Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 5:33 pm

Με αφορμή το Πρόβλημα 2 στον Παγκύπριο Διαγωνισμό εδώ:

Δείξτε ότι για δοθέντα φυσικό n , η εξίσωση \displaystyle{\frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{n}} (όπου a\ne b ) έχει μοναδική λύση στους θετικούς ακεραίους αν και μόνον αν ο n είναι πρώτος.

Edit: Έκανα διόρθωση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:22 pm

Θέτοντας \displaystyle{a=n+x, b=n+y,} η εξίσωση γράφεται τελικά \displaystyle{xy=n^2.} Νομίζω το ζητούμενο είναι πλέον φανερό.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 6:25 pm

Είχα στον νου μία δεύτερη φάση, να την δυσκολέψω. Συγκεκριμένα τώρα θέτω:

Δείξτε ότι για δοθέντα φυσικό n , η εξίσωση \displaystyle{\frac {1}{a} - \frac {1}{b} = \frac {1}{n}} έχει μοναδική λύση στους θετικούς ακεραίους αν και μόνον αν ο n είναι πρώτος.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8145
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 22, 2018 7:08 pm

Ισοδύναμα θέλουμε (n-a)(n+b) = n^2 και έχουμε μια λύση για κάθε τρόπο που μπορούμε να γράψουμε το n^2 ως γινόμενο cd θετικών ακεραίων με c < n < d.

Το ζητούμενο είναι άμεσο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες