ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:56 am

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους μαθητές στο σημερινό διαγωνισμό "Ο ΘΑΛΗΣ",

Στη δημοσίευση αυτή θα βάλουμε τα θέματα και τις απαντήσεις του διαγωνισμού αμέσως μετά από τη λήξη του. Παρακαλώ να μη βάλουμε τα θέματα ή απαντήσεις πριν από τις 12:00 το μεσημέρι, ώρα λήξης του διαγωνισμού.

(* 12:26) Επισυνάπτω τα θέματα του διαγωνισμού
(** 16:37)Οι επίσημες λύσεις από την Ε.Μ.Ε. βρίσκονται στη δημοσίευση εδώ

Αλέξανδρος
Συνημμένα
2018_11_10_THEMATA_THALH.pdf
(280.06 KiB) Μεταφορτώθηκε 1476 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:03 pm

ΘΕΜΑ 1- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Εύκολα βλέπουμε πως η δοθείσα εξίσωση γράφεται

\displaystyle  
(x-1)(x-2)(x-5)=0

κι άρα έχει λύσεις x=1, x=2 ή x=5, ενώ η ανίσωση γράφεται

\displaystyle  
\dfrac{x^2-x-4}{2}<\dfrac{x^2-5x+12}{2}

ή ισοδύναμα

\displaystyle  
x^2-x-4<x^2-5x+12\iff 4x<16\iff x<4.

Οι κοινές λύσεις λοιπόν είναι x=1 και x=2.

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

\displaystyle{a^4-5a^2b^2-36b^4=0}

ή ισοδύναμα

\displaystyle{(a^2-9b^2)(a^2+4b^2)=0}

Αφού a^2+4b^2\ne 0 (διαφορετικά θα ήταν a=b=0 κι ο παρονομαστής στη δοθείσα σχέση θα ήταν 0), έχουμε

\displaystyle{(a-3b)(a+3b)=0}

Έτσι, a=3b ή a=-3b και οι τιμές της K είναι

\displaystyle{K=\dfrac{3b-b}{3b+b}=\dfrac{2b}{4b}=\dfrac{1}{2}.}

ή

\displaystyle{K=\dfrac{-3b-b}{-3b+b}=\dfrac{-4b}{-2b}=2.}

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι

\displaystyle{\dfrac{1}{3k-1}+\dfrac{1}{3k+1}=\dfrac{6k}{9k^2-1}>\dfrac{2}{3k}}

για κάθε k=1,2,... αφού η τελευταία γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{18k^2>18k^2-2},

που ισχύει.

Συνεπώς, o αριθμός B, που είναι το άθροισμα των \dfrac{1}{3k-1}+\dfrac{1}{3k+1} για k=1,2,...,33
είναι μεγαλύτερος από τον A που είναι το άθροισμα των \dfrac{2}{3k} για k=1,2,...,33.

Δηλαδή, B>A.

ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Από την υπόθεση τα A,\Delta ισαπέχουν από τα άκρα του B\Gamma. Συνεπώς, A\Delta είναι μεσοκάθετος του B\Gamma. Η διάμεσος ισοσκελές τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής, κι άρα \Delta \widehat{A}\Gamma=15^\circ, κι αφού \Gamma\widehat{A}E=45^\circ έχουμε

\displaystyle  
\Delta\widehat{A}E=\Delta \widehat{A}\Gamma+\Gamma\widehat{A}E=15^\circ+45^\circ=60^\circ.

Τα τρίγωνα A\Gamma \Delta και E\Gamma \Delta είναι ίσα από (ΠΓΠ), αφού

\displaystyle  
A\widehat{\Gamma}\Delta=A\widehat{\Gamma}B+B\widehat{\Gamma}\Delta=75^\circ+60^\circ=135^\circ,

και

\displaystyle  
E\widehat{\Gamma} \Delta=360^\circ-A\widehat{\Gamma}E-A\widehat{\Gamma}\Delta=360^\circ-90^\circ-135^\circ=135^\circ=A\widehat{\Gamma}\Delta.

Άρα το τρίγωνο A\Delta E είναι ισοσκελές με μια γωνία 60^\circ, κι άρα ισόπλευρο.

(Αλλιώς, εύκολα βλέπουμε ότι A\widehat{\Delta} E=60^\circ και A\widehat{E}\Delta=60^\circ.)

(β) Από to (α) και την υπόθεση, η EM είναι μεσοκάθετος του A\Delta. Από τη σύγκριση στο (α), η \Delta\Gamma είναι μεσοκάθετος της AE. Άρα το σημείο τομής O των EM και \Delta\Gamma ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου A\Delta E, οπότε το τρίγωνο AO\Delta είναι ισοσκελές. Για να δείξουμε ότι και η AK διέρχεται από το O, αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle{\Delta \widehat{A}K=\Delta \widehat{A}O=A\widehat{\Delta}O=30^\circ}

Παρατηρούμε** ότι το AK\Delta B είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Άρα

\displaystyle{\Delta \widehat{A}K=B\widehat{\Delta}A,}

ως εντός εναλλάξ. Αφού B \widehat{\Delta}A=30^\circ, η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(**Αλλιώς, εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα MAK και M\Delta B είναι ίσα, κι άρα M\widehat{A}K=B \widehat{\Delta}A=30^\circ.)
Συνημμένα
τhalis_2018.png
τhalis_2018.png (24.44 KiB) Προβλήθηκε 5056 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:02 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:05 pm

ΘΕΜΑ 1-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

\displaystyle{a^6-27b^6+26a^3b^3=0}

ή ισοδύναμα

\displaystyle{(a^3-b^3)(a^3+27b^3)=0}

Έτσι, a=b\ne 0 ή a=-3b\ne 0, οι οποίες γίνονται αποδεκτές αφού a^6-27b^6\ne 0 για αυτές. Συνεπώς, οι τιμές της K είναι
\displaystyle{K=\dfrac{b^2-b^2}{b^2+b^2}=0}

ή

\displaystyle{K=\dfrac{(-3b)^2-b^2}{(-3b)^2+b^2}=\dfrac{8b^2}{10b^2}=\frac{4}{5}.}

ΘΕΜΑ 2-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι η παράσταση μπορεί να λάβει την τιμή

\displaystyle{x^2+y^2+z^2+w^2=1^2+1^2+1^3+5^2=28.}

Θα δείξουμε ότι δεν μπορεί να λάβει μεγαλύτερη τιμή. Πράγματι, από την υπόθεση έχουμε (a-1)(a-5)\leq 0 για κάθε a\in \{x,y,z,w\}. Συνεπώς,

\displaystyle{a^2\leq 6a-5}

για κάθε a\in \{x,y,z,w\}.

Έτσι,

\displaystyle{x^2+y^2+z^2+w^2\leq 6(x+y+z+w)-4\cdot 5=48-20=28.}

ΘΕΜΑ 3-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι \displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_3a_2a_1a_0}}

Αφού a_0>a_1 είναι a_0\geq a_1+1, κι αφού a_1>a_2>a_3, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό

\displaystyle{\overline{a_3(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}

με άθροισμα ψηφίων 9.

ΘΕΜΑ 4-B ΛΥΚΕΙΟΥ

(a) Το τετράπλευρο A\Delta OE είναι ισοσκελές τραπέζιο, εγγράψιομο σε κύκλο, Αφού A\Delta=OE, AO=O\Gamma=R και \Delta\widehat{A}O=E\widehat{O}\Gamma τα τρίγωνα OA\Delta και O\Gamma E είναι ίσα από ΠΓΠ.

(β) Είναι O\widehat{Z}E=O\widehat{A}E=O\widehat{\Gamma}E, ZO=O\Gamma, ZE=\Delta O=E\Gamma, από το ισοσκελές τραπέζιο \Delta OEZ και το (α). Πράγματι, αφού E\widehat{\Delta}Z=\Delta \widehat{Z}O τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα, κι άρα και οι χορδές είναι ίσες.

Το τρίγωνο AOZ είναι ισοσκελές (OA=OZ) και O\widehat{A}E=A\widehat{Z}\Delta

(E\widehat{\Delta}Z=E\widehat{A}Z=O\widehat{A}Z-O\widehat{A}E=O\widehat{Z}A-A\widehat{Z}\Delta=\Delta \widehat{Z}O)

Άρα τα τρίγωνα  OZE και O\Gamma E είναι ίσα από ΠΓΠ.

(γ) Είναι A\widehat{Z}H=A\widehat{\Gamma}H και A\widehat{Z}H=A\widehat{Z}\Delta=A\widehat{O}\Delta=A\widehat{\Gamma}O.

Συνεπώς, A\widehat{\Gamma}H=A\widehat{\Gamma}O, δηλ. τα \Gamma, O, H είναι συνευθειακά.
Συνημμένα
thalis_B4.png
thalis_B4.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 5048 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 10, 2018 9:36 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:16 pm

Υπάρχουν κάπου τα θέματα;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:20 pm

Δεν καταλαβαίνω.
Μπορούμε να λύνουμε θέματα χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:22 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:20 pm
Δεν καταλαβαίνω.
Μπορούμε να λύνουμε θέματα χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις;
Ακριβώς!


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:27 pm

Έβαλα μόλις τα θέματα του διαγωνισμού στην πρώτη δημοσίευση.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:31 pm

Επειδή μάλλον φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται (λόγω των ωρών που εμφανίζονται στο site)
οι λύσεις των θεμάτων που έκανε ο Αχιλλέας παραπάνω έγιναν πριν αναρτηθούν τα θέματα.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5268
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:46 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:31 pm
Επειδή μάλλον φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται (λόγω των ωρών που εμφανίζονται στο site)
οι λύσεις των θεμάτων που έκανε ο Αχιλλέας παραπάνω έγιναν πριν αναρτηθούν τα θέματα.
Σταύρο, τα θέματα είναι γνωστά από τις 10.

Απλά, επίσημα και ανά τάξη μπήκαν τώρα από τον Αλέξανδρο.

Καλό ΣΑβ/κο !


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:51 pm

Γ' Λυκείου 1 Η αρχική γράφεται (2x^2-x-6)^2=49x^2
Γ' Λυκείου 3 Προσθέτοντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι 3x^3 \ge x+2x^2, παίρνουμε την μοναδική (1,1,1)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:55 pm

Θέμα 3 Γ-Λυκείου.
Ζητάει να λυθεί το σύστημα

x+2y^{2}=3z^{3}

y+2z^{2}=3x^{3}

z+2x^{2}=3y^{3}

στους θετικούς ακεραίους.

Προσθέτοντας παίρνουμε (x+y+z)+2(x^{2}+y^2+z^2)=3 (x^3+y^3+z^3)(1)

Αλλά για κάθε θετικό ακέραιο είναι

3x^{3}=2x^3+x^3\geq 2x^2+x

με ισότητα αν και μόνο αν x=1

Ετσι από (1) παίρνουμε ότι x=y=z=1

Παρατήρηση.
Από το ότι είναι θετικοί ακέραιοι χρησιμοποιήσαμε το x,y,z\geq 1


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:06 pm

Μία λύση που δε χρησιμοποιεί ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι.

Λόγω κυκλικότητας του συστήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=\max\{x,y,z\}.

Αν x\geq y \geq z τότε αφαιρώντας τις πρώτες δύο εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε:

x-y+2(y-z)(y+z)=3(z-x)(z^2+zx+x^2) και επειδή το πρώτο μέλος είναι \geq 0 και το δεύτερο \leq 0, άρα τελικά πρέπει να είναι και τα δύο ίσα με 0, απ' όπου x=y=z.


Αν x\geq z \geq y τότε αφαιρώντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε:

y-z+2(z-x)(z+x)=3(x-y)(x^2+xy+y^2) και επειδή το πρώτο μέλος είναι \leq 0 και το δεύτερο \geq 0, άρα τελικά πρέπει να είναι και τα δύο ίσα με 0, απ' όπου x=y=z.

Απομένει να λύσουμε την εξίσωση 3x^3-2x^2-x=0 απ' όπου η μόνη θετική λύση είναι η x=1. Άρα x=y=z=1.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:23 pm

Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση

Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,w είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 1 και μικρότεροι ή ίσοι του 5 και επιπλέον ισχύει ότι x+y+z+w=8, Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}

ΛΥΣΗ

Από την ισότητα πέρνουμε (z+w)^{2}=(8-x-y)^{2}\Leftrightarrow z^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw

Αρκεί να βρούμε την μέγιστη τιμή της A=x^{2}+y^{2}+x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw=[(x+y)^{2}+(x-8)^{2}+(y-8)^{2}]_{=a}-64-2zw

Τώρα όσο μικραίνουμε τα z,w και αντίστοιχα όσο μεγαλώνουμε τα x,y μεγαλώνουν όλο και περισσότερο τα -2zw,a άρα μεγαλώνει και το A. Οπότε πέρνει μέγιστη τιμή για z=y=1

Τώρα αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείτε το a

Από την ισότητα πλέον πέρνουμε x+y=6\Leftrightarrow y=6-x άρα το a γίνεται

6^{2}+(x+2)^{2}+(x-8)^{2} τώρα όσο μεγαλώνει το x τόσο μεγαλώνει το a άρα και το A.
Μεγιστοποιείται όταν το x μεγιστοποιείται άρα x=5 και από την ισότητα που μας έδωσε y=1

Οπότε A_{MAX}=5^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=28

(Πραφανώς θα μπορούσαμε να την πάμε διαφορετικά την άσκηση και να βγάζαμε άλλο γράμα ίσο με 5 και τα άλλα ίσο με 1)

Η ΛΥΣΗ ΑΥΤΗΝ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Κυρ Νοέμ 11, 2018 12:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:29 pm

Στο θέμα 4ο της Β λυκείο στο ερώτημα γ μπορούμε να αποδείξουμε ότι \widehat{\Gamma ZH}=90^{\circ} που χαρίς τα 2 προησούμενα ερωτήματά της αποδεικνύεται εύκολα με απλές μεταφορες γωνιών


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 516
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:31 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:23 pm
Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση

Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,w είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 1 και μικρότεροι ή ίσοι του 5 και επιπλέον ισχύει ότι x+y+z+w=8, Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}

ΛΥΣΗ

Από την ισότητα πέρνουμε (z+w)^{2}=(8-x-y)^{2}\Leftrightarrow z^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw

Αρκεί να βρούμε την μέγιστη τιμή της A=x^{2}+y^{2}+x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw=[(x+y)^{2}+(x-8)^{2}+(y-8)^{2}]_{=a}-64-2zw

Τώρα όσο μικραίνουμε τα z,w και αντίστοιχα όσο μεγαλώνουμε τα x,y μεγαλώνουν όλο και περισσότερο τα -2zw,a άρα μεγαλώνει και το A. Οπότε πέρνει μέγιστη τιμή για z=y=1

Τώρα αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείτε το a

Από την ισότητα πλέον πέρνουμε x+y=6\Leftrightarrow y=6-x άρα το a γίνεται

6^{2}+(x+2)^{2}+(x-8)^{2} τώρα όσο μεγαλώνει το x τόσο μεγαλώνει το a άρα και το A.
Μεγιστοποιείται όταν το x μεγιστοποιείται άρα x=5 και από την ισότητα που μας έδωσε y=1

Οπότε A_{MAX}=5^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=28

(Πραφανώς θα μπορούσαμε να την πάμε διαφορετικά την άσκηση και να βγάζαμε άλλο γράμα ίσο με 5 και τα άλλα ίσο με 1)
Δεν ισχύει αυτό . Θα μπορούσε z=1 και w=5.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:34 pm

JimNt. έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:31 pm

Δεν ισχύει αυτό . Θα μπορούσε z=1 και w=5.
Όμως τότε το -2zw μικραίνει και το a θα μικρύνει άρα και το A σε σχέση με αυτό που είπα


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:43 pm

ΘΕΜΑ 3- Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Από τη δοθείσα παίρνουμε x^2-7x+6=x^2-(a+2)x+2a, ή ισοδύναμα, 6-2a=(5-a)x.

Προφανώς, a\ne 5 οπότε \displaystyle{x=\dfrac{6-2a}{5-a}=2-\dfrac{4}{5-a}}.

Άρα ο 5-a θα είναι ακέραιος διαιρέτης του 4, οπότε οι τιμές που μπορεί να πάρει \pm 1, \pm 2, \pm 4.

Αφού x\ne {\color{red}{2}},6, βλέπουμε εύκολα ότι οι αποδεκτές τιμές του a είναι a=1, 3, 4, 7, 9, δηλ. εξαιρείται η a=6.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 10, 2018 5:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:57 pm

Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: \displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0

\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7  \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:58 pm

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι \displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_4a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_4a_3a_2a_1a_0}}

Αφού a_0>a_1 είναι a_0\geq a_1+1, κι αφού a_1>a_2>a_3>a_4, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό

\displaystyle{\overline{a_4(a_3-a_4)(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}

με άθροισμα ψηφίων 9.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:01 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:57 pm
Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: \displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0

\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7  \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}
Καλησπέρα Γιώργο! Χωρίς φαντασία, διαιρώντας με x^2 (το 0 δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέτοντας x-\dfrac{3}{x}=y καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς y η οποία λύνεται πολύ απλά.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες