Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 445
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am

Πρόβλημα 1

i. Αν \displaystyle{a\geqslant 0}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{9a-6\sqrt{a}+1=9\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{3}\right)^2}.

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x, y, z, w} που ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{3(x+y+z+w)=2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{w}\right)+6\sqrt{x-2}+2}

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(x, y)} θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}.

Πρόβλημα 3

Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν \displaystyle{k} άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν \displaystyle{m} άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των \displaystyle{k} και \displaystyle{m}.

Πρόβλημα 4

Δίνεται παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με \displaystyle{AB>BC}. Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων \displaystyle{AB} και \displaystyle{CD}. Ονομάζουμε \displaystyle{F} και \displaystyle{H} τα σημεία τομής των δύο κύκλων και \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BC}. Αν \displaystyle{K} και \displaystyle{L} είναι τα συμμετρικά του \displaystyle{M} ως προς \displaystyle{F} και \displaystyle{H}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{K, A, L, D} είναι κορυφές ρόμβου.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7584
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 11:08 am

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am
Πρόβλημα 1

i. Αν \displaystyle{a\geqslant 0}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{9a-6\sqrt{a}+1=9\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{3}\right)^2}.

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x, y, z, w} που ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{3(x+y+z+w)=2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{w}\right)+6\sqrt{x-2}+2}

i. \displaystyle 9a - 6\sqrt a  + 1 = {(3\sqrt a  - 1)^2} = {\left[ {3\left( {\sqrt a  - \frac{1}{3}} \right)} \right]^2} = 9{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{3}} \right)^2}

ii. Πολλαπλασιάζω επί 3 και τα φέρνω όλα στο πρώτο μέλος:

\displaystyle (9y - 6\sqrt y  + 1) + (9z - 6\sqrt z  + 1) + (9w - 6\sqrt w  + 1) + 9(x - \sqrt {x - 2}  - 1) = 0

\displaystyle {\left( {\sqrt y  - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt z  - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt w  - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)^2} = 0

\boxed{(x,y,z,w) = \left( {3,\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{9}} \right)}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7584
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 12:04 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am

Πρόβλημα 3

Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν \displaystyle{k} άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν \displaystyle{m} άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των \displaystyle{k} και \displaystyle{m}.

Έστω ότι ο γυμναστής έχει x άντρες , τοποθετεί y άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν k άντρες. Τότε:

\boxed{x = {y^2} + k} (1)

Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τεραγώνου,του λείπουν m άντρες. Τότε:

\boxed{x = {(y + 1)^2} - m} (2)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) είναι:

\displaystyle{{(y + 1)^2} - m = {y^2} + k \Leftrightarrow y = \dfrac{k+m-1}{2}.

Οπότε, οι άντρες που γυμνάζει ο γυμναστής δίνονται από τον τύπο: \boxed{x = {\left( {\frac{{k + m - 1}}{2}} \right)^2} + k}


Διερεύνηση: Ο αριθμός x των ανδρών πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, το ίδιο και οι αριθμοί y,k,m. Για να είναι όμως

το κλάσμα \displaystyle{\frac{{k + m - 1}}{2}} ακέραιος θα πρέπει ο αριθμός k+m-1 να είναι άρτιος, δηλαδή ο k+m περιττός.


ΥΓ. Αυτά με την προϋπόθεση ότι στη δεύτερη τοποθέτηση παραμένει η τετραγωνική διάταξη, δηλαδή τοποθετεί από έναν

άντρα σε κάθε σειρά και στήλη του τετραγώνου. Αλλιώς θα προκύψει ορθογώνιο και το αποτέλεσμα αλλάζει.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7584
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 1:41 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(x, y)} θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}.
Είναι, \displaystyle (x - 1)(21 - x) = {y^2} > 0 \Rightarrow x \in \{ 2,3,4,...,20\}

Επειδή όμως και ο y είναι θετικός ακέραιος, με δοκιμές βρίσκουμε: \displaystyle (x,y) \in \{ (3,6),(5,8),(11,10),(17,8),(19,6)\}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης