Σελίδα 4 από 7

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
από Al.Koutsouridis
Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}
Να απλοποιήσετε την παράσταση A και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4, για κάθε τιμή της παραμέτρου a \in \mathbb{R}.

Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=

=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |.

1. Για x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow  x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left ) η εξίσωση γράφεται

ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας y=a και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) =x-\dfrac{8}{x}. Για την f(x) είναι f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0. Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την y=a σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της
eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png
eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 1283 φορές
απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του a.

Δυο λύσεις αν -2\leq  a\leq 2.
Μια λύση αν a >2 ή a <-2


2. Για x^2-4 <0 \Leftrightarrow  x \in \left (-2,2 \right ) η εξίσωση γίνεται ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow x=0 ή x=-a.
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν a=0
Δυο λύσεις αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Τρεις ρίζες αν a \in \left \{-2,2,0 \right \}
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm
από Eleftheria
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 7:04 pm
από achilleas
Eleftheria έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;
Όχι πάλι η ίδια συζήτηση.....!

Παρακαλούμε θερμά, οι αναρτήσεις να περιορισθούν σε λύσεις και παρατηρήσεις επί των θεμάτων.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 7:10 pm
από achilleas
thanos-mathimatika έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:38 pm
giannis_drav έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:39 pm
Οι επίσημες λύσεις της ΕΜΕ έχουν αναρτηθεί και δεν δίνουν για κάθε τιμή του α τουλάχιστον δύο ρίζες. - Γ' λυκείου
Αυτή τη στιγμή στις 18:40 οι λύσεις στο site της ΕΜΕ δεν ανοίγουν.....μάλλον τις κατέβασαν για να διορθώσουν τα λάθη??
Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε στο forum γιατί οι λύσεις δεν ανοίγουν στο site της ΕΜΕ, μπορούμε;

Επίσης, εν τω μεταξύ, έχετε όλο το χρόνο να ανεβάσετε κάποια λύση σας εδώ. :)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 7:42 pm
από LeoKoum
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}
Να απλοποιήσετε την παράσταση A και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4, για κάθε τιμή της παραμέτρου a \in \mathbb{R}.

Λύση:

Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=

=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |.

1. Για x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow  x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left ) η εξίσωση γράφεται

ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας y=a και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) =x-\dfrac{8}{x}. Για την f(x) είναι f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0. Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την y=a σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της

eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png

απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του a.

Δυο λύσεις αν -2\leq  a\leq 2.
Μια λύση αν a >2 ή a <-2


2. Για x^2-4 <0 \Leftrightarrow  x \in \left (-2,2 \right ) η εξίσωση γίνεται ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow x=0 ή x=-a.
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν a=0
Δυο λύσεις αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Μία ρίζα αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 7:50 pm
από achilleas
ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) (Άλλος τρόπος από αυτόν που δώσαμε εδώ)

Εάν N είναι το μέσο του τόξου B\Gamma που δεν περιέχει το A, τότε το OBN\Gamma είναι ρόμβος,ως παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους (ή απλώς επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες με την ακτίνα).

Αφού το \Delta διαιρεί τη διάμεσο \Gamma M σε λόγο 2:1 είναι το βαρύκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου NO\Gamma.

Συνεπώς, η O\Delta διχοτομεί την γωνία N\widehat{O}\Gamma=60^\circ κι άρα \Delta\widehat{O}\Gamma=30^\circ

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 8:16 pm
από Al.Koutsouridis
LeoKoum έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 7:42 pm

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8
Μάλλον έχεις δίκιο θα το κοιτάξω αργότερα...

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 8:42 pm
από Eleftheria
Πώς μπορώ να δώσω μια λύση;

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 9:12 pm
από achilleas
ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:

(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.

(2) Αν A' είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής A τριγώνου AB\Gamma, τότε το τετράπλευρο HBA'\Gamma είναι παραλληλόγραμμο.

**********************************************************************************************

Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία I' και K' του H ως προς τις πλευρές AB και A\Delta είναι συνευθειακά με τα H,\Delta και H,B αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον C_1(O,R). Επίσης, ισχύει AI'=AH=AK', κι άρα θα ταυτίζονται με τα I και K, αντίστοιχα.

Έτσι, τα τμήματα \Gamma I και \Gamma K είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου C_2(A,AH) από το \Gamma, αφού \Gamma\widehat{I}A=90^\circ=\Gamma\widehat{K}A, κι άρα είναι ίσα.

Από την ιδιότητα (2), αφού το \Gamma είναι αντιδιαμετρικό του A, το τετράπλευρο HB\Gamma\Delta είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού \Gamma B\perp AB, \Delta H\perp AB και BH\perp A\Delta, \Gamma\Delta\perp A\Delta.

Συνεπώς, το B\Gamma\Delta K είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού BK//\Gamma\Delta και B\Gamma=\Delta H=\Delta K, κι άρα B\Delta=\Gamma K=\Gamma I.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 9:24 pm
από KARKAR
Α Λυκείου Θέμα 4 ( Γεωμετρία) .
A4.png
A4.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 1140 φορές
Επικεντρώνουμε στο τρίγωνο OB\Delta . Λόγω της 30^0 - ρας και Π.Θ. ( επιτρέπεται ; ) ,

βρίσκουμε B\Gamma=R\sqrt{3} και το τρίγωνο προκύπτει ορθογώνιο ...

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 9:53 pm
από AquaticLand
Γειά σας!Ξέρει μήπως κανείς από ποιά ιστοσελίδα μπορούμε να δούμε το σχέδιο βαθμολόγησης όταν ανακοινωθεί;
Ευχαριστώ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 10:03 pm
από Cauchy7
Καλησπέρα μέλη του Mathematica!! Πώς σας φάνηκαν τα θέματα της Β Λυκείου; Συγκριτικά με τα περσινά, τι άποψη έχετε ;

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pm
από thanos-mathimatika
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου



Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται |4-x^2|=2x+4 η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 10:18 pm
από Al.Koutsouridis
thanos-mathimatika έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου



Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται |4-x^2|=2x+4 η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.
Ναι σωστά, διόρθωσα και την αρχική ανάρτησή μου. Νομίζω η απάντηση είναι, αν δεν έχω αφήσει λάθος
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Τρεις ρίζες αν a \in \left \{-2,2,0 \right \}
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 10:29 pm
από george visvikis
Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου
Γ Λυκείου 2019.png
Γ Λυκείου 2019.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές
Η ευθεία y=ax+4 στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (0,4) (εξαιρουμένης της κατακόρυφης).

Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη A=|x^2-4| τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).

Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 10:40 pm
από achilleas
ΘΕΜΑ 2- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Είναι y=3z-x και y=5x-2z. Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνουμε

3z-x=5x-2z, κι άρα z=\dfrac{6x}{5}.

Έτσι, y=5x-\dfrac{12x}{5}=\dfrac{13x}{5}.

Εύκολα έπεται ότι \dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{13} και \dfrac{z}{y}=\dfrac{6}{13}.


(β) Αν εργαστούμε συναρτήσει του x οι πράξεις είναι (ίσως) πιο εύκολες.

Έχουμε y=\dfrac{13x}{5} και z=\dfrac{6x}{5}.

Η παράσταση x^2+y^2+z^2-2y-144 είναι ίση με

\dfrac{25x^2+169x^2+36x^2}{25}-\dfrac{26x}{5}-144=\dfrac{46x^2}{5}-\dfrac{26x}{5}-144

και άρα παρουσιάζει ελάχιστο για x=-\dfrac{-26/5}{2\cdot (46/5)}=\dfrac{13}{46}, και

y=\dfrac{13}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{169}{230} και z=\dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{39}{115.}

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 11:10 pm
από achilleas
ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι 111=3\cdot 37, και άρα ο

A=111000x+\overline{abc}=37\cdot 3000x+\overline{abc}

είναι πολλαπλάσιο του 37 αν και μόνο αν ο \overline{abc} είναι πολλαπλάσιο του 37.

Αφού 999=9\cdot 111=27\cdot 37, υπάρχουν 28 αριθμοί της μορφής \overline{abc} που είναι πολ/σια του 37, οι:

\overline{000}, \overline{037}, ..., \overline{999}.

Αφού το x μπορεί να λάβει 9 δυνατές τιμές: 1,2,\dots, 9, υπάρχουν συνολικά 9\cdot 28=252 τέτοιοι αριθμοί A.

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 19, 2019 11:33 pm
από Helenkallits
Τις λύσεις τις έσβησαν και λογικά θα τις ανεβάσουν ξανά χωρίς λάθη.

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 20, 2019 12:13 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 1- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά την ενδεδειγμένη λύση του Γιώργου εδώ, ας δώσουμε μια εναλλακτική.

Η λύση αυτή βασίζεται στην εύρεση των τιμων που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα "απόλυτα": x+8 και |x+8|-3x και τη διάκριση περιπτώσεων στη συνέχεια.

Λύση. Προφανώς x+8=0\iff x=-8 και εύκολα βρίσκουμε |x+8|=3x\iff x=4.

Έχουμε τις περιπτώσεις:

1) x\geq 4

Τότε |x+8|=x+8\leq 3x, κι άρα η εξίσωση γίνεται 2x-8=\dfrac{x+7}{6}, που δίνει x=5 (δεκτή).

2) -8\leq x< 4.

Τότε 3x<x+8=|x+8|, οπότε η εξίσωση γράφεται (x+8)-3x=\dfrac{x+7}{6}, ή ισοδύναμα

8-2x=\dfrac{x+7}{6}, που δίνει x=\dfrac{41}{13}<4 (δεκτή).

3) x<-8.

Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού τότε x+7<0.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 20, 2019 1:22 am
από achilleas
ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι

y=|mx+4|+|4-mx|\geq |mx+4+4-mx|=8

με το ίσο αν και μόνο αν (mx+4)(4-mx)\geq 0 από την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή, αφού m>0, αν και μόνο αν

-\dfrac{4}{m}\leq x\leq \dfrac{4}{m}.

Αν mx<-4, τότε y=-(mx+4)+4-mx=-2mx, ενώ αν mx>4, τότε y=(mx+4)+(mx-4)=2mx.

Συνεπώς, οι κορυφές A_i(x_i,y_i) του πολυγώνου είναι A_1(-\dfrac{6}{m},12), A_2(\dfrac{6}{m},12), A_3(\dfrac{4}{m},8), A_4(-\dfrac{4}{m},8).

Το εμβαδό του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως εμβαδό τραπεζίου.

Γενικότερα, όμως, από shoelace formula, αφού y_2=y_1=12 και y_4=y_3=8, το εμβαδό του είναι

 
\begin{aligned} 
A&=\dfrac{1}{2}\Big_|x_1(y_2-y_4)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_1-y_3)\Big_|\\ 
&=\dfrac{1}{2}\Big_|4x_1-4x_2-4x_3+4x_4\Big_|\\ 
&=2\Big_|x_1-x_2-x_3+x_4\Big_|\\ 
&=2\Big_|-\dfrac{6}{m}-\dfrac{6}{m}-\dfrac{4}{m}-\dfrac{4}{m}\Big_|\\ 
&=\dfrac{40}{m}\\ 
\end{aligned}

Άρα, αφού A=20, έπεται ότι m=2.

Φιλικά,

Αχιλλέας