Προκριματικός Διαγωνισμός 2010

[Eukleidis]

[size=150][color=#BF0000]ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΝΤΕΣ[/color][/size]

[cretanman]

Καλά αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες!

Αν κάποιος έχει και τα θέματα των μεγάλων ας τα αναρτήσει!

Αλέξανδρος

[Eukleidis]

Θεμα 2ο Μικρών



Αντικαθιστώντας στη δεύτερη προκύπτει ότι z=1. Αρα (x,y,z)=(2,2,1)

[Mihalis_Lambrou]

Για την 1) δεν βλέπω πρόβλημα αφού τα δύο τελευταία ψηφία του τετραγώνου αριθμού της μορφής 100Α + 10Β + Γ (όπου Α, Β, Γ μονοψήφιοι) δεν επηρεάζεται από το Α.
Απάντηση: η ίδια με τα τελευταία δύο ψηφία του

Μάλλον απλό πρόβλημα για αυτό το επίπεδο.

Για την 4) βλέπω τρεις λύσεις για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Είναι αντίστοιχα

Μ, Μ, Μ, Α, Μ, Μ, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Μ (όπου Μ = μαύρο, Α = άσπρο)

κάνω λάθος;

Υπόδειξη για την λύση: Το 1 πρέπει να είναι Μ γιατί αν ήταν Α, τότε αν το β είναι το Μ που υπάρχει από την υπόθεση, θα είναι β = 1.β, άρα το β θα είναι Α, άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[ifaigios]

Για την 1) δεν βλέπω πρόβλημα αφού τα δύο τελευταία ψηφία του τετραγώνου αριθμού της μορφής 100Α + 10Β + Γ (όπου Α, Β, Γ μονοψήφιοι) δεν επηρεάζεται από το Α.
Μάλλον απλό πρόβλημα για αυτό το επίπεδο.

Για την 4) βλέπω τρεις λύσεις για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Είναι αντίστοιχα

Μ, Μ, Μ, Α, Μ, Μ, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Μ (όπου Μ = μαύρο, Α = άσπρο)

κάνω λάθος;

Υπόδειξη για την λύση: Το 1 πρέπει να είναι Μ γιατί αν ήταν Α, τότε αν το β είναι το Μ που υπάρχει από την υπόθεση, θα είναι β = 1.β, άρα το β θα είναι Α, άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.

ΥΓ. Έλυσα 1ο, 2ο και 4ο...από 3ο έκανα το σχήμα και βρήκα τη λύση του 1ου ερωτήματος στο τελευταίο λεπτό...αλλά δεν πρόλαβα να τη γράψω χαχα

[ξαροπ]

Εγώ εξ αρχής θεώρησα το 1 ως Μαύρο (είχα και μια απόδειξη για το άσπρο = άτοπο αλλά τη διέγραψα), αφού (1) δεν μπορούμε να βάψουμε κανέναν αριθμό άσπρο (2) κανένα από τα κριτήρια δεν μας δίνει κάποιο αποτέλεσμα αφού 1 = 1 επί 1 (ίδιο χρώμα). Άρα το βάφουμε μαύρο κλπ. (θεώρησα α,β διαφορετικούς αλλά τώρα που το βλέπω και χωρίς αυτό δεν υπάρχει πρόβλημα).

Πιστεύω ότι τα 1, 2 για τους μικρούς ήταν αρκετά εύκολα για το επίπεδο που είναι. Η γεωμετρία ήταν ωραία, ειδικά το (β) ερώτημα το οποίο όμως δεν πρόλαβα την ώρα του διαγωνισμού.

Θα έκανα μια εκτίμηση ότι έλυσα 2ο, 4ο, το μισό 3ο και το περισσότερο από το 1ο (αφού στο τέλος έκανα ένα λάθος λόγω απερισκεψίας, βρίσκοντας έτσι το ένα από τα δυο ψηφία σωστό).

Όπως και να έχει, αν και λίγο σκοτεινή η αίθουσα με τους υπολογιστές, ήταν πολύ ωραίο το 3ωρο-4ωρο. Καλά αποτελέσματα και καλό Πάσχα

[Mihalis_Lambrou]

Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.

Χμμμμ. Δεν θα συμφωνήσω ή, έστω, θα θεωρήσω ότι η εκφώνηση του πρβλήματος είναι ατυχής:

Όταν λέμε ότι μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί, το σωστό είναι να το ερμηνεύσουμε ως "υπάρχει χρωματισμός όλων των αριθμών που είναι συμβατός με τους περιορισμούς"

Το γεγονός ότι ο χρωματισμός του 8 στην δεύτερη και τρίτη μου λύση δεν αντικρούεται
με τα δεδομένα, πρέπει να θεωρηθεί έγκυρος. Πέρα από αυτό, π.χ. ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου θα μπορούσε να θεωρηθεί ως χρωματισμός που έγινε στα δεδομένα του προβλήματος, στο σημείο που λεει "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ" .

Φιλικά,

Μιχάλης.

[ifaigios]

Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.

Χμμμμ. Δεν θα συμφωνήσω ή, έστω, θα θεωρήσω ότι η εκφώνηση του πρβλήματος είναι ατυχής:

Όταν λέμε ότι μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί, το σωστό είναι να το ερμηνεύσουμε ως "υπάρχει χρωματισμός όλων των αριθμών που είναι συμβατός με τους περιορισμούς"

Το γεγονός ότι ο χρωματισμός του 8 στην δεύτερη και τρίτη μου λύση δεν αντικρούεται
με τα δεδομένα, πρέπει να θεωρηθεί έγκυρος. Πέρα από αυτό, π.χ. ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου θα μπορούσε να θεωρηθεί ως χρωματισμός που έγινε στα δεδομένα του προβλήματος, στο σημείο που λεει "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ" .

Φιλικά,

Μιχάλης.

Βασικά η εκφώνηση του προβλήματος είναι αρκετά σαφής...αν και θα συμφωνήσω ότι θα μπορούσε να μπερδέψει. Λέει "αν με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί...", δηλαδή οι αριθμοί δεν είναι χρωματισμένοι αλλά πρέπει να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες.
Όμως ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου ή άσπρου στις λύσεις 2 και 3 δεν μπορεί να στηριχτεί σε κανέναν από τους κανόνες (ούτε φυσικά στο "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ", αφού για να φτάσουμε στο σημείο να πούμε ότι το 8 είναι μαύρο ή άσπρο, θα πρέπει να έχουμε ήδη χρωματίσει τουλάχιστον το 1 μαύρο. (αυτό ισχύει σε όλες τις λύσεις)

[Mihalis_Lambrou]

Λέει "αν με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί...", δηλαδή οι αριθμοί δεν είναι χρωματισμένοι αλλά πρέπει να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες.

Το πρόβλημα δεν είναι εκεί. Για να γίνω πιο κατανοητός:

1) Τι σου δίνει δικαίωμα να χρωματίσεις τι 1; Αν ακολουθήσουμε αυτό που γράφεις, τίποτα δεν σου δίνει το δικαίωμα! Πράγματι, οι υποθέσεις λένε ότι ΑΝ είναι χρωματισένα τα α και β τότε (υπό κάποιες ακόμα προυποθέσεις) χρωματίζονται τα α+β, αβ.
Ρωτάω λοιπόν, ποια είναι τα α και β που μας επιτρέπουν να βάψουμε το 1; Δεν υπάρχουν!

2) Δες σε παρακαλώ το (α) της εκφώνησης και πες μου γιατί το μαύρο που ζωγραφίζεται με τα δεδομένα του προβλήματος αποκλείεται να είναι το 8.

Μ.

[R BORIS]

Μια λύση της γεωμετρίας

1)έστω ότι η ε τέμνει την ΑΒ στην προέκταση της προς το Β
αφού τα ανήκουν στην μεσοκάθετο ε του ΑΜ
αφού
άρα ...

2) αφού
αφού τα ανήκουν στην μεσοκάθετο ε του ΑΜ
άρα και ο c2 περνά από τα Ο,Μ...

[Eagle]

Θα ήθελα να ρωτήσω κάτι.

Στο επίσημο site της ΕΜΕ λέει ότι η γραπτη εξέταση θα γίνει στις 9 το Σαββατο και η προφορική την Κυριακή.Τί είναι η προφορική εξέταση????

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

[Κώστας Παππέλης]

Είναι κυρίως για τη γνωριμία των παιδιών με την επιτροπή των διαγωνισμών. Συνήθως γίνεται κουβέντα για τις γνώσεις του καθενός, τι έχει διαβάσει και ενίοτε εξετάζουν και κανά θεώρημα... Παίζει μηδενικό ρόλο στην επιλογή της ομάδας πλέον.

[John13]

Έχει κανένας τα θέματα των μεγάλων?
Στο site της ΕΜΕ δεν τα έχουν βάλλει...

[chris]

Κοιταξα και εγω αλλα δεν τα βρήκα ακομα.

[Djimmakos]

Το πρώτο πρόβλημα ήταν σύστημα

Nα λυθεί στους θετικούς πραγματικούς το σύστημα





Η δική μου λύση είναι η εξής:

Από την πρώτη με AM-GM έχουμε ότι xyzw<=1
Από τη δεύτερη με Andreescu στο πρώτο μέλος και χρησιμοποιώντας το δεύτερο έχουμε ότι xyzw>=1
Οπότε xyzw=1
Οπότε, λόγω της πρώτης ανισότητας έχουμε ότι x=y=z=w και με το xyzw=1 προκύπτει ότι (x,y,z,w)=(1,1,1,1)

Μακάρι να το είχανε βάλει στον Αρχιμήδη αυτό...Αχχ

Tα υπόλοιπα δυστυχώς δεν τα γνωρίζω..Όπως και να έχει, καλή επιτυχία σ' όλους τους διαγωνιζόμενους!!!!

[chris]

Εβαλαν τετοιο θεμα στους μεγαλους.Τι ήταν?Πρώτο?

[Djimmakos]

Ναι. Έτσι μου είπανε, τουλάχιστον.

[Μπάμπης Στεργίου]

Τα έχω τα θέματα, αλλά δεν έχω σκάνερ.

Αύριο θα προσπαθήσω να βάλω τη συναρτησιακή και τη γεωμετρία.

Πέρασα το Σάββατο από την ΕΜΕ, βρήκα πολλά παιδιά εκεί αλλά και παλιότερους ολυμπιονίκες ! Μακάρι να είχα μαζί μου και καμιά .... διακοσαριά ασκήσεις γεωμετρίας να του δώσω για έλεγχο των λύσεων !!!

Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους!

Μπάμπης

[Nick1990]

Τα εχω και εγω τα θεματα ολα, αλλα απ οσο μου ειπαν δεν θελουν να δημοσιευτουν τα θεματα πρωτου ανεβουν στη σελιδα της ΕΜΕ, επισης απ οσο ξερω το ιδιο ζητημα υπαρχει καθε χρονο μετα απο τον εσωτερικο διαγωνισμο ενω το νοημα του συγκεκριμενου ζητηματος δεν το εχω καταλαβει...

[cretanman]

Το 4ο είναι:
Nα προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν την ισότητα:

για κάθε και είναι γνησίως μονότονες στo

Για η αρχική γίνεται: άρα

Θέτουμε κι έτσι η παραπάνω γίνεται .

Για στην παραπάνω παίρνουμε .

Ενώ για στην αρχική χρησιμοποιώντας την παίρνουμε: δηλαδή

που για δίνει: δηλαδή λόγω της (1): οπότε .

Tώρα η γίνεται: (που δείχνει ότι η συνάρτηση που ψάχνουμε είναι 1-1 αλλά ΚΑΙ επί του ) και η αρχική συναρτησιακή γίνεται:

.

Στην τελευταία θέτουμε όπου το και όπου το και παίρνουμε:



οπότε θέτουμε στην όπου το και χρησιμοποιούμε την για να πάρουμε:



Για παίρνουμε ή . Όμως δε γίνεται γιατί τότε η δε θα ήταν . Άρα .

Περιοριζόμαστε πλέον στο διάστημα όπου η συνάρτηση είναι γν. μονότονη και θεωρούμε τη συνάρτηση , για την οποία ισχύει που είναι η συναρτησιακή του Cauchy για την οποία είναι γνωστό ότι αν η συνάρτηση είναι γν. μονότονη (εδώ είναι αφού είναι σύνθεση γν. μονότονων συναρτήσεων), τότε ισχύει για κάποιο .

Συνεπώς για παίρνουμε δηλαδή για κάποιο .

Όμως η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί την άρα οπότε ή δηλαδή ή .

Επειδή η συνάρτηση είναι γν. μονότονη στο άρα ή .

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

A) Αν τότε θα δείξουμε ότι .

Ας πάρουμε και . Τότε οπότε από τη σχέση παίρνουμε η οποία για δίνει δηλαδή για κάθε .

(Αν πάρουμε και . Τότε από τη σχέση παίρνουμε που για δίνει: για κάθε άρα για κάθε και απλά επιβεβαιώνουμε το παραπάνω αποτέλεσμα. Όμοια εργαζόμαστε για την περίπτωση όπου και .)

B) Αν τότε θα δείξουμε ότι .

Η διαδικασία είναι εντελώς όμοια με την παραπάνω.

Τελικά ή

Αλέξανδρος