Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 445
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(x, y)} θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}.

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, για την οποία ισχύει \displaystyle{f(f(x)+y)=x+f(y)} για κάθε \displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}.
Να αποδείξετε ότι:
i. Η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1-1}.
ii. \displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}, για κάθε \displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}
iii. Η \displaystyle{f} είναι περιττή.

Πρόβλημα 3

Δίνεται παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με \displaystyle{AB>BC}. Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων \displaystyle{AB} και \displaystyle{CD}. Ονομάζουμε \displaystyle{F} και \displaystyle{H} τα σημεία τομής των δύο κύκλων και \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BC}. Αν \displaystyle{K} και \displaystyle{L} είναι τα συμμετρικά του \displaystyle{M} ως προς \displaystyle{F} και \displaystyle{H}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{K, A, L, D} είναι κορυφές ρόμβου.

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots} μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε \displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}, για \displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος \displaystyle{k} είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής \displaystyle{x_j-x_i} για κάποια \displaystyle{i} και \displaystyle{j}.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2149
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 10, 2018 12:25 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, για την οποία ισχύει \displaystyle{f(f(x)+y)=x+f(y)} για κάθε \displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}.
Να αποδείξετε ότι:
i. Η \displaystyle{f} είναι \displaystyle{1-1}.
ii. \displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}, για κάθε \displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}
iii. Η \displaystyle{f} είναι περιττή.
i)Για y=1 γίνεται

\displaystyle{f(f(x)+1)=x+f(1)}

Αν  f(a)=f(b) τότε

\displaystyle{a+f(1)=f(f(a)+1)=f(f(b)+1)=b+f(1)}

αρα a=b

ii)Για x=y=0 γίνεται

\displaystyle{f(f(0))=f(0)}

και αφού είναι 1-1 f(0)=0

θέτοντας y=0 παίρνουμε

\displaystyle{f(f(x))=x}

Αν στην αρχική θέσουμε όπου το x το f(x)

λόγω της προηγούμενης προκύπτει η

\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}

iii) Η προηγούμενη για y=-x δίνει

\displaystyle{0=f(x)+f(-x)}

που δείχνει ότι είναι περιττή


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3859
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Δεκ 10, 2018 1:14 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots} μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε \displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}, για \displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος \displaystyle{k} είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής \displaystyle{x_j-x_i} για κάποια \displaystyle{i} και \displaystyle{j}.
Ίδιο με το πρόβλημα 4 εδώ.

Αντιγράφω την απάντηση:
cretanman έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 12:49 pm
Αν k=1 τότε αφού 1=x_1<x_2\leq 2. Άρα x_2=2 κι έτσι x_2-x_1=1.

Αν k>1 τότε αφού 1=x_1<x_2<\ldots < x_{k+1}\leq 2k άρα δύο από αυτούς έστω x_i και x_j με x_i<x_j έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το k (k+1 αριθμοί x_i και k τα πιθανά υπόλοιπα) κι έτσι η διαφορά τους διαιρείται από το k. Αφού λοιπόν 0\leq x_j-x_i \leq 2k-1 άρα x_j-x_i=k.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 155
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Δεκ 10, 2018 2:46 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(x, y)} θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}.
y^{2}>0 άρα 21>x>1 αλλιώς το αριστερό θα είναι μικρότερο με δοκιμές βρίσκεται εύκολα η λύση


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 155
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Δεκ 10, 2018 3:40 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am

Δίνεται παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με \displaystyle{AB>BC}. Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων \displaystyle{AB} και \displaystyle{CD}. Ονομάζουμε \displaystyle{F} και \displaystyle{H} τα σημεία τομής των δύο κύκλων και \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BC}. Αν \displaystyle{K} και \displaystyle{L} είναι τα συμμετρικά του \displaystyle{M} ως προς \displaystyle{F} και \displaystyle{H}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{K, A, L, D} είναι κορυφές ρόμβου.
T,M{}' τα μέσα των AB,DC. P\equiv FH\cap T{M}', από F,H τα μέσα των MK,ML έχουμε FH//KL KAI FH\perp T{M}' (αφού τα T,Μ' είναι τα κέντρα των κύκλων και τα άλλα 2 σημεία είναι τα σημεία τομής τους) άρα KL\perp AD.(I)

Το σημετρικό του M ως προς το P τα τέμνει την AD ΣΤΟ μέσο λόγο TM{}'//AD και την KL στο μέσο επειδή FH//KL\kappa \alpha \iota KF=FM οπότε η ευθείες AD,KL διχοτομούνται μεταξύ τους. Λόγο της τελευταίας και της (I) το ALDK ρόμβος


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 812
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Δεκ 10, 2018 10:26 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 10:07 am
Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(x, y)} θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}.

Για το αριστερό μέλος της εξίσωσης θα πρέπει να ισχύει \displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2} \geq 0 \Rightarrow x \in \left [  1, 21\right ]

Παρατηρούμε ότι (x-1) + (21-x) =20. Θέτουμε x=a+11. Οπότε η εξίσωση γράφεται (a+10)(10-a) = y^2 \Leftrightarrow a^2+y^2=10^2.

Ψάχνουμε δηλαδή τις πυθαγόρειες τριάδες της παραπάνω εξίσωσης, δεδομένων τον περιορισμών μας. Εύκολα φαίνεται, ότι είναι οι

\displaystyle (a,y) \in \{ (0,10),(\pm 6,8),(\pm 8,6) \} \Rightarrow

\displaystyle (x,y) \in \{ (11,10),(17,8),(5,8),(19,6),(3,6)\}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες