Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 1

Έστω \displaystyle{f} πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα \displaystyle{[2, 3]} και \displaystyle{a, b} ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=\dfrac{a}{2-x}+\dfrac{b}{3-x}} έχει λύση στο διάστημα \displaystyle{(2, 3)}.

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός \displaystyle{p>3} γράφεται ως \displaystyle{p=3k+1} ή \displaystyle{p=3k+2}, για κάποιον θετικό ακέραιο \displaystyle{k}.

ii. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{a=p+2, b=p^2+2p-8, c=2^p+p^2}, όπου \displaystyle{p} πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες \displaystyle{(a, b, c)} τέτοιες, ώστε οι \displaystyle{a, b, c} να είναι πρώτοι αριθμοί.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο \displaystyle{ABCD} \displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}. Έστω \displaystyle{E} το συμμετρικό του \displaystyle{C} ως προς το \displaystyle{D}. Έστω ακόμα \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BE} και \displaystyle{N} η ορθή προβολή του \displaystyle{D} πάνω στην \displaystyle{BC}. Αν η \displaystyle{AM} τέμνει την \displaystyle{CE} στο \displaystyle{H}, να αποδείξετε ότι οι γωνίες \displaystyle{\angle{ADN}} και \displaystyle{\angle{AHD}} είναι ίσες.

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots} μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε \displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}, για \displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος \displaystyle{k} είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής \displaystyle{x_j-x_i} για κάποια \displaystyle{i} και \displaystyle{j}.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 10:41 am

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο \displaystyle{ABCD} \displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}. Έστω \displaystyle{E} το συμμετρικό του \displaystyle{C} ως προς το \displaystyle{D}. Έστω ακόμα \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BE} και \displaystyle{N} η ορθή προβολή του \displaystyle{D} πάνω στην \displaystyle{BC}. Αν η \displaystyle{AM} τέμνει την \displaystyle{CE} στο \displaystyle{H}, να αποδείξετε ότι οι γωνίες \displaystyle{\angle{ADN}} και \displaystyle{\angle{AHD}} είναι ίσες.
Εφόσον δεν υπάρχει σχήμα, νομίζω ότι έπρεπε να λέει "ίσες ή παραπληρωματικές" (σε περίπτωση που AB>CD).

Ή αλλιώς να δίνεται ότι AB<CD.
Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).Ι.png
Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).Ι.png (13.65 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Επεξεργασία: Δίνω το σχήμα για την περίπτωση που είναι AB>CD.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Δεκ 10, 2018 12:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 11:19 am

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am
Πρόβλημα 1

Έστω \displaystyle{f} πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα \displaystyle{[2, 3]} και \displaystyle{a, b} ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=\dfrac{a}{2-x}+\dfrac{b}{3-x}} έχει λύση στο διάστημα \displaystyle{(2, 3)}.
Θεωρώ συνάρτηση \displaystyle g(x) = (2 - x)(3 - x)f(x) - a(3 - x) - b(2 - x), που είναι συνεχής στο [2,3].

\displaystyle g(2)g(3) =  - ab < 0 (αφού οι \displaystyle{a, b} είναι ομόσημοι). Άρα από θεώρημα του Bolzano, η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (2,3) και το ζητούμενο έπεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2462
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 10, 2018 12:00 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός \displaystyle{p>3} γράφεται ως \displaystyle{p=3k+1} ή \displaystyle{p=3k+2}, για κάποιον θετικό ακέραιο \displaystyle{k}.

ii. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{a=p+2, b=p^2+2p-8, c=2^p+p^2}, όπου \displaystyle{p} πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες \displaystyle{(a, b, c)} τέτοιες, ώστε οι \displaystyle{a, b, c} να είναι πρώτοι αριθμοί.
i) Αφού \displaystyle{p>3} πρώτος δεν διαιρείται με το 3.

Αρα η διαίρεση του με το 3 δίνει υπόλοιπο 1 η 2.

Προκύπτει ότι \displaystyle{p=3k+1} ή \displaystyle{p=3k+2}

ii)Δεν καταλαβαίνω τι ρόλο παίζει το τρίτο.Μάλλον για να μπερδέψει.

Εστω ότι οι a,b είναι πρώτοι.

Προφανώς p\neq 2

Αν p>3 τότε από το i) θα είναι \displaystyle{p=3k+1} ή \displaystyle{p=3k+2}

Αν \displaystyle{p=3k+1} τότε a=3k+3=3(k+1) όχι πρώτος.

Αρα \displaystyle{p=3k+2}

τότε όμως είναι b=p^2+2p-8=(3k+2)^{2}+2(3k+2)-8=3(3k^{2}+6k)

όχι πρώτος.

Αρα αν οι a,b είναι πρώτοι τότε p=3

Πράγματι για p=3 είναι a=5,b=7 που είναι πρώτοι.

Σπάει ο διάβολος το ποδάρι του και είναι και c=17 πρώτος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 10, 2018 12:32 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο \displaystyle{ABCD} \displaystyle{(\angle{A}=\angle{D}=90^\circ)}. Έστω \displaystyle{E} το συμμετρικό του \displaystyle{C} ως προς το \displaystyle{D}. Έστω ακόμα \displaystyle{M} το μέσον του \displaystyle{BE} και \displaystyle{N} η ορθή προβολή του \displaystyle{D} πάνω στην \displaystyle{BC}. Αν η \displaystyle{AM} τέμνει την \displaystyle{CE} στο \displaystyle{H}, να αποδείξετε ότι οι γωνίες \displaystyle{\angle{ADN}} και \displaystyle{\angle{AHD}} είναι ίσες.
Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).png
Παγκύπριος 2018 (Γ Λυκείου).png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές
Επειδή AB||EH και το M είναι μέσο του BE, θα είναι μέσο και του AH, οπότε \displaystyle DM = \frac{{AH}}{2}, αλλά και \displaystyle DM|| = \frac{{BC}}{2}.

Άρα το ABCH είναι ισοσκελές τραπέζιο και \displaystyle A\widehat HD = B\widehat CD = 90^\circ  - \varphi  \Leftrightarrow \boxed{A\widehat HD=A\widehat DN  }


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Δεκ 10, 2018 12:49 pm

Soteris έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 9:42 am
Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots} μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε \displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}, για \displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος \displaystyle{k} είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής \displaystyle{x_j-x_i} για κάποια \displaystyle{i} και \displaystyle{j}.
Αν k=1 τότε αφού 1=x_1<x_2\leq 2. Άρα x_2=2 κι έτσι x_2-x_1=1.

Αν k>1 τότε αφού 1=x_1<x_2<\ldots < x_{k+1}\leq 2k άρα δύο από αυτούς έστω x_i και x_j με x_i<x_j έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το k (k+1 αριθμοί x_i και k τα πιθανά υπόλοιπα) κι έτσι η διαφορά τους διαιρείται από το k. Αφού λοιπόν 0\leq x_j-x_i \leq 2k-1 άρα x_j-x_i=k.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης