ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:41 am

Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα.
Δυό κουβέντες για τα θέματα:
Σαν σύνολο τα βλέπω εξαιρετικά, ιδίως αυτό με τα ψηφία στις δύο μεγαλύτερες τάξεις, αλλά και οι γεωμετρίες.Από τα καλύτερα των τελευταίων ετών αν και λίγο ανεβασμένα για την προσπάθεια προσέλκυσης περισσότερων μαθητών ειδικά στο Λύκειο.
Ομολογώ οτι κάποια με δυσκόλεψαν αρκετά, όπως το 3 της Α, το 2 της Β και το σύστημα της Γ. Θεωρώ ότι στις δύο μεγάλες τάξεις θα βρούμε λίγους νε 2+ θέματα.
Επειδή πάντα αντιμετωπίζω τα θέματα κάτω από το πρίσμα του μαθητή, έχω μία ένσταση για το 3 της Α. Από που προκύπτει ότι οι παρονομαστές στο Β είναι 2,4,5,7,8,10,11,13,14,...,95,97,98,100, δηλαδή χωρίς τα πολλαπλάσια του 3 και όχι 2,4,5,7,8,10,12,14,15,17,18.20,...,95,97,98,100, δηλαδή με ίδιο αριθμό μονάδων. Δεν γνωρίζω αν ζητήθηκε κάποια διευκρίνηση σε κάποιο εξεταστικό κέντρο, εδώ στο Ηράκλειο πάντως όχι.
Συνοψίζοντας να πω αλλά και να παροτρύνω μαθητές αλλά και καθηγητές να ασχολούνται με αυτά, καθώς η ενασχόληση με τέτοιου ρίδους θέματα, είτε από την πλευρά του καθηγητή είτε φυσικά του μαθητή, σε κάνει κατά τι σοφότερο και αυτό το αντιλαμβάνομαι κάθε φορά που ασχολούμαι με αυτά. Συγχαρητήρια στην Επιτροπή που τα επέλεξε.



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 10:05 am

Καλημέρα!

Παρουσιάζουμε ένα διαφορετικό τρόπο για το

ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

από αυτόν που δημοσιεύσαμε εδώ.

Παρατηρούμε ότι -1\leq \dfrac{t-3}{2}\leq 1 για κάθε t\in \{x,y,z,w\}.

Έτσι, x=2\sin \alpha+3, y=2\sin \beta+3, z=2\sin \gamma+3 και w=2\sin \delta+3 για κάποια \alpha,\beta,\gamma,\delta με

\sin \alpha+\sin \beta+\sin\gamma+\sin \delta=\dfrac{x+y+z+w-12}{2}=-2.

Οπότε

\begin{aligned} 
x^2+y^2+z^2+w^2&=4(\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta+\sin^2\gamma+\sin^2 \delta)+12(\sin \alpha+\sin \beta+\sin\gamma+\sin \delta)+4\cdot 9\\ 
&\leq 4\cdot 4+12\cdot (-2)+36=28.\\ 
\end{aligned}

Η ισότητα λαμβάνεται εύκολα για την τετράδα (x,y,z,w)=(1,1,1,3).

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 12:22 pm

Μετά τον παραπάνω τρόπο παρουσιάζουμε ακόμα έναν αναλυτικό-γεωμετρικό.

ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Τα σημεία (x,y) και (z,w) θα ανήκουν στο τριγωνικό χωρίο AB\Gamma με κορυφές A(1,1), B(1,5) και \Gamma(5,1), αφού 1\leq x,y,z,w\leq 5, 2\leq x+y\leq 6 και 2\leq z+w\leq 6.

Ας θεωρήσουμε ότι το (x,y) ανήκει στην ευθεία x+y=a, όπου 2\leq a\leq 6. Η ευθεία αυτή τέμνει τις πλευρές AB και A\Gamma του τριγώνου στα σημεία A_1(1,a-1) και A_2(a-1,1), αντίστοιχα.

Αφού z+w=8-a, το (z,w) θα ανήκει στην παράλληλη αυτής ευθεία που τέμνει τις πλευρές AB και A\Gamma του τριγώνου στα σημεία A_3(1,7-a) και A_4(7-a,1), αντίστοιχα.

Αφού τα τρίγωνα A_1OA_2 και A_3OA_4 είναι ισοσκελή, και τα σημεία (x,y) και (z,w) ανήκουν στις βάσεις τους, έχουμε

x^2+y^2\leq (OA_2)^2=1+(a-1)^2

και

z^2+w^2\leq  (OA_4)^2=(7-a)^2+1.

Συνεπώς,

\begin{aligned} 
x^2+y^2+z^2+w^2&\leq 1+(a-1)^2+(7-a)^2+1\\ 
&=2a^2-16a+52\\ 
&=2(a-4)^2+20\\ 
&\leq 2\cdot 2^2+20=28 
\end{aligned}

αφού από 2\leq a\leq 6 παίρνουμε -2\leq a-4\leq 2, κι άρα (a-4)^2\leq 2^2=4.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν a=2 ή a=6 δηλαδή, όταν τα σημεία (x,y) και (z,w) ταυτίζονται με τις κορυφές A και B ή A και \Gamma.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
thalis_B2.png
thalis_B2.png (33.53 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Κυρ Νοέμ 11, 2018 12:54 pm

Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει το σχέδιο βαθμολόγησης;


Δεν υπάρχει τίποτα πιο άνισο από την ίση μεταχείρηση των ανίσων.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:44 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:41 am
Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα.
Δυό κουβέντες για τα θέματα:
Σαν σύνολο τα βλέπω εξαιρετικά, ιδίως αυτό με τα ψηφία στις δύο μεγαλύτερες τάξεις, αλλά και οι γεωμετρίες.Από τα καλύτερα των τελευταίων ετών αν και λίγο ανεβασμένα για την προσπάθεια προσέλκυσης περισσότερων μαθητών ειδικά στο Λύκειο.
Ομολογώ οτι κάποια με δυσκόλεψαν αρκετά, όπως το 3 της Α, το 2 της Β και το σύστημα της Γ. Θεωρώ ότι στις δύο μεγάλες τάξεις θα βρούμε λίγους νε 2+ θέματα.
Επειδή πάντα αντιμετωπίζω τα θέματα κάτω από το πρίσμα του μαθητή, έχω μία ένσταση για το 3 της Α. Από που προκύπτει ότι οι παρονομαστές στο Β είναι 2,4,5,7,8,10,11,13,14,...,95,97,98,100, δηλαδή χωρίς τα πολλαπλάσια του 3 και όχι 2,4,5,7,8,10,12,14,15,17,18.20,...,95,97,98,100, δηλαδή με ίδιο αριθμό μονάδων. Δεν γνωρίζω αν ζητήθηκε κάποια διευκρίνηση σε κάποιο εξεταστικό κέντρο, εδώ στο Ηράκλειο πάντως όχι.
Συνοψίζοντας να πω αλλά και να παροτρύνω μαθητές αλλά και καθηγητές να ασχολούνται με αυτά, καθώς η ενασχόληση με τέτοιου ρίδους θέματα, είτε από την πλευρά του καθηγητή είτε φυσικά του μαθητή, σε κάνει κατά τι σοφότερο και αυτό το αντιλαμβάνομαι κάθε φορά που ασχολούμαι με αυτά. Συγχαρητήρια στην Επιτροπή που τα επέλεξε.
Καλησπέρα, Ανδρέα,

Από την χθεσινή πρωινή ενασχόληση μου με τα θέματα, θα έλεγα ότι μου άφησαν κι εμένα θετική εντύπωση.

Πιο πολύ μου άρεσαν τα θέματα της Β Λυκείου. Το 1ο θέμα της Γ θα δυσκόλεψε κάποιους (μετά το περσινό 1ο θέμα της Β).

Το θέμα με το άθροισμα των ψηφίων είναι πράγματι ωραίο κι έχει τεθεί στην πιο γενική μορφή ν-ψήφιου αριθμού το 1999 σε Ρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα σύμφωνα με το T.Andreescu, D. Andrica, Number Theory, Birkhauser, σελ. 80.

Υπάρχει και στο Mathematical Olympiads, Problems and Solutions from Around the World 1999-2000, T.Andreescu, D.Andrica, σελ. 152, MAA, 2002. Δείτε κι εδώ, πρόβλημα 1 ή εδώ.

Άντε να το θυμάται κάποιος, όμως, το πρωί που αντιμετωπίζει τα θέματα. Προσωπικά, "είδα" τι γίνεται μετά από 2-3 παραδείγματα που δοκίμασα.

Σου αφιερώνω τις παραπάνω λύσεις στο 2ο θέμα της Β με ευχές για γρήγορα περαστικά.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Γρηγόρης Σταμέλος
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Αύγ 13, 2018 10:19 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γρηγόρης Σταμέλος » Κυρ Νοέμ 11, 2018 4:19 pm

Στις επισιμες λύσεις στο 3 θέμα της γ γυμνασίου έχει στο α την τιμή 6 η οποία δεν επαληθεύει


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5293
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 4:41 pm

Για το θέμα 1 της Β’ Λυκείου αλλά και το θέμα 1 της Α’ Λυκείου έχουμε τη κλασική μέθοδο επειδή βέβαια έχουμε ομογένεια των πολυωνύμων κτλ. γνωστά.

Δηλαδή αρκεί να θεωρήσουμε την κλασική αντικατάσταση \alpha  = t\beta και αφού από την υπόθεση βρούμε το t να αντικαταστήσουμε και να βρούμε το …. oτιδήποτε.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Katerina2004
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:08 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Katerina2004 » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:18 pm

Γεια σας μέλη του mathematica!
Χθες συμμετείχα στον διαγωνισμό του Θαλή
(Γ Γυμνασίου) και έχω μερικές ερωτησούλες!
Έλυσα σωστά τα θέματα 1,2 και από το 4 τα υποερωτηματα α,β και στο γ έγραψα μόνο ότι το τρίγωνο ήταν ισοσκελές και οι γωνίες Ε και Γ ίσες!Στο 3 έβαλα μόνο τους περιορισμούς!
Στο 3 και το 4γ θα πάρω πόντους?
Πιστεύετε πώς θα περάσω?
Σας παρακαλώ απαντήστε μου έστω και με χοντρικές εκτιμήσεις γιατί έχω αγχωθεί πολύ! :shock:
Καλά αποτελέσματα σε όλους!


Katerina2004
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:08 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Katerina2004 » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:29 pm

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:51 pm

Katerina2004 έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:29 pm
Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;
Καλησπέρα!

Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς.

Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσεις να ασχολείσαι με τα μαθηματικά, σαν να έχεις επιτύχει ήδη.

Στο forum θα βρεις πολλές όμορφες ασκήσεις με τις οποίες μπορείς να ασχοληθείς στη συνέχεια.

Καλά αποτελέσματα!

Φιλικά,

Αχιλλέας


Katerina2004
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:08 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Katerina2004 » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:59 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:51 pm
Katerina2004 έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:29 pm
Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;
Καλησπέρα!

Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς.

Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσεις να ασχολείσαι με τα μαθηματικά, σαν να έχεις επιτύχει ήδη.

Στο forum θα βρεις πολλές όμορφες ασκήσεις με τις οποίες μπορείς να ασχοληθείς στη συνέχεια.

Καλά αποτελέσματα!

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!Μπορείτε αν έχετε την καλοσύνη να μου πείτε αν θα μαζέψω πόντους από τα θέματα 3 και 4γ;
Μπορείτε να μου πείτε που βρίσκονται αυτές οι ασκήσεις γιατί είμαι καινούργιο μέλος;
Συνήθως οι βάσεις που βρίσκονται;Ξεπερνούν τα 2.5 θέματα;
Ευχαριστω


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5293
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:59 pm

Για το 3ο θέμα της Α’ Λυκείου έχουμε:

{\rm B} + \frac{{\rm A}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}\;\left( 1 \right), \frac{{3{\rm A}}}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{33}}\;\left( 2 \right).

\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow {\rm B} - {\rm A} = \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{35}} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{2} > \frac{{67}\cdot{67}}{{67}\cdot{67}}-1 \geq 0.


edit: Μετά από υπόδειξη του Παύλου Μαραγκουδάκη που τον ευχαριστώ, διόρθωσα ένα λάθος υπολογισμό στο τέλος. Εδώ εφάρμοσα την γνωστή ανισότητα ΑΜ-ΗΜ.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
xristos.t
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:24 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xristos.t » Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:28 pm

Γεια σας , είμαι απελπισμένος .
Έραψα γύρω στο 8 στον Θαλή της Α' λυκείου και πάω να τρελαθώ .
Πείτε μου , έχω ελπίδες για διάκριση ?
Έχω χάσει τον ύπνο και την όρεξη μου .


TheMathFreak
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:45 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TheMathFreak » Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:56 pm

Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο A ισχύει οτι a_0>a_1>a_2>a_3>0, δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο a_3 είναι ίση με 1) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του 30? (πχ ο τετραψήφιος 6789 με άθροισμα ψηφίων ίσο με 30).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό 9A, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι 12.345,και η μέγιστη
45.678 (μιας και το άθροισμα των ψηφίων του 56.789 υπερβαίνει το 30).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του 9A θα είναι μεταξύ 15 και 30. Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι 9. Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Κυρ Νοέμ 11, 2018 8:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε Latex


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:57 pm

Φίλε Χρήστο μην αγχώνεσαι! Κανείς δεν μπορεί να σου πει τις πιθανότητες! Ομολογουμένως τα παιδιά τα βρήκαν σκούρα φέτος! Προσωπική μου άποψη είναι πως έχεις ελπιδες. Ανεξαρτήτως όμως αποτελέσματος συνέχισε να ασχολείσαι με τα μαθηματικά και θα είσαι κερδισμενος!


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:03 pm

TheMathFreak έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:56 pm
Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του 30?(πχ ο τετραψήφιος 6789 με άθροισμα ψηφίων ίσο με 30).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό 9Α, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι 12.345,και η μέγιστη
45.678 (μιας και το άθροισμα των ψηφίων του 56.789 υπερβαίνει το 30).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του 9Α θα είναι μεταξύ 15 και 30.Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι 9.Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.

Πάρε οποιοδήποτε 4-ψηφιο αριθμό που ικανοποιεί την συνθήκη και πολλαπλασίασε τον με το 9. Βρες τον αριθμό και άθροισε τα ψηφία του.

π.χ. 1234\cdot 9=11106 και 6789\cdot 9=61101

Αν δοκιμάσεις δύο-τρία παραδείγματα, θα δεις ότι παίρνεις πάντοτε το ίδιο αποτέλεσμα. Μετά δες την επίσημη λύση ή τη λύση εδώ που θα είναι πιο κατανοητές.

Το λάθος σου είναι ότι θεωρείς ότι και ο αριθμός 9A θα ικανοποιεί τη συνθήκη τα ψηφία του να είναι σε αύξουσα διάταξη (από τα αριστερά στα δεξιά). Τα παραπάνω παραδείγματα καταδεικνύουν ότι δεν είναι έτσι. Παρεμπιπτόντως, οι αριθμοί 12345 και 45678 δεν είναι καν πολ/σια του 9.

Φιλικά,

Αχιλλέας


xristos.t
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:24 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xristos.t » Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:19 pm

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα .
Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ?


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2602
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:27 pm

xristos.t έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:19 pm
Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα .
Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ?
Χρήστο,

Ελπίζω να σε βοηθήσει να ησυχάσεις αν μάθεις ότι κι εμείς που γράφουμε στο forum έχουμε αποτύχει κατ' επανάληψη σε πολλούς διαγωνισμούς που ήταν πολύ σημαντικοί για εμάς! :)

Συνέχισε να ασχολείσαι με τα μαθηματικά με όρεξη και αγάπη σαν να έχεις επιτύχει ήδη!

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:49 pm

Λίγα σχόλια για τα θέματα 2, 3 της Β Λυκείου:

Για το θέμα 2 τα πράγματα διευκολύνονται πολύ θεωρώντας x=a+1, y=b+1, z=c+1 και w=d+1.

Η συνθήκη γινόταν a+b+c+d=4 (αρκετά πιο οικεία) και ακόμη 0\leq a, b, c, d\leq 4 (αρκετά πιο διαχειρίσιμο)

Το x^2+y^2+z^2+w^2 γίνεται a^2+b^2+c^2+d^2+2(a+b+c+d)+4=a^2+b^2+c^2+d^2+12.

Για να μεγιστοποιηθεί το a^2+b^2+c^2+d^2 βλέπουμε πως ισχύει η ανισότητα (a+b+c+d)^2\geq a^2+b^2+c^2+d^2\Leftrightarrow 16\geq a^2+b^2+c^2+d^2, με ισότητα όταν τρεις από τους a, b, c, d είναι 0 και ο άλλος 4 και μετά καταλήγουμε εύκολα στο συμπέρασμα με τα x, y, z, w.

Για το θέμα 3:

9A=9\cdot 10^3a_3+9\cdot 10^2a_2+9\cdot 10a_1+a_0=

\displaystyle{10^4a_3-10^3a_3+10^3a_2-10^2a_2+10^2a_1-10a_1+10a_0-a_0=10^4a_3+10^3(a_2-a_3)+10^2(a_1-a_2)+10(a_0-a_1-1)+(10-a_0)}

Λόγω του ότι 0\leq (10-a_0), (a_0-a_1-1), (a_1-a_2), (a_2-a_3), a_3 \leq 9, έχουμε πως αυτά είναι τα ψηφία του 9A και το άθροισμά τους είναι ίσο με a_3+a_2-a_3+a_1-a_2+a_0-a_1-1+10-a_0=10-1=9.


Houston, we have a problem!
TheMathFreak
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:45 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TheMathFreak » Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:56 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:03 pm
TheMathFreak έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:56 pm
Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του 30?(πχ ο τετραψήφιος 6789 με άθροισμα ψηφίων ίσο με 30).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό 9Α, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι 12.345,και η μέγιστη
45.678 (μιας και το άθροισμα των ψηφίων του 56.789 υπερβαίνει το 30).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του 9Α θα είναι μεταξύ 15 και 30.Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι 9.Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.

Πάρε οποιοδήποτε 4-ψηφιο αριθμό που ικανοποιεί την συνθήκη και πολλαπλασίασε τον με το 9. Βρες τον αριθμό και άθροισε τα ψηφία του.

π.χ. 1234\cdot 9=11106 και 6789\cdot 9=11106

Αν δοκιμάσεις δύο-τρία παραδείγματα, θα δεις ότι παίρνεις πάντοτε το ίδιο αποτέλεσμα. Μετά δες την επίσημη λύση ή τη λύση εδώ που θα είναι πιο κατανοητές.

Το λάθος σου είναι ότι θεωρείς ότι και ο αριθμός 9A θα ικανοποιεί τη συνθήκη τα ψηφία του να είναι σε αύξουσα διάταξη (από τα αριστερά στα δεξιά). Τα παραπάνω παραδείγματα καταδεικνύουν ότι δεν είναι έτσι. Παρεμπιπτόντως, οι αριθμοί 12345 και 45678 δεν είναι καν πολ/σια του 9.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Όντως έκανα λάθος. Θα μπορούσα να πάρω κάποιο πόντο?(έφτασα μέχρι το σημείο που βρίσκω τους αριθμούς 11106 και 61101)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες