Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .
Πρόβλημα 2
Έστω συνάρτηση , για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδείξετε ότι:
i. Η είναι .
ii. , για κάθε
iii. Η είναι περιττή.
Πρόβλημα 3
Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.
Πρόβλημα 4
Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .
Πρόβλημα 2
Έστω συνάρτηση , για την οποία ισχύει για κάθε .
Να αποδείξετε ότι:
i. Η είναι .
ii. , για κάθε
iii. Η είναι περιττή.
Πρόβλημα 3
Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.
Πρόβλημα 4
Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
i)Για γίνεται
Αν τότε
αρα
ii)Για γίνεται
και αφού είναι 1-1
θέτοντας παίρνουμε
Αν στην αρχική θέσουμε όπου το το
λόγω της προηγούμενης προκύπτει η
iii) Η προηγούμενη για δίνει
που δείχνει ότι είναι περιττή
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
άρα αλλιώς το αριστερό θα είναι μικρότερο με δοκιμές βρίσκεται εύκολα η λύση
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
τα μέσα των . , από τα μέσα των έχουμε KAI (αφού τα T,Μ' είναι τα κέντρα των κύκλων και τα άλλα 2 σημεία είναι τα σημεία τομής τους) άρα .
Το σημετρικό του ως προς το τα τέμνει την ΣΤΟ μέσο λόγο και την στο μέσο επειδή οπότε η ευθείες διχοτομούνται μεταξύ τους. Λόγο της τελευταίας και της το ρόμβος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
Για το αριστερό μέλος της εξίσωσης θα πρέπει να ισχύει
Παρατηρούμε ότι . Θέτουμε . Οπότε η εξίσωση γράφεται .
Ψάχνουμε δηλαδή τις πυθαγόρειες τριάδες της παραπάνω εξίσωσης, δεδομένων τον περιορισμών μας. Εύκολα φαίνεται, ότι είναι οι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες