ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#1

Αγαπητοί φίλοι,

Ας συζητήσουμε εδώ τις λύσεις των θεμάτων του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" της ΕΜΕ [b][color=#FF0000]όχι όμως νωρίτερα από τις 12 που είναι η επίσημη λήξη του διαγωνισμού[/color][/b]! Τα θέματα θα ανέβουν με τη λήξη του.

Καλή επιτυχία στους μαθητές που διαγωνίζονται!

Αλέξανδρος

#2

Πρόβλημα- 1 Α' Λυκείου

$\displaystyle {a^3} + {b^3} = 2ab(a + b) \Leftrightarrow (a + b)({a^2} - 3ab + {b^2}) = 0$ κι επειδή οι a, b

είναι θετικοί θα είναι $\displaystyle a + b \ne 0,$

άρα $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3ab \Rightarrow {a^4} + {b^4} = 7{a^2}{b^2}$ (1)

και $\displaystyle K = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^4} + {b^4}}}{{{a^2}{b^2}}}\mathop = \limits^{(1)} 7$

#3

ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι $x\ne 0$ . Παρατηρούμε ότι αν x>0

, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν x=3

ενώ αν

, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν x=-3

Συνεπώς,

$-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1$ για x>0

με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=3

και

$1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1$ για x<0

με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν x=-3

Έτσι, $\cos(xy)=1$ , με x=-3

και

ή $\cos(xy)=-1$ με x=3

και $xy=\pi.$ ή $xy=-\pi$

Συνεπώς, οι λύσεις είναι (x,y)=(-3,0)

και $(x,y)=(3,\pi/3)$ ή $(x,y)=(3,-\pi/3)$ .

Επεξεργασία (2:53μμ):Μια άσκηση παρόμοια με αυτή του ΘΕΜΑΤΟΣ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ βρίσκεται εδώ.

Η ιδέας της λύση που δώσαμε τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια λύση διαφορετική από αυτή που δώσαμε παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Οι θετικοί διαιρέτες του

που αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το

είναι οι

και οι θετικοί διαιρέτες του 243

που αφήνουν υπόλοιπο 3 όταν διαιρεθούν με το

είναι οι

.

Εύκολα βρίσκουμε ότι n=1,4,9

και

.

(α) Αφού $2(n+1)\leq 20$ και $-3(m+2)\leq -9$ έχουμε

$A\leq 20-9+7=18$ με το ίσο αν και μόνο αν (n,m)=(9,1)

.

(β) Αφού $\dfrac{1}{n^2}\geq \dfrac{1}{9^2}$ και $\dfrac{m^2}{3721}\leq \dfrac{61^2}{3721}=1$

είναι

$B=\dfrac{162}{n^2}-\dfrac{m^2}{3721}\geq \dfrac{162}{81}-1=1$ ,

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν (n,m)=(9,61)

.

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Από τις δοθείσες σχέσεις παίρνουμε

$\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{y}+\dfrac{5}{z}=\dfrac{5}{z}+\dfrac{1}{x}}$ ,

οπότε z=5x

και

.

Άρα η

$\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{140}{x^2+y^2+z^2}}$

δίνει

$\displaystyle{\dfrac{2}{x}=\dfrac{140}{x^2+9x^2+25x^2}=\dfrac{4}{x^2}}$ ,

η οποία δίνει x=2

. Άρα

.

#5

Πρόβλημα 4 Β Λυκείου

: Ευκλείδης 2019 Β Λυκείου.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 15019 φορές

H

είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, άρα $\displaystyle A\widehat IC = A\widehat KC = 90^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{CI=CK}$

$\displaystyle IA = IK \Leftrightarrow \omega = \varphi \Leftrightarrow 90^\circ - K\widehat AC = 90^\circ - B\widehat AD \Leftrightarrow K\widehat AC = B\widehat AD \Leftrightarrow$ $\boxed{CK=BD}$

#6

Πρόβλημα – 1 Β Λυκείου

$\displaystyle ||x + 8| - 3x| = \frac{{x + 7}}{6}$
Επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, το ίδιο θα συμβαίνει και με το δεύτερο, άρα $\displaystyle x \ge - 7 \Rightarrow x > - 8$

Οπότε η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle |x + 8 - 3x| = \frac{{x + 7}}{6} \Leftrightarrow - 2x + 8 = \frac{{x + 7}}{6}$ ή $\displaystyle - 2x + 8 = - \frac{{x + 7}}{6}$

απ’ όπου παίρνουμε τις λύσεις $\boxed{x=\frac{41}{13}}$ ή $\boxed{x=5}}$ που επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι $x\ne 0$ . Παρατηρούμε ότι αν , τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν

ενώ αν , τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν

Συνεπώς,

$-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1$ για με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν

και

$1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1$ για με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν

Έτσι, $\cos(xy)=1$ , με και ή $\cos(xy)=-1$ με και

Συνεπώς, οι λύσεις είναι και

Κάτι δεν πάει καλά. Η (3, 0)

δεν επαληθεύει, ενώ αντίθετα επαληθεύουν οι $(3, \frac{\pi}{3})$ και $(3, -\frac{\pi}{3})$

#8

Πρόβλημα – 4 Α’ Λυκείου

: Ευκλείδης 2019 Α Λυκείου.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 14989 φορές

α) Φέρνω τη διάμετρο BOZ

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

και

η προβολή του

στην

Το τρίγωνο

ZBK

είναι ισοσκελές κι επειδή $\widehat Z=60^\circ$ θα είναι ισόπλευρο. Είναι όμως BD=2DC,

άρα

είναι το βαρύκεντρο του

τριγώνου ZBK

που σημαίνει ότι τα σημεία K, E, O

είναι συνευθειακά. Με $\displaystyle KO \bot BZ \Leftrightarrow$ $\boxed{D\widehat OC=30^\circ}$

β) Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων BOD, CHD

είναι $\displaystyle HC = \frac{{BO}}{2} = \frac{R}{2}$
$\displaystyle (ABEC) = (ABE) + (ACE) = \frac{1}{2}AE \cdot BO + \frac{1}{2}AE \cdot CH = R\left( {R + \frac{R}{2}} \right) = \frac{{3{R^2}}}{2}$

Αλλά, $\displaystyle a = R\sqrt 3 \Leftrightarrow R = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow$ $\boxed{(ABEC)=\frac{a^2}{2}}$

#9

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:09 pm

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Προφανώς είναι $x\ne 0$ . Παρατηρούμε ότι αν , τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν

ενώ αν , τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν

Συνεπώς,

$-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1$ για με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν

και

$1\geq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1$ για με την (αναγκαστική) ισότητα αν-ν

Έτσι, $\cos(xy)=1$ , με και ή $\cos(xy)=-1$ με και

Συνεπώς, οι λύσεις είναι και
Κάτι δεν πάει καλά. Η δεν επαληθεύει, ενώ αντίθετα επαληθεύουν οι $(3, \frac{\pi}{3})$ και $(3, -\frac{\pi}{3})$

Ευχαριστώ! Το προφανές σφάλμα διορθώθηκε. Είναι $xy=\pm \pi$ στη 2η περίτπωση, όχι xy=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Θεωρώ.......να ανεβάζονται λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις.ΑΙσθανομαι σαν να ....στο πηγάδι.

Μενέλαος · #11

Γεια σας ,
Θα ήθελα να προσθέσω και εγω, μια λύση του προβλήματος 2 της τρίτης γυμνασίου

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222

LeoKoum · #12

Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου

#13

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222

(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).

sokpanvas · #14

LeoKoum έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:03 pm
Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου

Ολοκλήρωμα για να γράψεις το εμβαδόν τραπεζίου συναρτήσει του

; Πάντως και εγώ βρήκα m=2

Xriiiiistos · #15

Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση $-\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ να λυθεί $x^{2}+6xcos(xy)+9=0$

Λύση

cos(xy)=n

, $-1\leq n \leq1$
$x^{2}+6nx+9=0$

$\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1$ Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο $n=\pm 1$
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω

Μενέλαος · #16

silouan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).

Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789

Μενέλαος · #17

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm

silouan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789

Όντως από απροσεξία το γ το έγραψα λάθος είναι 755533222

Τσιαλας Νικολαος · #18

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm

silouan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789

βάλε και το 1 στο παιχνίδι

Μενέλαος · #19

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:12 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:11 pm

silouan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:05 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:01 pm

(α) : 555789

(β) : 2455579

(γ) : 75.533.222
(α) Σωστό, (β) λάθος, (γ) λάθος

Εξήγησέ μας και πώς βγήκε το α).
Ανέλυσα τον αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δηλαδή : 63.000 = 5^3 * 7 * 2^3 * 3^2
Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 555789
βάλε και το 1 στο παιχνίδι

Επίσης θα ήθελα να ρωτήσω : το σχήμα βαθμολογείται ; ( δηλαδή τι γίνεται σε περίπτωση που δεν υπάρχει σχήμα )

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #20

Θέμα 1 β' γυμνασίου

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

$A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}+a^{2}}{b^{2}}-10 \right )\left ( \dfrac{a^{2}-3b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )$
για $\dfrac{a}{\beta}=3$

Λύση:

$A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}}{\beta^{2}}+\dfrac{a^{2}}{\beta^2} -10\right )\left ( \dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{3\beta^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )=\left ( 3+\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^2 -10\right )\left ( 1+3\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^{-2} +\dfrac{13}{3}\right )=...\left ( 3+9-10 \right )\left ( 1-\dfrac{2}{3} +\dfrac{13}{3}\right )=2\cdot \dfrac{15}{3}=10\Leftrightarrow A=10$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση