 3 ή 5
Ετσι εύκολα με δοκιμές προκύπτει ότι οι αποδεκτές πεντάδες είναι η εξής μία:3,5,5,5,5 με τυχαία σειρά.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης