Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΙΙΦ 8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018-2019
Θέματα της 2ης φάσης (επίπεδο επαρχίας) για την 8η τάξη. Χρόνος διαγωνισμού υπολογισμένος για 240 λεπτά.


1. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς στα κελιά πίνακα διαστάσεων έτσι, ώστε σε οποιοδήποτε τετράγωνο και σε οποιοδήποτε τετράγωνο το άθροισμα των αριθμών να είναι περιττό;


2. Κομμάτι ευθείας, τοποθετημένο στο δεύτερο τεταρτημόριο, μαζί με τους άξονες των συντεταγμένων σχηματίζει τρίγωνο. Κατά πόσες φορές αλλάζει το εμβαδόν του, αν η κλίση της ευθείας διπλασιαστεί και ο σταθερός όρος(*) της ευθείας υποδιπλασιαστεί;


3. Το ύψος από την κορυφή ορθής γωνίας του τριγώνου , διαιρεί την διχοτόμο σε δυο ίσα μέρη. Να βρείτε την γωνία .


4. Στο νησί των Ψευτών (λένε πάντα ψέματα) και των Αληθών (λένε πάντα την αλήθεια) μια κυκλική μάζωξη ονομάζεται κανονική, αν ο καθένας τους, που στέκεται στο κύκλο, μπορεί να πει, ότι μεταξύ των δυο διπλανών του υπάρχει εκπρόσωπος της φυλής του. Κάποια στιγμή ιθαγενείς σχημάτισαν μια κανονική μάζωξη. Σε αυτούς προσήλθε ένας Ψεύτης και είπε «Τώρα όλοι μαζί πάλι μπορούμε να σχηματίσουμε κανονική μάζωξη σε κύκλο». Πόσοι Αληθείς μπορεί να υπήρχαν στην αρχική μάζωξη;


5. Του μη μηδενικού φυσικού αριθμού γράφουμε όλους τους διαιρέτες του και ύστερα για το καθένα από αυτούς τους διαιρέτες γράφουμε το άθροισμα των ψηφίων του. Προέκυψε ότι μεταξύ αυτών των αθροισμάτων βρέθηκαν όλα τα ψηφία από το μέχρι το . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του .


6. Στο εσωτερικό οξείας γωνίας είναι τοποθετημένο κυρτό τετράπλευρο . Προέκυψε, ότι για κάθε μια από τις δυο ευθείες, που σχηματίζουν την γωνία, ισχύει η συνθήκη: το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών και από αυτήν την ευθεία ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις κορυφές και προς αυτή την ευθεία. Να αποδείξετε, ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

[rek2]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018-2019
Θέματα της 2ης φάσης (επίπεδο επαρχίας) για την 8η τάξη. Χρόνος διαγωνισμού υπολογισμένος για 240 λεπτά.


6. Στο εσωτερικό οξείας γωνίας είναι τοποθετημένο κυρτό τετράπλευρο . Προέκυψε, ότι για κάθε μια από τις δυο ευθείες, που σχηματίζουν την γωνία, ισχύει η συνθήκη: το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών και από αυτήν την ευθεία ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις κορυφές και προς αυτή την ευθεία. Να αποδείξετε, ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Ας είναι τα μέσα των διαγωνίων του τετραπλεύρου και έστω ότι δεν συμπίπτουν. Είναι άμεσο ( γιατί η διάμεσος τραπεζίου ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεών του) ότι ισαπέχουν από κάθε μία των πλευρών της γωνίας, επομένως ορίζουν ευθεία παράλληλη και προς προς τις δύο πλευρές. Άτοπο. Επομένως τα συμπίπτουν, οπότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

[george visvikis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018-2019
Θέματα της 2ης φάσης (επίπεδο επαρχίας) για την 8η τάξη. Χρόνος διαγωνισμού υπολογισμένος για 240 λεπτά.


3. Το ύψος από την κορυφή ορθής γωνίας του τριγώνου , διαιρεί την διχοτόμο σε δυο ίσα μέρη. Να βρείτε την γωνία .

Πανρωσική 2018-2019(ΙΙΦ 8).png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές