Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 445
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών \displaystyle{(p, q, r)}, ώστε \displaystyle{p^2+q^2=r^2+417}.

Πρόβλημα 2

Να βρείτε το πλήθος των τριάδων \displaystyle{(A, B, C)}, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. Τα \displaystyle{A, B, C} είναι υποσύνολα του συνόλου \displaystyle{\{1, 2, 3, \ldots, 2019\}}.
ii. \displaystyle{A\cap B=\emptyset}
iii. \displaystyle{A\cap C=\emptyset} και \displaystyle{B\cap C=\emptyset}

Πρόβλημα 3

Έστω \displaystyle{ABCD} εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο με κέντρο \displaystyle{O}. Ονομάζουμε \displaystyle{E} το σημείο τομής των διχοτόμων \displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)} των γωνιών \displaystyle{\angle{CAD}, \angle{CBD}}, αντίστοιχα. Θεωρούμε \displaystyle{A', B'} τα συμμετρικά των \displaystyle{A, B} ως προς τις \displaystyle{(\delta_2), (\delta_1)}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{P} το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{AB'} και \displaystyle{BA'}. Να δείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{E, O, P} είναι συνευθειακά.

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 12, 2019 6:36 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm
Πρόβλημα 1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών \displaystyle{(p, q, r)}, ώστε \displaystyle{p^2+q^2=r^2+417}.

p^{2}+q^{2}\equiv r^{2}(mod3) αν 3/r ΤΌΤΕ πρέπει 3/p\kappa \alpha \iota q το οποίο δεν δίνει λύση άρα q^{2}+p^{2}\equiv 1(mod3) οπότε ο ένας παό τους 2 διαιρείται με το 3 έστω p/3\Rightarrow p=3 ΑΦΟΎ p πρώτος (x^{2}\equiv 0\eta 1(mod3) για κάθε x ακέραιο). Οπότε έχουμε q^{2}=r^{2}+408\Leftrightarrow (q-r)(q+r)=2^{3}3\cdot 17 kai μετά παίρνουμε περιπτώσεις


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Ιαν 12, 2019 6:45 pm

Καλησπέρα, μία λύση για το 1ο.
Θα εξετάσουμε την περίπτωση γιαp,q,r διάφοροι του 3.
Τότε, από μικρό θεώρημα Fermat έχουμε ότι p^{2}\equiv 1 mod 3,q^{2}\equiv 1mod3,r^{2}\equiv 1mod3.
Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο.
Άρα ένας εκ των τριών είναι 3.

Έστω ότι p=3.
Τότε (q-r)(q+r)=408 και διακρίνοντας περιπτώσεις (σαφώς αποκλείουμε αυτές που δεν δίνουν r,q πρώτους) έχουμε ότι q=103,r=101 ή q=23,r=11 ή q=37, r=31.
Όμοια για q=3 θα προκύψουν οι αναδιατάξεις μεταξύ p,q

Γιαr=3, θα είναι p^{2}+q^{2}=426, άρα p\leq 20.(εξετάζω μόνο για τον p και θα προκύψουν αναδιατάξεις των λύσεων)
Διακρίνοντας περιπτώσεις για τους πρώτους που υπάρχουν εώς το 20 παρατηρούμε ότι δεν έχουμε λύσεις.

Συνοψίζοντας μοναδικές λύσεις είναι (p,q,r)=(3,103,101),(3,23,11),(3,37,31) και οι αναδιατάξεις των τιμών των p,q σε κάθε λύση.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6152
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}
Λόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" \displaystyle{[0,1]^4}.

Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{1}) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με \displaystyle{\frac23} (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{\frac{1}{27}+\frac{6}{7}<1.})


Μάγκος Θάνος
min##
Δημοσιεύσεις: 159
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:00 pm

Για τη Γεωμετρία:Αν X\equiv BA'\cap (ABCD),Y\equiv AB'\cap (ABCD) είναι απλό ότι ABX\angle =180-2ABD\angle -CBD\angle =ADC\angle -ACD\angle,δηλαδή ότι το X είναι συμμετρικό του A ως προς την OE.Το ίδιο ισχύει και για τα Y,B,άρα η τομή των AB',A'B βρίσκεται στην OE (άξονας συμμετρίας)..


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8056
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 12, 2019 11:39 pm

matha έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pm
Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}
Λόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" \displaystyle{[0,1]^4}.

Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{1}) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με \displaystyle{\frac23} (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{\frac{1}{27}+\frac{6}{7}<1.})

Θάνο, νομίζω δεν είναι σωστό αυτό λόγω της επιπλέον συνθήκης x_1+x_2+x_3+x_4=2.

Π.χ. το μέγιστο της (1-x)(1-y) με x,y \in [0,1] και x+y = 1 δεν λαμβάνεται στα άκρα αλλά στο x=y=1/2. [Παρόλο που η συνάρτηση είναι κυρτή σε κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.]


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6152
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιαν 13, 2019 12:18 am

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:39 pm
matha έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pm
Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}
Λόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" \displaystyle{[0,1]^4}.

Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{1}) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με \displaystyle{\frac23} (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με \displaystyle{\frac{1}{27}+\frac{6}{7}<1.})

Θάνο, νομίζω δεν είναι σωστό αυτό λόγω της επιπλέον συνθήκης x_1+x_2+x_3+x_4=2.

Π.χ. το μέγιστο της (1-x)(1-y) με x,y \in [0,1] και x+y = 1 δεν λαμβάνεται στα άκρα αλλά στο x=y=1/2. [Παρόλο που η συνάρτηση είναι κυρτή σε κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.]
Δημήτρη, έχεις δίκιο. Το παράδειγμα σου δεν αφήνει περιθώρια αμφισβήτησης. Η αλήθεια είναι ότι όταν το έγραψα είχα έναν δισταγμό για την ορθότητα του ισχυρισμού μου, αλλά το προσπέρασα επιπόλαια. Το αφήνω για παραδειγματισμό. :D


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 13, 2019 3:53 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}
Αρκετά δύσκολο θέμα!

Έστω 1-x_1=a, 1-x_2=b, 1-x_3=c, 1-x_4=d, οπότε a+b+c+d=2, και 0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1.

Τότε, αρκεί \displaystyle \sum \dfrac{1-a}{a+2}+abcd \leqslant 1 ή ισοδύναμα \displaystyle \sum \dfrac{3}{a+2}+abcd \leqslant 5.

Αν a,b,c,d>\dfrac{1}{2}, τότε είναι 2=a+b+c+d>2, άτοπο.

Άρα, ένας τουλάχιστον εκ των a,b,c,d είναι \leqslant \dfrac{1}{2}, χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω d \leqslant \dfrac{1}{2}.

Θα δείξω τώρα το εξής Λήμμα :

Λήμμα

Για κάθε s \in \mathbb{R} με 0 \leqslant s \leqslant 1, ισχύει \dfrac{3}{s+2} \leqslant \dfrac{3-s}{2}.

Απόδειξη

Μετά τις πράξεις, αρκεί s(s-1) \leqslant 0, που προφανώς ισχύει για s \in [0,1].

Πάμε στην απόδειξη της άσκησης.

Από το Λήμμα, για s=a, s=b, s=c παίρνουμε \dfrac{3}{a+2}+\dfrac{3}{b+2}+\dfrac{3}{c+2} \leqslant \dfrac{3-a}{2}+\dfrac{3-b}{2}+\dfrac{3-c}{2}=\dfrac{d+7}{2} (χρησιμοποιήθηκε ότι a+b+c+d=2).

Επίσης, από ΑΜ-ΓΜ, είναι abcd \leqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{27} d=\dfrac{(2-d)^3 d}{27}.

Άρα, είναι \displaystyle \sum \dfrac{3}{a+2}+abcd \leqslant \dfrac{d+7}{2}+\dfrac{(2-d)^3 d}{27}+\dfrac{3}{d+2}, οπότε αρκεί :

\dfrac{d+7}{2}+\dfrac{(2-d)^3 d}{27} +\dfrac{3}{d+2} \leqslant 5 , με \dfrac{1}{2} \leqslant d \leqslant  1.

Η παραπάνω ανισότητα μετά τις (εξαντλητικές) πράξεις δίνει 2d^5-9d^4+6d^3-7d^2+3d \leq 0.

Η παραπάνω όμως γράφεται d(2d-1)(d^3-4d^2+d-3) \geq 0, που ισχύει διότι :

i) d \geqslant 0

ii) 2d \leqslant 1 (αφού d \leqslant \dfrac{1}{2})

iii) d^3-4d^2+d-3=d^2(d-1)+d-3<0, αφού d \leqslant 1<3<4.

Η ισότητα, ισχύει όταν δύο εκ των c,d είναι 0, και οι άλλοι δύο είναι 1, δηλαδή όταν δύο εκ των x_i είναι 0, και οι άλλοι δύο είναι 1.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8056
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 13, 2019 5:46 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 13, 2019 3:53 pm
Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:36 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4\in[0, 1]}, ώστε \displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=2}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant 1}
Αρκετά δύσκολο θέμα!

Και εγώ έτσι νομίζω. Δίνω την δική μου λύση. Θα αποδείξω με τις ίδιες συνθήκες ότι

\displaystyle  \displaystyle{\dfrac{x_1}{3-x_1}+\dfrac{x_2}{3-x_2}+\dfrac{x_3}{3-x_3}+\dfrac{x_4}{3-x_4}+(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)\leqslant \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2}}

Ισοδύναμα θέλω

\displaystyle  \sum \frac{x_i(1-x_i)}{2(3-x_i)} \geqslant (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)

Πάλι ισοδύναμα, θέλω

\displaystyle  \sum \frac{x_i(1-x_i)}{(3-x_i)} \geqslant (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)(1-x_1)(1-x_2)(1_x_3)(1-x_4)

Αρκεί να δείξω ότι

\displaystyle  \frac{x_1(1-x_1)}{(3-x_1)} \geqslant x_1(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)

ή ισοδύναμα

\displaystyle  (3-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4) \leqslant 1

Αυτό είναι άμεσο από ΑΜ-ΓΜ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης