ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μενέλαος · #101

queenf έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:11 am
Παω β γυμνασιου Ποσα θεματα πιστευετε επρεπε να εχω απαντησει σωστα για να περασω ;

Αυτό δεν το γνωρίζει κανείς . Παίζει σημαντικό ρόλο και τι έγραψαν οι άλλοι ...

Eleftheria · #102

Μια άλλη λύση για το πρώτο θέμα της β λυκείου είναι να βγάλουμε το εξωτερικό απόλυτο και να πάρουμε δύο λύσεις με + και -.
Αφού εκτελέσουμε πράξεις μένει στη μια μεριά της εξίσωσης το εσωτερικό απόλυτο και παίρνουμε πάλι δύο λύσεις με + και -. Έτσι καταλήγουμε σε τέσσερις λύσεις. Κάνουμε επαλήθευση και απορρίπτονται οι δύο. Έτσι καταλήγουμε σε αυτές που ισχύουν.

#103

Μία άλλη προσέγγιση για τη γεωμετρία της Α Λυκείου.
α) Αν

είναι το μέσον του τόξου

και

το απόστημα της χορδής

, το

είναι το βαρύκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου OMC

, οπότε η

διχοτομεί τη γωνία του και έχουμε τελειώσει.
β) Για το εμβαδόν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι γενικότερο:
Αν το τρίγωνο ABE

είναι ισοσκελές ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R)

και το σημείο

ανήκει σε διαφορετικό ημικύκλιο (ως προς τη διάμετρο

) από το σημείο

με

, τότε $(ABEC)= \frac{a^{2}}{2}$ .
Απόδειξη
Με πλευρά την

κατασκευάζουμε το τετράγωνο AEZD

, στις πλευρές του οποίου και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε τρίγωνα ίσα με το AEC

και ιδίου προσανατολισμού, δημιουργώντας το μεγαλύτερο τετράγωνο CNKH

, του οποίου το εμβαδόν $(CNKH)=2a^{2}$ είναι τετραπλάσιο του ζητούμενου.

christinat · #104

Β λυκείου
Πρόβλημα 3

$x^{2}+6x\cos{(xy)}+9=0, \ \Delta=36(\cos^{2}{(xy)}-1)$

Για να έχει η εξίσωση πραγματικές ρίζες πρέπει $\Delta\geq 0\Rightarrow \cos^{2}{(xy)}-1\geq 0$ (1)

Όμως επειδή $-1\leq \cos{(xy)}\leq 1$

Όποτε η ανισωση (1) εχει λύσεις μόνο όταν ισχύει η ισότητα

Δηλ $\cos{(xy)}=1$ ή $\cos{(xy)}=-1$

Αν $\cos{(xy)}=1$ τοτε η εξίσωση γίνεται:

$x^{2}+6x+9=0, \ \Delta=0 \Rightarrow x=-3$

$\cos{(xy)}=1\Rightarrow \cos{(-3y)}=1\Rightarrow \cos{(-3y)}=\cos{0^{\circ}}$

$-3y=2k\pi$ ,όπου

ακέραιος

Λόγω περιορισμών για το

δεκτή είναι μόνο η λύση για k=0

. Αρα

Αν τωρα $\cos{(xy)}=-1$ τοτε
$\cos{(3y)}=\cos{\pi}$ , οποτε $3y=k\pi$ ,

ακέραιος

Δεκτές είναι οι λύσεις για k=0,k=1,k=-1

Επομένως οι τελικές λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι:
$(x,y)=(-3,0),(3,\pi/3),(3,-\pi/3)$

Τσιαλας Νικολαος · #105

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:12 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 am

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm
Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση $-\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ να λυθεί $x^{2}+6xcos(xy)+9=0$

Λύση

, $-1\leq n \leq1$
$x^{2}+6nx+9=0$

$\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1$ Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο $n=\pm 1$
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;
Γιατί να μην μπορούμε;

Ευχαριστώ τους silouan kai cretanman για την ενημέρωση!
Παραθέτω το παρακάτω σύνδεσμο που μου έστειλε ο Αλέξανδρος
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... yY#p238277

LeoKoum · #106

Φαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494
Μαθητης Γ λυκειου

#107

LeoKoum έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:31 pm
Φαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494
Μαθητης Γ λυκειου

Πράγματι, η x=0

είναι προφανής λύση της |x^2-4|=ax+4

, ανεξάρτητα από το

, άρα υπάρχουν δύο λύσεις όταν |a|>2

(όχι μια όπως γράφουν). Επίσης, για $a=\pm 2$ , βγαίνουν τρεις λύσεις (όχι δύο όπως λένε).

Συνολικά, η τελική απάντηση έχει δοθεί σωστά στο forum εδώ.

Θα διορθωθούν σύντομα τα λάθη, και να μην ανησυχείς γι' αυτά.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#108

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θα λύσουμε την |x^2-4|=ax+4

για τις διάφορες τιμές του

.

Έχουμε τις περιπτώσεις:

****************************************
(I) Για a=0

, παίρνουμε |x^2-4|=4

.

Εύκολα βρίσκουμε x^2=8

ή

, δηλ., $x=\pm 2\sqrt{2}$ ή x=0

(διπλή).

Άρα η εξίσωση έχει τρεις ρίζες.

****************************************

(II) a>0.

Πρέπει $ax+4\geq 0$ , δηλ. $x\geq -\dfrac{4}{a}$ .

Έχουμε x^2-4=ax+4

ή

, δηλ.

ή

.

Η πρώτη έχει ρίζες $\rho_{1,2}=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2+32}}{2}$ και η δεύτερη x=0

ή

.

Ελέγχουμε εάν ανήκουν στο διάστημα $[-\dfrac{4}{a},+\infty)$ .

Αφού $-\dfrac{4}{a}<0$ , η x=0

είναι πάντοτε δεκτή. Επίσης, για a>0

η ανίσωση $-\dfrac{4}{a}\leq -a$ είναι ισοδύναμη με την $a^2\leq 4$ , κι άρα $0<a\leq 2$ με το "=" αν-ν a=2.

Για την $\rho_1=\dfrac{a+\sqrt{a^2+32}}{2}$ ισχύει $x_1\geq -\dfrac{4}{a},$ ανν $\sqrt{a^2+32}\geq -\left(a+\dfrac{8}{a}\right)$ που προφανώς ισχύει για a>0

ως γνήσια ανισότητα.

Για την $\rho_2=\dfrac{a-\sqrt{a^2+32}}{2}$ ισχύει $x_2\geq -\dfrac{4}{a},$ αν-ν $\sqrt{a^2+32}\leq a+\dfrac{8}{a}\iff a^2+32\leq a^2+16+\dfrac{64}{a^2}\iff a^2\leq 4,$

οπότε $0<a\leq 2$ με το "=" αν και μόνο αν a=2

.

Συνεπώς, έχουμε

- αν 0<a< 2

έχουμε τέσσερις ρίζες: x=0

,

, $x=\rho_1$ , $x=\rho_2$ .

- αν a=2

έχουμε τρεις, αφού τότε δύο από τις παραπάνω ρίζες συμπίπτουν: $\rho_2=\dfrac{a-\sqrt{a^2+32}}{2}=-2=-a.$

- αν a>2

, τότε έχουμε δύο ρίζες, τις x=0

ή $x=\rho_1.$ (απορρίπτονται η $\rho_2$ και

).

****************************************

(II) a<0.

Αφού

αν και μόνο αν |(-x)^2-4|=(-a)(-x)+4

, βλέπουμε άμεσα από την παραπάνω περίπτωση ότι

- αν -2<a< 0

έχουμε τέσσερις ρίζες,

- αν a=-2

έχουμε τρεις ρίζες,

- αν a<-2

, τότε έχουμε δύο ρίζες.

****************************************

Συνοψίζοντας η εξίσωση έχει

3 ρίζες εάν a=0

ή

4 ρίζες εάν 0<|a|<2

2 ρίζες εάν |a|>2

.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Al.Koutsouridis · #109

Άλλη μια παρόμοια προσέγγιση για το 3ο πρόβλημα της Γ' Λυκείου.

Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=$

$\displaystyle =\sqrt{\left (x^2-4\right )^2}$ .

Οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle ax+4 = \sqrt{\left (x^2-4\right )^2}$ , που είναι ισοδύναμη με το σύστημα

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \left ( ax+4 \right )^2 = \left ( x^2-4\right )^2 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4-8xx^2-a^2x^2-8a = 0 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \left (x^3-a^2x^2-8x-8a \right ) = 0 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x \left (x (x^2-a^2)-8(x+a) \right ) = 0 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \left (x (x-a)(x+a)-8(x+a) \right ) = 0 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+a)(x^2-ax-8)= 0 \\ ax+4 \geq 0 \end{matrix}\right.$

Η πρώτη εξίσωση του παραπάνω συστήματος έχει τις ρίζες

$\displaystyle x_{1} = 0$
$\displaystyle x_{2} = -a$
$\displaystyle x_{3,4} = \dfrac{a \pm \sqrt{a^2+32}}{2}$

οι οποιές θα πρέπει να ικανοποιούν και την ανίσωση του συστήματος. Η $x_{1}$ την ικανοποιεί για όλα τα

. Για την $x_{2}$ θα πρέπει $a(-a)+4 \geq 0 \Leftrightarrow |a| \leq 2$ . Για τις $x_{3,4}$ θα πρέπει να ισχύει

$\displaystyle a \left( \dfrac{a + \sqrt{a^2+32}}{2} \right )+4 \geq 0$ και $a \left( \dfrac{a - \sqrt{a^2+32}}{2} \right )+4 \geq 0$

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f_{3}(a)= a \left( \dfrac{a + \sqrt{a^2+32}}{2} \right )+4$ και $f_{4}(a)= a \left( \dfrac{a - \sqrt{a^2+32}}{2} \right )+4$ . Παρατηρούμε ότι το

και

είναι ρίζες των εξισώσεων $f_{3}(a)=0, f_{4}(a)=0$ αντίστοιχα και για τις παραγώγους τους έχουμε

$\displaystyle f_{3}^{\prime}(a)= \dfrac{\left (a + \sqrt{a^2+32} \right)^2}{2\sqrt{a^2+32}} > 0$ , Αρα ή $\displaystyle f_{3}(a)$ είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα $x_{3}$ θα είναι δεκτή για όλα τα $a \geq -2$ .

$\displaystyle f_{4}^{\prime}(a)= -\dfrac{\left (a - \sqrt{a^2+32} \right)^2}{2\sqrt{a^2+32}} < 0$ , Αρα ή $\displaystyle f_{4}(a)$ είναι γνησίως φθίνουσα και η ρίζα $x_{4}$ θα είναι δεκτή για όλα τα $a \leq 2$ .

Έχοντας υπόψη όλα τα παραπάνω αποτελέσματα και το γεγονός ότι μια από τις ρίζες για $a=\pm 2,0$ εμφανίζεται με πολλαπλότητα

, βρίσκουμε τελικά

Δυο ρίζες αν $\displaystyle a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Τρεις ρίζες αν $\displaystyle a \in \left \{-2,2,0 \right \}$
Τέσσερις ρίζες αν $\displaystyle a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

LeoKoum · #110

Εγω εκανα περιπου αυτο ακριβως , αλλα στο τελος εβγαλα σαν συμπερασμα οτι [b]για $a \in [-2,2]$ η εξισωση εχει τεσσερις ακριβως πραγματικες ριζες ενω για υπολοιπα

εχει 2 ακριβως πραγματικες ριζες[/b]. Μπορει να θεωρηθει λαθος αυτο επειδη καποιες λυσεις ειναι ισες μεταξυ τους;

#111

LeoKoum έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 22, 2019 5:21 pm
Εγω εκανα περιπου αυτο ακριβως , αλλα στο τελος εβγαλα σαν συμπερασμα οτι για $a \in [-2,2]$ η εξισωση εχει τεσσερις ακριβως πραγματικες ριζες ενω για υπολοιπα εχει 2 ακριβως πραγματικες ριζες. Μπορει να θεωρηθει λαθος αυτο επειδη καποιες λυσεις ειναι ισες μεταξυ τους;

Η απάντηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ελλειπής, αφού θα έπρεπε να γίνει ο έλεγχος για το εάν κάποιες λύσεις συμπίπτουν.

Σε κάθε περίπτωση, η τελική βαθμολογία θα βγει από τη συνολική λύση σου στο πρόβλημα, κι όχι μόνο από την τελική απάντηση.

Όπως και σε άλλα μηνύματα, αυτό που θα πρότεινα είναι να αφήσεις το πρόβλημα αυτό "πίσω" και να συνεχίσεις να αφιερώνεις χρόνο στα μαθηματικά.

Καλά αποτελέσμα και κάθε επιτυχία!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Κώστας Καρ. · #112

GeorgeSal έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 5:04 pm
Έχω μία ερώτηση...Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και στο 1ο θέμα πήρα και την περιίπτωση που a+b=0 (λόγω απροσεξίας)...Πόσες μονάδες πιστεύετε ότι θα μου αφαιρεθούν;

Δεν νομίζω να σου κόψουν πάνω από μία μονάδα. Έπρεπε όμως να 'σαι πιο προσεκτικός, τζάμπα μονάδες χάνεις...

Κώστας Καρ. · #113

Είμαι αρκετά σίγουρος ότι δεν μετράει, αλλά στο 3ο θέμα της Α' Λυκείου, όταν βρήκα τις λύσεις δεν τις έγραψα ως τριάδα, δηλαδή (x,y,z)=(2,6,10)
Λέτε να μου κόψουν τίποτα;

marika.x · #114

Γεια σας φίλοι μου.
Μήπως μπορεί κανείς να μου πει πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη ;
Ευχαριστώ πολύ .

kostoula.p · #115

Μήπως ξέρει κανείς πότε θα βγουν τα αποτελέσματα ;

Μενέλαος · #116

marika.x έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 7:05 pm
Γεια σας φίλοι μου.
Μήπως μπορεί κανείς να μου πει πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη ;
Ευχαριστώ πολύ .

Κάνεις δεν γνωρίζει στα σίγουρα . Λογικά αυτή την εβδομάδα θα τα βγάλουν

marika.x · #117

Έχουμε καμία ανακοίνωση περί της ημερομηνίας ανάρτησης των αποτελεσμάτων ;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #118

Βγήκαν τα αποτελέσματα!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #119

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του Ευκλείδη!
Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη και με το καλό τα βραβεία!

S.E.Louridas · #120

Συγχαρητήρια πολλά σε όλους τους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό αυτό, αφού η συμμετοχή τους και μόνο αποτελεί μία ηχηρή απάντηση στη πρόκληση της εποχής.
Αυτοί είναι η πιστοποίηση της Ελπίδας για το μέλλον της Πατρίδας.
Εύχομαι από καρδιάς σε αυτούς τους επίσης Άριστους που συνεχίζουν καλή συνέχεια με ακόμα περισσότερες επιτυχίες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: Επιτυχόντες Ευκλείδη

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση