Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιαν 06, 2019 4:01 pm

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 6η τάξη.


1. Πίνακας διαστάσεων 10 \times 10 είναι συμπληρωμένος με τους αριθμούς 1 έως 100: στην πρώτη γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το 1 ως το 10 κατά αύξουσα σειρά. Στην δεύτερη γραμμή ομοίως, είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το 11 ως το 20 και ούτω κάθε εξής. Στην τελευταία γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το 91 ως το 100. Μπορεί άραγε σε αυτό το πίνακα να βρεθεί κομμάτι των 7 κελιών της μορφής,
spmo_2018_19_round1_class6_pr1.png
spmo_2018_19_round1_class6_pr1.png (4.28 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
το άθροισμα των αριθμών στο οποίο να είναι ίσο με 455; (το κομμάτι μπορεί να περιστραφεί.)


2. Του Κωνσταντίνου όταν ήταν μικρός του έμαθαν λανθασμένα, να προσθέτει φυσικούς αριθμούς. Πιστεύει, ότι μετά την συνήθη σε όλους μας πρόσθεση πρέπει να τοποθετήσει τα ψηφία του αθροίσματος κατά φθίνουσα σειρά. Θα συμβολίσουμε την πράξη της πρόσθεσης κατά τον Κωνσταντίνο με το σύμβολο \oplus (για παράδειγμα, 99 \oplus  2=110.) Υπάρχουν άραγε μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί a και b, για τους οποίους a \oplus b =a;


3. Γύρο από μεγάλο κυκλικό τραπέζι κάθονται 100 άτομα. Ο καθένας από αυτούς είναι είτε ντόμπρος, είτε ψεύτης, είτε ανάποδος. Οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια, οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Οι ανάποδοι λένε την αλήθεια, αν αριστερά τους κάθεται ψεύτης , ψέματα, αν αριστερά τους κάθεται ντόμπρος και οτιδήποτε, αν αριστερά τους κάθεται ανάποδος. Ο καθένας τους είπε «Αριστερά μου κάθεται ψεύτης». Πόσοι είναι οι ψεύτες; Απαριθμήστε όλες τις δυνατές απαντήσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.


4. Η δασκάλα θεωρεί μερικούς μαθητές της έκτης τάξης αριστούχους (του Α) και τους υπόλοιπους σχεδόν καλούς (του Δ). Κατά την διάρκεια του τριμήνου στην τάξη διεξήχθησαν έξι διαγωνίσματα στα μαθηματικά (σε αυτά μπήκαν βαθμοί από Α έως Δ). Σε κάθε διαγώνισμα συμμετείχαν όλοι οι μαθητές της τάξης και σε κάθε διαγώνισμα καθόντουσαν δυο μαθητές σε κάθε θρανίο (πιθανόν σε διαφορετικά διαγωνίσματα με διαφορετικό τρόπο). Μαθητής του Δ κατά ένα μαγικό τρόπο έπαιρνε βαθμό Γ, αν καθόταν δίπλα σε ένα αριστούχο και Δ, αν καθόταν διπλά σε ένα άλλο μαθητή του Δ. Συνολικά σε αυτά τα διαγωνίσματα τα Α ήταν 3 φορές περισσότερα από τα Β και τα Γ, 10 φορές λιγότερα από τα Δ. Αποδείξτε, ότι θα βρεθεί αριστούχος, ο οποίος πήρε τουλάχιστον ένα βαθμό το πολύ Γ.



Πηγή



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 327
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιαν 06, 2019 5:02 pm

1.

Στο σχήμα που δίνεται οι τιμές των κελιών έχουν την παρακάτω μορφή

a+a+1+a+9+a+10+a+11+a+19+a+20=455\Leftrightarrow 7a+70=455\Leftrightarrow a=\dfrac{385}{7}=55
Συνημμένα
Capture4.PNG
Capture4.PNG (15.41 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 327
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιαν 06, 2019 5:31 pm

2.

Αφού a\oplus b=a πρέπει ο a να έχει ψηφία σε φθίνουσα σειρά.
Επιπλέον πρέπει οι a+b και a να έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων(και τα ίδια ψηφία) .
Όμως ο a είναι ο μέγιστος που μπορεί να γραφεί με τα δεδομένα ψηφία και ο a+b δεν μπορεί να έχει τα ίδια ψηφία με b>0.
Άρα δεν υπαρχουν.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιαν 09, 2019 4:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Ιαν 06, 2019 4:01 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 6η τάξη.




3. Γύρο από μεγάλο κυκλικό τραπέζι κάθονται 100 άτομα. Ο καθένας από αυτούς είναι είτε ντόμπρος, είτε ψεύτης, είτε ανάποδος. Οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια, οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Οι ανάποδοι λένε την αλήθεια, αν αριστερά τους κάθεται ψεύτης , ψέματα, αν αριστερά τους κάθεται ντόμπρος και οτιδήποτε, αν αριστερά τους κάθεται ανάποδος. Ο καθένας τους είπε «Αριστερά μου κάθεται ψεύτης». Πόσοι είναι οι ψεύτες; Απαριθμήστε όλες τις δυνατές απαντήσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.
Έστω k οι ψεύτες, \ell οι ντόμπροι και m οι ανάποδοι. Έστω ακόμη, ότι s από τους ανάποδους έχουν αριστερό ψεύτη, p από τους ανάποδους έχουν αριστερό ντόμπρο, και τέλος t ανάποδοι έχουν αριστερό ανάποδο.

Προφανώς, έχουμε k+\ell+m=100 και m=s+p+t , με k,l,m,p,s,t \in \mathbb{N}.

Ο κάθε ένας από τους k ντόμπρους, είπε την αλήθεια λέγοντας ότι έχει αριστερό ψεύτη , οπότε έχουμε τουλάχιστον k ψεύτες, και επίσης κάθε ένας από τους s ανάποδους με αριστερό ψεύτη είπε την αλήθεια, άρα έχουμε άλλους s ψεύτες.

Άρα, \ell \geqslant k+s και όμοια k \geqslant \ell+p, οπότε, \ell \geqslant k+s \geqslant \ell+p+s \Rightarrow p+s \leqslant 0 \Rightarrow p=s=0.

Οπότε, \ell \geqslant k \geqslant \ell \Rightarrow k=\ell.

Ακόμη, αφού p=s=0, προκύπτει ότι όλοι οι ανάποδοι έχουν επίσης αριστερό ανάποδο.

Έστω, A_1, A_2, \ldots, A_{100} τα 100 άτομα.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :

Περίπτωση 1 m \geqslant 1.

Θα υπάρχει τουλάχιστον ένα i ώστε ο A_i είναι ανάποδος. Τότε, και οι αριστερός του, ο A_{i+1} θα είναι ανάποδος, το ίδιο και ο A_{i+2} και άρα προκύπτει ότι όλοι είναι ανάποδοι.

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η περίπτωση όπου και οι εκατό είναι ανάποδοι, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, οπότε μία τιμή του k (αριθμός ψευτών) είναι 0.

Περίπτωση 2 m=0.

Τότε, ισχύει 100=k+\ell+m=2k \Rightarrow k=\ell =50.

Μένει να δείξουμε μία κατασκευή που δείχνει ότι γίνεται k=\ell=50.Πράγματι, τοποθετούμε εναλλάξ τους ντόμπρους και τους ψεύτες στο τραπέζι (δηλαδή ντόμπρος-ψεύτης-ντόμπρος-ψεύτης κτλ).
Τότε, πράγματι κάθε ντόμπρος έχει διπλανό ψεύτη και λέει την αλήθεια, και κάθε ψεύτης έχει διπλανό ντόμπρο και λέει ψέματα.

Τελικά, ο αριθμός των ψευτών είναι 0 ή 50.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Majestic-12 [Bot] και 2 επισκέπτες