ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

georgenik8
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Ιαν 08, 2019 3:36 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από georgenik8 » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:30 pm

Είμαι Β Λυκείου και έδωσα σήμερα. Στο Πρόβλημα 1 έκανα στο τέλος ένα αριθμητικό λάθος και αντί για 5 μου βγήκε 43/11. Είναι καθαρά αριθμητικό και αναρωτιέμαι πόσο θα μου κόψουν. Επίσης στο Πρόβλημα 3 βρήκα και τις τρεις λύσεις άλλα δεν απέδειξα ότι είναι μοναδικές. Πόσο λέτε να πάρω από αυτήν?



Λέξεις Κλειδιά:
giannis_drav
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 28, 2017 10:36 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannis_drav » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:31 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:08 pm
LeoKoum έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:03 pm
Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου
Ολοκλήρωμα για να γράψεις το εμβαδόν τραπεζίου συναρτήσει του m; Πάντως και εγώ βρήκα m=2
Κι εγώ με εμβαδόν τραπεζίου, αφού μετασχημάτισα τον τύπο της πρώτης συνάρτησης, βρήκα m=2. Στο πρόβλημα 3 πόσους αριθμούς βρήκατε; Εγώ 252.


Μενέλαος
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Ιουν 19, 2018 2:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μενέλαος » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:31 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:29 pm
Θέμα 1 β' γυμνασίου

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}+a^{2}}{b^{2}}-10 \right )\left ( \dfrac{a^{2}-3b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )
για \dfrac{a}{\beta}=3

Λύση:

A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}}{\beta^{2}}+\dfrac{a^{2}}{\beta^2} -10\right )\left ( \dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{3\beta^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )=\left ( 3+\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^2 -10\right )\left ( 1+3\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^{-2} +\dfrac{13}{3}\right )=...\left ( 3+9-10 \right )\left ( 1-\dfrac{2}{3} +\dfrac{13}{3}\right )=2\cdot \dfrac{15}{3}=5\Leftrightarrow A=5
Απλά τριάντα δια τρία κάνει 10


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1206
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:39 pm

Μενέλαος έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:17 pm

Επίσης θα ήθελα να ρωτήσω : το σχήμα βαθμολογείται ; ( δηλαδή τι γίνεται σε περίπτωση που δεν υπάρχει σχήμα )
Απλά ο διορθωτής θα φτιάξει δικό του σχήμα. Θα τον παιδέψεις λίγο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:54 pm

2o θέμα β λυκείου συνοπτικαά εκφώνηση

xyz\neq 0,x+2y=y+3z=z+5x
a) \frac{x}{y} \kappa \alpha \iota \frac{z}{y}.
b)x^{2}+z^{2}+y^{2}-2y-144 τις τιμές των μεταβλητών που την ελαχιστοποιούν

Λύση

Από τις 2 πρώτες εξισώσης \frac{x+y}{3}=z Από την πρώτη και την τελαυταία x+2y(=+y+5x)=\frac{x+y}{3}+5x\Leftrightarrow 13x=5y\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{5}{13}

Me τον ίδιο τρόπο βγάζουμε \frac{z}{y}=\frac{6}{13}

Στο δεύτερο ερώτημα χαρίς το πρώτο αντικαθισούμε το x^{2}+z^{2}=\frac{61}{169}y^{2}

Οπότε η παράσταση γράφεται (\frac{169}{61}+1)y^{2}-2y-144 Που ελαχιστοποιείται για y=-2\frac{-2}{\frac{169}{61}} και μετά πράξεις(ζητάει μόνο τις μεταβλητές όχι ποιαν είναι η ελάχιστη παράσταση), Δεν νομίζω να έχω κάνει λάθος τις πράξειςς
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Σάβ Ιαν 19, 2019 1:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2610
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:55 pm

ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Έστω Z το μέσο του B\Delta. Τότε τα τρίγωνα BOZ και \Gamma O\Delta είναι ίσα από (ΠΓΠ), αφού OB=O\Gamma=R, BZ=\Gamma\Delta=B\Gamma/2, και O\widehat{B}Z=O\widehat{\Gamma}\Delta=30^\circ, αφού το τρίγωνο BO\Gamma είναι ισοσκελές με B\widehat{O}\Gamma=2B\widehat{A}\Gamma=120^\circ.


Αν OH\perp B\Gamma, τότε από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο OHΖ έχουμε

OZ^2=OH^2+ZH^2=OH^2+\dfrac{a^2}{36},

όπου a=B\Gamma=3Z\Delta=6ZH.

Αλλά, στο ορθογώνειο OHB είναι BH=\dfrac{\sqrt{3}OB}{2}, δηλ. \dfrac{a}{2}=\dfrac{\sqrt{3}R}{2} ή a=\sqrt{3}R και OH=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{R}{2}.

Συνεπώς, OZ^2=\dfrac{R^2}{4}+\dfrac{3R^2}{36}=\dfrac{R^2}{3},

και άρα OZ=\dfrac{R}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{3}=Z\Delta, που σημαίνει ότι το (ισοσκελές) τρίγωνο ZO\Delta είναι ισόπλευρο. Άρα,

\Delta\widehat{O}\Gamma=60^\circ-O\widehat{\Gamma}\Delta=60^\circ-30^\circ=30^\circ.

Επεξεργασία- Προσθήκη- 4:04μμ.

Άλλος τρόπος είναι \dfrac{BZ}{ZH}=2=\dfrac{BO}{OH}, κι άρα η OZ είναι διχοτόμος της B\widehat{O}H που είναι ίση με 60^\circ. Άρα D\widehat{O}\Gamma=B\widehat{O}Z=30^\circ.

(β) Η FE είναι παράλληλη στη B\Gamma κι άρα το εμβαδό του BE\Gamma είναι ίσο με το εμβαδό του BF\Gamma.

Συνεπώς, το εμβαδό του τετραπλεύρου ABE\Gamma είναι ίσο με αυτό του ABF\Gamma.

To ABF\Gamma είναι ισοσκελές τραπέζιο που έχει ίσες και κάθετες διαγωνίους AF=B\Gamma. Πράγματι, είναι F\widehat{B}\Gamma=45^\circ=A\widehat{\Gamma}B κι άρα FB//A\Gamma, ενώ εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα AB\Gamma και \Gamma FA είναι ίσα.

Συνεπώς, το ζητούμενο εμβαδό είναι a^2/2.
Συνημμένα
euclid_A_2019_no4.png
euclid_A_2019_no4.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 1637 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 20, 2019 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


LeoKoum
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:33 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από LeoKoum » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:58 pm

Το εκανα με ολοκληρωμα για μην κανω σχηματα. Βγαινει και με εμβαδο τραπεζιου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:06 pm

Πρόβλημα 4 Γ Λυκείου
Ευκλείδης 2019 G Λυκείου.png
Ευκλείδης 2019 G Λυκείου.png (18.77 KiB) Προβλήθηκε 1591 φορές
Φέρνω \displaystyle \Gamma {\rm T}||{\rm A}\Delta . Είναι \displaystyle {\rm B}\Gamma  + {\rm A}\Delta  = \Gamma \Delta  \Leftrightarrow \Gamma {\rm T} + {\rm A}\Delta  = \Gamma \Delta και από γνωστή άσκηση του σχολικού

\displaystyle \Gamma \widehat {\rm Z}\Delta  = 90^\circ . Άρα \Gamma \Delta είναι διάμετρος του κύκλου και εύκολα τώρα το \Delta είναι ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle \Gamma \Theta {\rm M}.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιαν 19, 2019 2:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:12 pm

Θέμα 2 β' γυμνασίου

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο AB\Gamma είναι ισοσκελές με AB=A\Gamma και \widehat{\Gamma }=2\widehat{A}. Το τετράπλευρο A\Gamma \Delta E είναι τετράγωνο.

(α) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία \widehat{AEB}
(β)Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες \widehat{BA\Delta} και \widehat{BE\Gamma}.

(το ήδη δοσμένο σχήμα της άσκησης είναι αριστερά στο πιο κάτω σχήμα)
Λύση:

(α)
Eίναι \widehat{B}+\widehat{\Gamma }+\widehat{A}=180\Leftrightarrow 2\cdot 2\widehat{A}=180\Leftrightarrow \widehat{A}=36^{\circ}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat{\Gamma }=\widehat{B}=72^{\circ}

Επειδή AE\Delta\Gamma τετράγωνο είναι AB=A\Gamma=AE,δηλαδή ABE ισοσκελές άρα
2\cdot \widehat{AEB}+36+90=180^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{AEB}=27^{\circ}
(β)
Οι διαγώνιες του τετραγώνου διχοτομούν τις ορθές του γωνίες άρα
\widehat{BA\Delta }=\widehat{A}+45=36+45=81^{\circ}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat{BE\Gamma }=45-\widehat{BEA}=45-27=18^{\circ}
Άλλος τρόπος
Φέρουμε κύκλο με κέντρο A και ακτίνα AE.
\widehat{BE\Gamma} =\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{36}{2}=18.
Άρα
\widehat{AEB}=27
Υπάρχουν και άλλες πολλές λύσεις της άσκησης ειδικά για το β ερώτημα.
Συνημμένα
Ευκλείδης 2019.PNG
Ευκλείδης 2019.PNG (33.04 KiB) Προβλήθηκε 1576 φορές


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:27 pm

Καλησπέρα.Το θέμα 1 βγαίνει πιο εύκολα με Euler.(Γ' Γυμνασίου)
Γενικά ένας αρκετά δύσκολος Ευκλείδης από κάθε άποψη.
Καλά αποτελέσματα.

ΥΓ Θα μπορούσε κάποιος να σχολιάσει τα θέματα και το πώς τα βρήκαν οι μαθητές;
Καλό θα ήταν να ανέβει το πλάνο βαθμολόγησης στο μέλλον.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:35 pm

Θέμα 3 β' γυμνασίου

Για την φωταγώγηση μιας πλατείας ,σχήματος ορθογωνίου,τοποθετήθηκαν περιμετρικά 182 κολώνες φωτισμού.Τέσσερις από αυτές τοποθετήθηκαν στις γωνίες της πλατείας.Στη συνέχεια τοποθετήθηκαν και οι υπόλοιπες 178 στην περίμετρο της πλατείας έτσι ώστε κάθε δύο διαδοχικές κολώνες απέχουν 4 μέτρα.Επίσης διαπιστώθηκε ότι η μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας είχε διπλάσιες κολώνες από τη μικρή πλευρά,όπου σε κάθε πλευρά μετράμε και τις κολώνες στις γωνίες.Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών της πλατείας.
Σημείωση:Θεωρείστε τις κολώνες πάνω στις πλευρές της πλατείας ως σημεία.

Λύση:

Έστω x,y τα μήκη της μεγάλης και της μικρής πλευράς αντίστοιχα.
Έτσι στην μεγάλη πλευρά θα μπουν \dfrac{x}{4}+1 κολώνες και στην μικρή \dfrac{y}{4}+1.
Από την εκφώνηση έχουμε \dfrac{x}{4}+1=2\cdot \left ( \dfrac{y}{4}+1 \right )\Leftrightarrow \dfrac{x}{4}-\dfrac{2y}{4}=1\Leftrightarrow x=2y+4
Επίσης ο συνολικός αριθμός των κολώνων είναι 182 άρα
2\cdot \left ( \dfrac{x}{4}+1 \right )+2\cdot \left ( \dfrac{y}{4}-1 \right )=182\Leftrightarrow \dfrac{2x}{4}+\dfrac{2y}{4}=182\Leftrightarrow x+y=364\overset{x=2y+4}{\Leftrightarrow }3y=360\Leftrightarrow y=...=120\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x=244

Σημείωση
: Το \dfrac{y}{4}-1 \right προκύπτει γιατί τις δύο κολόνες στις γωνίες τις μετρήσαμε για την άλλη διάσταση.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2610
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:48 pm

Μια άσκηση παρόμοια με αυτή του ΘΕΜΑΤΟΣ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ βρίσκεται εδώ.

Η ιδέας της λύση που δώσαμε τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια λύση διαφορετική από αυτή που δώσαμε νωρίτερα σήμερα εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2241
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:51 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:24 pm
Θεωρώ.......να ανεβάζονται λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις.ΑΙσθανομαι σαν να ....στο πηγάδι.
Να σημειώσω ότι όταν το έγραψα αυτό οι εκφωνήσεις δεν είχαν ανέβει.
Ταυτόχρονα με το γράψιμο το δικό μου είχε ανεβάσει τα θέματα ο Μπάμπης ο Στεργίου
ο οποίος μετά τα έσβησε όπως είχε πει .
Ακριβώς έτσι είχε γίνει και στον Θαλή.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 648
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Ιαν 19, 2019 2:51 pm

Διαφορετικά η Γεωμετρία της Γ, μαζί με μια ανάλυση της σκέψης:

Γενικά, όταν ζητείται τέτοια καθετότητα σε σχήμα αυτού του τύπου, η εμπειρία οδηγεί στο να εξετάσουμε μήπως υπάρχει ορθόκεντρο. Στο συγκεκριμένο σχήμα, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη λύση, οι άλλες 2 καθετότητες που χρειάζονται ισοδυναμούν με το να είναι διάμετρος η \Gamma \Delta στον περιγεγραμμένο του \Gamma \Delta \textrm{Z}. Εκείνη τη στιγμή, δεν γνωρίζουμε εάν ισχύει αυτό, όμως αξίζει να το εξετάσουμε διότι είναι κάτι που αφορά ένα μικρό μέρος του σχήματος, άρα αναμένουμε να είναι κάτι που μπορούμε εύκολα είτε να το αποδείξουμε είτε να το διαψεύσουμε.

Φέρνουμε λοιπόν την \Gamma \textrm{A} και έστω \Sigma το μέσο της, οπότε \textrm{E}\Sigma =\parallel \frac{\textrm{A}\Delta}{2}, και επιπλέον \textrm{E}, \Sigma, \textrm{Z} είναι συνευθειακά. Αν \textrm{P} είναι το μέσο της \textrm{A}\textrm{B}, τότε \Sigma\textrm{P} =\parallel \frac{\textrm{B}\Gamma}{2}, με \textrm{P}\Sigma\textrm{Z} ισοσκελές (εύκολα απ' τις παραλληλίες). Άρα \Sigma\textrm{Z} = \Sigma\textrm{P} = \frac{\textrm{B}\Gamma}{2} και άρα \textrm{EZ} = \textrm{E}\Sigma + \Sigma\textrm{Z} = \frac{\textrm{A}\Delta}{2} + \frac{\textrm{B}\Gamma}{2} = \frac{\Gamma\Delta}{2} = \textrm{E}\Gamma = \textrm{E}\Delta, και το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Σάβ Ιαν 19, 2019 9:07 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:07 pm

Θέμα 4 β' γυμνασίου
(α)Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό ακέραιο (διευκρινίστηκε από την Ε.Μ.Ε θετικό ακέραιο) του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 12600.
(β)Να προσδιορίσετε τον μικρότερο δυνατό εξαψήφιο ακέραιο (διευκρινίστηκε από την Ε.Μ.Ε θετικό ακέραιο) του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 12600.

Λύση:

(α)
Αναλύσουμε το 12600 σε γινόμενο πρώτων, 12600=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^2\cdot 7
Έχουμε
  • 2^3=8 δεκτό σαν ψηφίο
  • 3^2=9 δεκτό σαν ψηφίο
  • 5^2=25 ,επειδή είναι μεγαλύτερο του 9 θα πάρουμε τα ψηφία ξεχωριστά
  • 7=7 δεκτό
Άρα έχουμε τα ψηφία {5,5,7,8,9} με τα οποία ο μικρότερος αριθμός είναι ο 55789(πρέπει να τα χρησιμοποιήσουμε όλα)

(β)
Βάζουμε έναν άσσο μπροστά στον 55789 και για να γίνει εξαψήφιος παίρνουμε 155789.


Eleftheria
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eleftheria » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:23 pm

Οι λύσεις για το β ερώτημα του δεύτερου θέματος της β λυκείου ποιες είναι. Δεν τις έχει ανεβάσει κάνεις.


Giorgosnast
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 3:23 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Giorgosnast » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:25 pm

Εγώ θα εθελα να μάθω αν γνωρίζετε πόσους βαθμούς πρέπει να συγκεντρώσει ένας μαθητής προκειμένου να περάσει στην επόμενη φάση;


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:28 pm

Eleftheria έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 3:23 pm
Οι λύσεις για το β ερώτημα του δεύτερου θέματος της β λυκείου ποιες είναι. Δεν τις έχει ανεβάσει κάνεις.
Έχουν βγει λύσεις στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε


AquaticLand
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 17, 2018 3:58 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AquaticLand » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:29 pm

Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε ολους!Ξερετε Μηπως από που μπορει κανεις να δει το σχήμα βαθμολόγησης οταν ανακοινωθεί;Επισης,θεωρείτε οτι τα θέματα της γ γυμν ηταν πιο δυσκολα από τις υπόλοιπες χρονιές;
Ευχαριστω!


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:35 pm

AquaticLand έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 3:29 pm
θεωρείτε οτι τα θέματα της γ γυμν ηταν πιο δυσκολα από τις υπόλοιπες χρονιές;
Ευχαριστω!
Ναι φυσικά και ήταν δυσκολότερα.Στην τάξη μου οι υπόλοιποι δεν έγραψαν σχεδόν τίποτα...Κάποιοι προσπάθησαν να βρουν το 4 με δοκιμές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες