Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1807
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
[b]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.[/b]
[b]1.[/b] Το είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή. Η ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου είναι ίση με . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου .
[b]2.[/b] Δίνεται μη μηδενικός φυσικός αριθμός . Σε ένα λευκό πίνακα μερικά κελιά είναι χρωματισμένα με μαύρο χρώμα. Είναι γνωστό, ότι για οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό , τέτοιο ώστε , σε κάθε τετραγωνισμένο ορθογώνιο εμβαδού υπάρχει τουλάχιστον ένα μαύρο κελί. Να αποδείξετε, ότι σε οποιοδήποτε τετραγωνισμένο ορθογώνιο εμβαδού επίσης θα υπάρχει μαύρο κελί.
[b]3.[/b] Να βρείτε τον ελάχιστο μη μηδενικό φυσικό αριθμό , στον οποίο υπάρχουν τρεις διαφορετικοί διαιρέτες, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με .
[b]4.[/b] Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Σημείο, συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , βρίσκεται πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να βρείτε τον λόγο .
[b]5.[/b] Να βρείτε όλε τις τιμές, που μπορεί να πάρει η έκφραση
Για θετικά . (Ως συνήθως, με συμβολίζεται το ακέραιο μέρος του αριθμού , δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .)
[size=85][url=http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/]Πηγή[/url][/size]
[b]1.[/b] Το είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή. Η ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου είναι ίση με . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου .
[b]2.[/b] Δίνεται μη μηδενικός φυσικός αριθμός . Σε ένα λευκό πίνακα μερικά κελιά είναι χρωματισμένα με μαύρο χρώμα. Είναι γνωστό, ότι για οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό , τέτοιο ώστε , σε κάθε τετραγωνισμένο ορθογώνιο εμβαδού υπάρχει τουλάχιστον ένα μαύρο κελί. Να αποδείξετε, ότι σε οποιοδήποτε τετραγωνισμένο ορθογώνιο εμβαδού επίσης θα υπάρχει μαύρο κελί.
[b]3.[/b] Να βρείτε τον ελάχιστο μη μηδενικό φυσικό αριθμό , στον οποίο υπάρχουν τρεις διαφορετικοί διαιρέτες, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με .
[b]4.[/b] Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Σημείο, συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , βρίσκεται πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να βρείτε τον λόγο .
[b]5.[/b] Να βρείτε όλε τις τιμές, που μπορεί να πάρει η έκφραση
Για θετικά . (Ως συνήθως, με συμβολίζεται το ακέραιο μέρος του αριθμού , δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .)
[size=85][url=http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/]Πηγή[/url][/size]
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13298
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Έστω Τότε το έχει γιαAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 28, 2018 10:28 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.
1. Το είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή. Η ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου είναι ίση με . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του δευτεροβάθμιου τριωνύμου .
ελάχιστη τιμή ίση με
με ελάχιστη τιμή
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Καλή Χρονιά σε όλους!Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 28, 2018 10:28 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.
3. Να βρείτε τον ελάχιστο μη μηδενικό φυσικό αριθμό , στον οποίο υπάρχουν τρεις διαφορετικοί διαιρέτες, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με .
Έστω οι τρεις αυτοί διαιρέτες, με και . Τότε, .
Προφανώς, πρέπει για κάθε . Τότε, προκύπτει εύκολα ότι .
Αν όλοι οι είναι , πρέπει , άτοπο.
Άρα, υπάρχει δείκτης ώστε .
Όμοια, υπάρχει δείκτης ώστε .
Όμως, , οπότε , και όμοια .
Επίσης, , άρα .
Δοκιμάζουμε αν γίνεται . Πράγματι, αν , τότε προφανώς όλοι οι διαιρούν τον , και .
Οπότε, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Θα δείξουμε πρώτα το εξής Λήμμα :Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 28, 2018 10:28 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.
5. Να βρείτε όλες τις τιμές, που μπορεί να πάρει η έκφραση
Για θετικά . (Ως συνήθως, με συμβολίζεται το ακέραιο μέρος του αριθμού , δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .)
Λήμμα
Για κάθε , ισχύει
Απόδειξη
i) Αν , τότε και άρα αρκεί ή αλλιώς .
Αν , τότε, .
Αν πάλι , τότε, .
ii) Αν , τότε , οπότε αν , προκύπτει .
Αν , τότε , και μένει να δείξουμε ότι , που προφανώς ισχύει αφού .
iii) Αν τέλος , τότε αν , εύκολα έχουμε , άρα .
Μένει να δούμε τι γίνεται αν . Τότε, , άρα και αρκεί πλέον , που προφανώς ισχύει, αφού .
Η απόδειξη του Λήμματος ολοκληρώθηκε. Ας δούμε τώρα την λύση της άσκησης.
Έστω .
Τότε, αν , προφανώς .
Αν ακόμη , οπότε προκύπτει ξανά .
Αν τώρα , από το Λήμμα έχουμε ότι .
Ακόμη, έχουμε (από τον ορισμό του ακεραίου μέρους ουσιαστικά) ότι .
Άρα, , και αφού ο είναι φυσικός (ως γινόμενο φυσικών) έχουμε .
Θα δείξω ότι όλες αυτές οι τιμές μπορούν όντως να παρθούν.
Πράγματι, αν για κάθε επιλέξουμε τέτοιο ώστε , έχουμε ότι , οπότε και .
Επομένως, παίρνοντας διαδοχικά και ώστε , προκύπτουν οι εξής τιμές .
Για να πάρουμε , επιλέγουμε , και για να πάρουμε , επιλέγουμε .
Τελικά, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Έστω το συμμετρικό του ως προς την , και .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 28, 2018 10:28 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 9η τάξη.
4. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Σημείο, συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , βρίσκεται πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να βρείτε τον λόγο .
Τότε, είναι και από μετρικές σχέσεις έχουμε .
Ακόμη, αφού (1).
Ακόμη, (2).
Επίσης, και από την (2), , οπότε σε συνδυασμό με την (2), έχουμε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε εγγράφεται σε κύκλο.
Έτσι, , από την (1).
Άρα, (3).
Ακόμη, είναι , και άρα (4).
Είναι επίσης,
(5).
Συνδυάζοντας τις (3), (4), (5) προκύπτει και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1807
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 9)
Χρόνια πολλά και Καλή Χρονιά!!!
Ο Ορέστης έκανε δυναμικό ποδαρικό . Σου εύχομαι τα καλύτερα για το 2019.
Άλλη μια προσπάθεια για το τέταρτο πρόβλημα
Λήμμα: Το συμμετρικό του ορθοκέντρου ενός τριγώνου, ως προς το μέσο μιας πλευράς του, βρίσκεται στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και είναι αντιδιαμετρικό της κορυφής που δε βρίσκεται σε αυτή την πλευρά.
Στο πρόβλημά μας τώρα
Είναι και . Άρα ( όπου το συμμετρικό του ως προς την ). Από αυτή ην συμμετρία έχουμε ότι . Οπότε τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
Εφόσον , θα είναι και . Επομένως η προέκταση του θα τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο αντιδιαμετρικό του .
Από την τελευταία πρόταση και το παραπάνω λήμμα προκύπτει ότι, οι ευθείες και ταυτίζονται (όπου το μέσο του ). Οπότε οι γωνίες και είναι κατακορυφήν και κοινή διχοτόμος τους. Άρα το σημείο είναι το μέσο του τμήματος και ο ζητούμενος λόγος είναι .
Ο Ορέστης έκανε δυναμικό ποδαρικό . Σου εύχομαι τα καλύτερα για το 2019.
Άλλη μια προσπάθεια για το τέταρτο πρόβλημα
Που βασίζεται στο παρακάτω λήμμα (το αφήνω χωρίς απόδειξη):
4. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Σημείο, συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , βρίσκεται πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να βρείτε τον λόγο .
Λήμμα: Το συμμετρικό του ορθοκέντρου ενός τριγώνου, ως προς το μέσο μιας πλευράς του, βρίσκεται στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και είναι αντιδιαμετρικό της κορυφής που δε βρίσκεται σε αυτή την πλευρά.
Στο πρόβλημά μας τώρα
Είναι και . Άρα ( όπου το συμμετρικό του ως προς την ). Από αυτή ην συμμετρία έχουμε ότι . Οπότε τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
Εφόσον , θα είναι και . Επομένως η προέκταση του θα τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο αντιδιαμετρικό του .
Από την τελευταία πρόταση και το παραπάνω λήμμα προκύπτει ότι, οι ευθείες και ταυτίζονται (όπου το μέσο του ). Οπότε οι γωνίες και είναι κατακορυφήν και κοινή διχοτόμος τους. Άρα το σημείο είναι το μέσο του τμήματος και ο ζητούμενος λόγος είναι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες