Αυτό δεν το γνωρίζει κανείς . Παίζει σημαντικό ρόλο και τι έγραψαν οι άλλοι ...
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Μια άλλη λύση για το πρώτο θέμα της β λυκείου είναι να βγάλουμε το εξωτερικό απόλυτο και να πάρουμε δύο λύσεις με + και -.
Αφού εκτελέσουμε πράξεις μένει στη μια μεριά της εξίσωσης το εσωτερικό απόλυτο και παίρνουμε πάλι δύο λύσεις με + και -. Έτσι καταλήγουμε σε τέσσερις λύσεις. Κάνουμε επαλήθευση και απορρίπτονται οι δύο. Έτσι καταλήγουμε σε αυτές που ισχύουν.
Αφού εκτελέσουμε πράξεις μένει στη μια μεριά της εξίσωσης το εσωτερικό απόλυτο και παίρνουμε πάλι δύο λύσεις με + και -. Έτσι καταλήγουμε σε τέσσερις λύσεις. Κάνουμε επαλήθευση και απορρίπτονται οι δύο. Έτσι καταλήγουμε σε αυτές που ισχύουν.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Μία άλλη προσέγγιση για τη γεωμετρία της Α Λυκείου.
α) Αν είναι το μέσον του τόξου και το απόστημα της χορδής , το είναι το βαρύκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου , οπότε η διχοτομεί τη γωνία του και έχουμε τελειώσει.
β) Για το εμβαδόν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι γενικότερο:
Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το σημείο ανήκει σε διαφορετικό ημικύκλιο (ως προς τη διάμετρο ) από το σημείο με , τότε .
Απόδειξη
Με πλευρά την κατασκευάζουμε το τετράγωνο , στις πλευρές του οποίου και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε τρίγωνα ίσα με το και ιδίου προσανατολισμού, δημιουργώντας το μεγαλύτερο τετράγωνο , του οποίου το εμβαδόν είναι τετραπλάσιο του ζητούμενου.
α) Αν είναι το μέσον του τόξου και το απόστημα της χορδής , το είναι το βαρύκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου , οπότε η διχοτομεί τη γωνία του και έχουμε τελειώσει.
β) Για το εμβαδόν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι γενικότερο:
Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το σημείο ανήκει σε διαφορετικό ημικύκλιο (ως προς τη διάμετρο ) από το σημείο με , τότε .
Απόδειξη
Με πλευρά την κατασκευάζουμε το τετράγωνο , στις πλευρές του οποίου και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε τρίγωνα ίσα με το και ιδίου προσανατολισμού, δημιουργώντας το μεγαλύτερο τετράγωνο , του οποίου το εμβαδόν είναι τετραπλάσιο του ζητούμενου.
- Συνημμένα
-
- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.png (57.97 KiB) Προβλήθηκε 3609 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Β λυκείου
Πρόβλημα 3
Για να έχει η εξίσωση πραγματικές ρίζες πρέπει (1)
Όμως επειδή
Όποτε η ανισωση (1) εχει λύσεις μόνο όταν ισχύει η ισότητα
Δηλ ή
Αν τοτε η εξίσωση γίνεται:
,όπου ακέραιος
Λόγω περιορισμών για το δεκτή είναι μόνο η λύση για . Αρα
Αν τωρα τοτε
, οποτε , ακέραιος
Δεκτές είναι οι λύσεις για
Επομένως οι τελικές λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι:
Πρόβλημα 3
Για να έχει η εξίσωση πραγματικές ρίζες πρέπει (1)
Όμως επειδή
Όποτε η ανισωση (1) εχει λύσεις μόνο όταν ισχύει η ισότητα
Δηλ ή
Αν τοτε η εξίσωση γίνεται:
,όπου ακέραιος
Λόγω περιορισμών για το δεκτή είναι μόνο η λύση για . Αρα
Αν τωρα τοτε
, οποτε , ακέραιος
Δεκτές είναι οι λύσεις για
Επομένως οι τελικές λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι:
τελευταία επεξεργασία από cretanman σε Τρί Ιαν 22, 2019 12:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα $\LaTeX$
Λόγος: Διόρθωση κώδικα $\LaTeX$
Τσούρα Χριστίνα
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Ευχαριστώ τους silouan kai cretanman για την ενημέρωση!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 10:12 amΓιατί να μην μπορούμε;ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 amΜπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pmΘέμα 3 β λυκείου
Συνοπτικά η εκφώνηση να λυθεί
Λύση
,
Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
Παραθέτω το παρακάτω σύνδεσμο που μου έστειλε ο Αλέξανδρος
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... yY#p238277
τελευταία επεξεργασία από Τσιαλας Νικολαος σε Δευ Ιαν 21, 2019 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Φαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494
Μαθητης Γ λυκειου
Μαθητης Γ λυκειου
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Πράγματι, η είναι προφανής λύση της , ανεξάρτητα από το , άρα υπάρχουν δύο λύσεις όταν (όχι μια όπως γράφουν). Επίσης, για , βγαίνουν τρεις λύσεις (όχι δύο όπως λένε).LeoKoum έγραψε: ↑Δευ Ιαν 21, 2019 10:31 pmΦαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494
Μαθητης Γ λυκειου
Συνολικά, η τελική απάντηση έχει δοθεί σωστά στο forum εδώ.
Θα διορθωθούν σύντομα τα λάθη, και να μην ανησυχείς γι' αυτά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θα λύσουμε την για τις διάφορες τιμές του .
Έχουμε τις περιπτώσεις:
****************************************
(I) Για , παίρνουμε .
Εύκολα βρίσκουμε ή , δηλ., ή (διπλή).
Άρα η εξίσωση έχει τρεις ρίζες.
****************************************
(II) Πρέπει , δηλ. .
Έχουμε ή , δηλ. ή .
Η πρώτη έχει ρίζες και η δεύτερη ή .
Ελέγχουμε εάν ανήκουν στο διάστημα .
Αφού , η είναι πάντοτε δεκτή. Επίσης, για η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την , κι άρα με το "=" αν-ν
Για την ισχύει ανν που προφανώς ισχύει για ως γνήσια ανισότητα.
Για την ισχύει αν-ν
οπότε με το "=" αν και μόνο αν .
Συνεπώς, έχουμε
- αν έχουμε τέσσερις ρίζες: , , , .
- αν έχουμε τρεις, αφού τότε δύο από τις παραπάνω ρίζες συμπίπτουν:
- αν , τότε έχουμε δύο ρίζες, τις ή (απορρίπτονται η και ).
****************************************
(II)
Αφού αν και μόνο αν , βλέπουμε άμεσα από την παραπάνω περίπτωση ότι
- αν έχουμε τέσσερις ρίζες,
- αν έχουμε τρεις ρίζες,
- αν , τότε έχουμε δύο ρίζες.
****************************************
Συνοψίζοντας η εξίσωση έχει
3 ρίζες εάν ή
4 ρίζες εάν
2 ρίζες εάν .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Θα λύσουμε την για τις διάφορες τιμές του .
Έχουμε τις περιπτώσεις:
****************************************
(I) Για , παίρνουμε .
Εύκολα βρίσκουμε ή , δηλ., ή (διπλή).
Άρα η εξίσωση έχει τρεις ρίζες.
****************************************
(II) Πρέπει , δηλ. .
Έχουμε ή , δηλ. ή .
Η πρώτη έχει ρίζες και η δεύτερη ή .
Ελέγχουμε εάν ανήκουν στο διάστημα .
Αφού , η είναι πάντοτε δεκτή. Επίσης, για η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την , κι άρα με το "=" αν-ν
Για την ισχύει ανν που προφανώς ισχύει για ως γνήσια ανισότητα.
Για την ισχύει αν-ν
οπότε με το "=" αν και μόνο αν .
Συνεπώς, έχουμε
- αν έχουμε τέσσερις ρίζες: , , , .
- αν έχουμε τρεις, αφού τότε δύο από τις παραπάνω ρίζες συμπίπτουν:
- αν , τότε έχουμε δύο ρίζες, τις ή (απορρίπτονται η και ).
****************************************
(II)
Αφού αν και μόνο αν , βλέπουμε άμεσα από την παραπάνω περίπτωση ότι
- αν έχουμε τέσσερις ρίζες,
- αν έχουμε τρεις ρίζες,
- αν , τότε έχουμε δύο ρίζες.
****************************************
Συνοψίζοντας η εξίσωση έχει
3 ρίζες εάν ή
4 ρίζες εάν
2 ρίζες εάν .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Άλλη μια παρόμοια προσέγγιση για το 3ο πρόβλημα της Γ' Λυκείου.
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα
.
Οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση , που είναι ισοδύναμη με το σύστημα
Η πρώτη εξίσωση του παραπάνω συστήματος έχει τις ρίζες
οι οποιές θα πρέπει να ικανοποιούν και την ανίσωση του συστήματος. Η την ικανοποιεί για όλα τα . Για την θα πρέπει . Για τις θα πρέπει να ισχύει
και
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και . Παρατηρούμε ότι το και είναι ρίζες των εξισώσεων αντίστοιχα και για τις παραγώγους τους έχουμε
, Αρα ή είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα θα είναι δεκτή για όλα τα .
, Αρα ή είναι γνησίως φθίνουσα και η ρίζα θα είναι δεκτή για όλα τα .
Έχοντας υπόψη όλα τα παραπάνω αποτελέσματα και το γεγονός ότι μια από τις ρίζες για εμφανίζεται με πολλαπλότητα , βρίσκουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα
.
Οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση , που είναι ισοδύναμη με το σύστημα
Η πρώτη εξίσωση του παραπάνω συστήματος έχει τις ρίζες
οι οποιές θα πρέπει να ικανοποιούν και την ανίσωση του συστήματος. Η την ικανοποιεί για όλα τα . Για την θα πρέπει . Για τις θα πρέπει να ισχύει
και
Θεωρούμε τις συναρτήσεις και . Παρατηρούμε ότι το και είναι ρίζες των εξισώσεων αντίστοιχα και για τις παραγώγους τους έχουμε
, Αρα ή είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα θα είναι δεκτή για όλα τα .
, Αρα ή είναι γνησίως φθίνουσα και η ρίζα θα είναι δεκτή για όλα τα .
Έχοντας υπόψη όλα τα παραπάνω αποτελέσματα και το γεγονός ότι μια από τις ρίζες για εμφανίζεται με πολλαπλότητα , βρίσκουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Εγω εκανα περιπου αυτο ακριβως , αλλα στο τελος εβγαλα σαν συμπερασμα οτι [b]για η εξισωση εχει τεσσερις ακριβως πραγματικες ριζες ενω για υπολοιπα εχει 2 ακριβως πραγματικες ριζες[/b]. Μπορει να θεωρηθει λαθος αυτο επειδη καποιες λυσεις ειναι ισες μεταξυ τους;
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τρί Ιαν 22, 2019 9:20 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή γραμματοσειράς σε κανονικό μέγεθος / Γραφή σε LaTeX
Λόγος: Μετατροπή γραμματοσειράς σε κανονικό μέγεθος / Γραφή σε LaTeX
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Η απάντηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ελλειπής, αφού θα έπρεπε να γίνει ο έλεγχος για το εάν κάποιες λύσεις συμπίπτουν.
Σε κάθε περίπτωση, η τελική βαθμολογία θα βγει από τη συνολική λύση σου στο πρόβλημα, κι όχι μόνο από την τελική απάντηση.
Όπως και σε άλλα μηνύματα, αυτό που θα πρότεινα είναι να αφήσεις το πρόβλημα αυτό "πίσω" και να συνεχίσεις να αφιερώνεις χρόνο στα μαθηματικά.
Καλά αποτελέσμα και κάθε επιτυχία!
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 7
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 24, 2019 10:17 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Δεν νομίζω να σου κόψουν πάνω από μία μονάδα. Έπρεπε όμως να 'σαι πιο προσεκτικός, τζάμπα μονάδες χάνεις...
-
- Δημοσιεύσεις: 7
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 24, 2019 10:17 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Είμαι αρκετά σίγουρος ότι δεν μετράει, αλλά στο 3ο θέμα της Α' Λυκείου, όταν βρήκα τις λύσεις δεν τις έγραψα ως τριάδα, δηλαδή (x,y,z)=(2,6,10)
Λέτε να μου κόψουν τίποτα;
Λέτε να μου κόψουν τίποτα;
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γεια σας φίλοι μου.
Μήπως μπορεί κανείς να μου πει πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη ;
Ευχαριστώ πολύ .
Μήπως μπορεί κανείς να μου πει πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη ;
Ευχαριστώ πολύ .
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 18, 2019 7:32 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Κάνεις δεν γνωρίζει στα σίγουρα . Λογικά αυτή την εβδομάδα θα τα βγάλουν
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Έχουμε καμία ανακοίνωση περί της ημερομηνίας ανάρτησης των αποτελεσμάτων ;
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Βγήκαν τα αποτελέσματα!
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Επιτυχόντες Ευκλείδη
Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του Ευκλείδη!
Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη και με το καλό τα βραβεία!
Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη και με το καλό τα βραβεία!
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συγχαρητήρια πολλά σε όλους τους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό αυτό, αφού η συμμετοχή τους και μόνο αποτελεί μία ηχηρή απάντηση στη πρόκληση της εποχής.
Αυτοί είναι η πιστοποίηση της Ελπίδας για το μέλλον της Πατρίδας.
Εύχομαι από καρδιάς σε αυτούς τους επίσης Άριστους που συνεχίζουν καλή συνέχεια με ακόμα περισσότερες επιτυχίες.
Αυτοί είναι η πιστοποίηση της Ελπίδας για το μέλλον της Πατρίδας.
Εύχομαι από καρδιάς σε αυτούς τους επίσης Άριστους που συνεχίζουν καλή συνέχεια με ακόμα περισσότερες επιτυχίες.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες