Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

#1

Με αφορμή το Πρόβλημα

στον Παγκύπριο Διαγωνισμό εδώ:

Δείξτε ότι για δοθέντα φυσικό

, η εξίσωση $\displaystyle{\frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{n}}$ (όπου $a\ne b$ ) έχει μοναδική λύση στους θετικούς ακεραίους αν και μόνον αν ο

είναι πρώτος.

Edit: Έκανα διόρθωση.

#2

Θέτοντας $\displaystyle{a=n+x, b=n+y,}$ η εξίσωση γράφεται τελικά $\displaystyle{xy=n^2.}$ Νομίζω το ζητούμενο είναι πλέον φανερό.

#3

Είχα στον νου μία δεύτερη φάση, να την δυσκολέψω. Συγκεκριμένα τώρα θέτω:

Δείξτε ότι για δοθέντα φυσικό

, η εξίσωση $\displaystyle{\frac {1}{a} - \frac {1}{b} = \frac {1}{n}}$ έχει μοναδική λύση στους θετικούς ακεραίους αν και μόνον αν ο

είναι πρώτος.

#4

Ισοδύναμα θέλουμε (n-a)(n+b) = n^2

και έχουμε μια λύση για κάθε τρόπο που μπορούμε να γράψουμε το n^2

ως γινόμενο

θετικών ακεραίων με c < n < d

.

Το ζητούμενο είναι άμεσο.

Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση