IMO 2018

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιούλ 11, 2018 2:57 pm

silouan έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 12:12 pm
Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC και έστω \Gamma ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία D και E βρίσκονται στα τμήματα AB και AC αντίστοιχα ώστε AD = AE. Οι μεσοκάθετες των BD και CE τέμνουν τα μικρά τόξα AB και AC του \Gamma στα σημεία F και G αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες DE και FG είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Το πρόβλημα αυτό προτάθηκε από την Ελλάδα από τους: Βαγγέλη Ψύχα, Μιχάλη Σαράντη και τον υπογράφοντα :D
Ελικρινή και πολλά συγχαρητήρια, και ειδικά προσωπικά από εμένα στον Σιλουανό που έχω την τύχη να παρακολουθώ το ξεδίπλωμα του Μαθηματικού του ταλέντου και του επιστημονικού του εγωϊσμου (υπερ - θετικό για μένα στοιχείο) από τότε που διόρθωνα τα Άριστα γραπτά του στους διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε.. Ας μου επιτραπεί να ελπίζω στην αξιοκρατική αξιοποίηση του, στην ευρύτερη κορυφή (για το καλό του "αθλήματος" και των διαγωνιζόμενων) αφού ο ίδιος είναι πλέον ως Μαθηματικός "απλησιάστως" μακράν ... και αυτό με βάση τα επιστημονικά skripta και όχι ...

Εδώ θέλω να εκφράσω την χαρά μου που το μόνο που δεν "πειράχτηκε" από τους επιστημονικούς διαγωνισμούς ΙΜΟ (δύο θέματα στα έξι), είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το γεγονός αυτό αποδεικνύει την τεράστια σημασία της για την Μαθηματική σκέψη, ακόμα και σήμερα. Εύχομαι και ελπίζω η πολιτεία να πάρει σοβαρά υπόψην το μήνυμα αυτό και σιγά-σιγά να στρώσει τον δρόμο που θα οδηγήσει στην εξέταση της Γεωμετρίας ως μαθήματος για την εισαγωγή στις θετικές σχολές (και της Ιατρικής) στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:00 am

Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA. Σημείο X στο εσωτερικό του ABCD είναι τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου X στο εσωτερικό του ABCD τέτοιου ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA},
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο X στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm

Re: IMO 2018

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Ιούλ 12, 2018 12:34 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 2:57 pm
Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Το πρόβλημα αυτό προτάθηκε από την Ελλάδα από τους: Βαγγέλη Ψύχα, Μιχάλη Σαράντη και τον υπογράφοντα :D
Ελικρινή και πολλά συγχαρητήρια, και ειδικά προσωπικά από εμένα στον Σιλουανό που έχω την τύχη να παρακολουθώ το ξεδίπλωμα του Μαθηματικού του ταλέντου και του επιστημονικού του εγωϊσμου (υπερ - θετικό για μένα στοιχείο) από τότε που διόρθωνα τα Άριστα γραπτά του στους διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε.. Ας μου επιτραπεί να ελπίζω στην αξιοκρατική αξιοποίηση του, στην ευρύτερη κορυφή (για το καλό του "αθλήματος" και των διαγωνιζόμενων) αφού ο ίδιος είναι πλέον ως Μαθηματικός "απλησιάστως" μακράν ... και αυτό με βάση τα επιστημονικά skripta και όχι ...

Εδώ θέλω να εκφράσω την χαρά μου που το μόνο που δεν "πειράχτηκε" από τους επιστημονικούς διαγωνισμούς ΙΜΟ (δύο θέματα στα έξι), είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το γεγονός αυτό αποδεικνύει την τεράστια σημασία της για την Μαθηματική σκέψη, ακόμα και σήμερα. Εύχομαι και ελπίζω η πολιτεία να πάρει σοβαρά υπόψην το μήνυμα αυτό και σιγά-σιγά να στρώσει τον δρόμο που θα οδηγήσει στην εξέταση της Γεωμετρίας ως μαθήματος για την εισαγωγή στις θετικές σχολές (και της Ιατρικής) στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.
Είναι μεγάλη μας τιμή σαν Ελλάδα που το ένα θέμα της IMO ήταν από Έλληνες. Έχω να πω συγχαρητήρια στους κύριους Ψύχα, Σαραντή και τον Σιλουανό αλλά και στους Έλληνες διαγωνιζόμενους ανεξαρτήτως αποτελέσματος. Δεν πρέπει να ξεχνάμε πως πίσω από αυτούς υπάρχουν δάσκαλοι, φίλοι ή και συγγενείς, γνωστοί ή άγνωστοι, που τους βοήθησαν έστω και λίγο να φτάσουν σε ένα τόσο πολύ υψηλό επίπεδο γιαυτό αξίζουν και αυτοί συγχαρητήρια. :clap2:

Με αφορμή το κείμενο του κ. Λουρίδα έχω να πω πως θεωρώ την ευκλείδεια γεωμετρία ένα πολύ σημαντικό μάθημα, όχι επειδή ίσως να χρειαστεί στο μέλλον ή επειδή μου αρέσει, αλλά επειδή εξασκεί τον εγκέφαλο καλύτερα από οποιδήποτε άλλο μάθημα. Μου είχε πει ένας δάσκαλος πως κάποια στιγμή στην Ευρώπη μείωσαν τις ώρες της Γεωμετρίας και τις επόμενες χρονιές έπεσαν οι βαθμοί των μαθητών σημαντικά οπότε τις επανέφεραν όπως ήταν πριν. Γιαυτό τον λόγο πιστεύω πως πρέπει να αφιερωθεί έστω και μία ώρα την εβδομάδα στην Τρίτη Λυκείου για την Γεωμετρία. Δεν νομίζω να χρειάζεται να δίνουμε Γεωμετρία στις Πανελλήνιες (παρόλο που θα μου άρεσε εμένα) καθώς, νομίζω, ότι υπάρχουν λιγότερες σχολές που θα χρειαστείς Γεωμετρία από τα άλλα μαθήματα εκτός αν το βάλουν για έξτρα μάθημα σαν 5ο γι' αυτούς που θέλουν. Επιπροσθέτως δεν βλέπω τον λόγο να δίνουν για την ιατρική Γεωμετρία στις πανελλήνιες. :shock:


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:23 pm

Σύμφωνα με δήλωση του κ. Δάσιου, σε επιστημονική ημερίδα στο Ευγενείδειο Ίδρυμα, είμαστε οι μόνοι στην ΕυρωπαΪκή Ένωση που δεν δίνουμε εξετάσεις στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (τι ειρωνεία ως Έλληνες) για την εισαγωγή στις θετικές σχολές στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι, εκτός τω άλλων, το μοναδικό περιβάλλον που εξασκείται η Μαθηματική σκέψη με σύγχρονη αισθητική αντίληψη. Ας μην ξεχνάμε ότι η μέθοδος της εξάντλησης και βέβαια ο τρόπος υπολογισμού του μήκους της περιφέρειας κύκλου (Αρχιμήδης), που αποτελεί την ουσιαστική αφετηρία και δημιουργία της Μαθηματικής Ανάλυσης, έγινε σε Γεωμετρικό περιβάλλον σκέψης. Δεν υπάρχει στιγμή της Μαθηματικής σκέψης και της Μαθηματικής λογικής που να μην εφαρμόζεται πρωτίστως στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Άσε που για την δημιουργία της Ευκλείδεις Γεωμετρίας η Διαίσθηση και η Αφαίρεση είναι πρωταγωνιστές. Έτσι η επιστημονική σκέψη που τελικά ταυτίζεται με την Γεωμετρική σκέψη "αξιοποιείται" "προπονούμενη" αυστηρά στο επιστημονικό περιβάλλον της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Για τούτο και είναι το μόνο πεδίο που δεν "επηράζεται" ως θεματολογία στους διεθνείς διαγωνισμούς κύρους, όπως εκείνοι της ΙΜΟ, συνεχίζει να έχει πρωταγωνιστικό ρόλο. Ναι μπορεί καταρχάς να θεωρείται παράξενο το γεγονός ότι ένας καλός γιατρός θα πρέπει να έχει περάσει από τον στοίβο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αλλά αν σκεφτεί κανείς καταρχήν και σε βάθος θα κατανοήσει το γιατί ένας καλός γιατρός τουλάχιστον ως διαγνωσιολόγος αλλά και αλλού θα πρέπει να έχει ισχυρή σκέψη και ένας τέλειος προπονητικός μηχανισμός σκέψης είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία μας. Δεν πρόκειται λοιπόν για συναισθηματική ή γραφικού τύπου διαδικασία, πρόκειται για ικανή συνθήκη απόδοσης της Μαθηματικής σκέψης σε "υψηλές στροφές". Ναι ας μου επιτραπεί να επιμένω στην άποψη: Για την εισαγωγή στις θετικές σχολές, στις οποίες ανήκει και η ιατρική, θα πρέπει οι υποψήφιοι να εξετάζονται και στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm

Re: IMO 2018

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:52 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:23 pm
Σύμφωνα με δήλωση του κ. Δάσιου,....στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Kατάλαβα τι εννοείς αλλά θα ήθελα να πω πως επειδή το κάνει η πλειοψηφία (όλες οι χώρες της Ευρώπης εκτός από εμάς) δεν σημαίνει ότι πρέπει να το κάνουμε και εμείς. Το συγκεκριμένο όμως καλό θα ήταν σίγουρα να γίνεται καθώς θα ήταν επίσης και κίνητρο για τους μαθητές να ασχοληθούν με τον κλάδο της γεωμετρίας.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:10 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:52 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:23 pm
Σύμφωνα με δήλωση του κ. Δάσιου,....στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Kατάλαβα τι εννοείς αλλά θα ήθελα να πω πως επειδή το κάνει η πλειοψηφία (όλες οι χώρες της Ευρώπης εκτός από εμάς) δεν σημαίνει ότι πρέπει να το κάνουμε και εμείς. Το συγκεκριμένο όμως καλό θα ήταν σίγουρα να γίνεται καθώς θα ήταν επίσης και κίνητρο για τους μαθητές να ασχοληθούν με τον κλάδο της γεωμετρίας.
Χαίρομαι που αν και είσαι μόλις 16-ετών, έχεις άποψη φτασμένου. Είμαι σίγουρος ότι είσαι αριστοβάθμιος μαθητής. Είμαι επίσης σίγουρος ότι θα έχεις και πολύ καλές επιδόσεις στα διαγωνιστικά μαθηματικά. Αν και εφόσον μου επιτρέπεις, σε ποιό σχολείο πηγαίνεις; Σου εύχομαι καλές και πολλές επιτυχίες, αφού το μέλλον σου ανήκει.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 712
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: IMO 2018

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:42 pm

Συγχαρητήρια στην ελληνική ομάδα για τα δυο μετάλλια και τις δυο εύφημες μνείες καθώς και την αντίστοιχη κυπριακή για το μετάλλιο και εύφημο μνεία. Συγχαρητήρια και στην ελληνική επιτροπή για το πρόβλημα που έθεσε, διατηρώντας μια όμορφη παράδοση στην γεωμετρία.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:47 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:42 pm
Συγχαρητήρια στην ελληνική ομάδα για τα δυο μετάλλια και τις δυο εύφημες μνείες καθώς και την αντίστοιχη κυπριακή για το μετάλλιο και εύφημο μνεία. Συγχαρητήρια και στην ελληνική επιτροπή για το πρόβλημα που έθεσε, διατηρώντας μια όμορφη παράδοση στην γεωμετρία.
Απολύτως ΝΑΙ. Καλή επάνοδο στην Ελλάδα και στη Κύπρο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: IMO 2018

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:41 pm

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ σε όλα τα παιδιά καθώς και στους συνοδούς.


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6761
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: IMO 2018

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 13, 2018 8:39 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της Ελλάδας και της Κύπρου για τις επιδόσεις τους,

καθώς και για το προταθέν θέμα της Γεωμετρίας από την ελληνική επιτροπή.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2550
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMO 2018

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιούλ 13, 2018 10:23 am

Θερμά Συγχαρητήρια σε όλους!

Φιλικά,

Αχιλλέας
imo_2019.png
imo_2019.png (36.42 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2516
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Ιούλ 13, 2018 1:21 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 12:34 pm
Με αφορμή το κείμενο του κ. Λουρίδα έχω να πω πως θεωρώ την ευκλείδεια γεωμετρία ένα πολύ σημαντικό μάθημα, όχι επειδή ίσως να χρειαστεί στο μέλλον ή επειδή μου αρέσει, αλλά επειδή εξασκεί τον εγκέφαλο καλύτερα από οποιδήποτε άλλο μάθημα. Μου είχε πει ένας δάσκαλος πως κάποια στιγμή στην Ευρώπη μείωσαν τις ώρες της Γεωμετρίας και τις επόμενες χρονιές έπεσαν οι βαθμοί των μαθητών σημαντικά οπότε τις επανέφεραν όπως ήταν πριν. Γιαυτό τον λόγο πιστεύω πως πρέπει να αφιερωθεί έστω και μία ώρα την εβδομάδα στην Τρίτη Λυκείου για την Γεωμετρία. Δεν νομίζω να χρειάζεται να δίνουμε Γεωμετρία στις Πανελλήνιες (παρόλο που θα μου άρεσε εμένα) καθώς, νομίζω, ότι υπάρχουν λιγότερες σχολές που θα χρειαστείς Γεωμετρία από τα άλλα μαθήματα εκτός αν το βάλουν για έξτρα μάθημα σαν 5ο γι' αυτούς που θέλουν. Επιπροσθέτως δεν βλέπω τον λόγο να δίνουν για την ιατρική Γεωμετρία στις πανελλήνιες. :shock:
Απεναντίας, εγώ θα έλεγα ότι η ευρέως εννοούμενη Γεωμετρία, και μάλιστα η Στερεομετρία, ΕΙΝΑΙ χρήσιμη στην Ιατρική (βλέπε Αξονική Τομογραφία αλλά και ... απλώς Ανατομία, γεωμετρία αρθρώσεων κλπ) και όχι μόνον (computer graphics, computer games, κλπ κλπ).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: IMO 2018

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Ιούλ 13, 2018 1:25 pm

Συγχαρητήρια σε όλους!!!


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm

Re: IMO 2018

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Ιούλ 13, 2018 1:33 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:21 pm

Απεναντίας, εγώ θα έλεγα ότι η ευρέως εννοούμενη Γεωμετρία, και μάλιστα η Στερεομετρία, ΕΙΝΑΙ χρήσιμη στην Ιατρική (βλέπε Αξονική Τομογραφία αλλά και ... απλώς Ανατομία, γεωμετρία αρθρώσεων κλπ) και όχι μόνον (computer graphics, computer games, κλπ κλπ).
Μέχρι τώρα δεν είχα ποτεέ αναζητήσει αυτό το θέμα και δεν ήξερα πως είναι τόσο χρήσιμη η Γεωμετρία στην Ιατρική.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2516
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:00 am
Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA. Σημείο X στο εσωτερικό του ABCD είναι τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου X στο εσωτερικό του ABCD τέτοιου ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA},
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο X στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2550
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMO 2018

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
...

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2516
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Ιούλ 14, 2018 5:12 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
...

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ευχαριστούμε! [Περίεργο πάντως, η αναζήτηση μου πριν 2 μέρες για aops + imo 2018 + problem 6 ΔΕΝ το έβγαλε... (Επίσης δεν υπήρχε ΤΟΤΕ λύση στην επίσημη σελίδα του ΙΜΟ, σε αντίθεση με τα περισσότερα άλλα προβλήματα...)]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2516
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:14 am

achilleas έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.
Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

:clap2: :clap2:


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Ιούλ 15, 2018 11:08 am

gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:00 am
Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA. Σημείο X στο εσωτερικό του ABCD είναι τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου X στο εσωτερικό του ABCD τέτοιου ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA},
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο X στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
gbaloglou έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:14 am
achilleas έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.
Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

:clap2: :clap2:
Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου X. Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου X σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του X.
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων. Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.

Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2516
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: IMO 2018

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Ιούλ 16, 2018 6:54 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 11:08 am
gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:00 am
Demetres έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA. Σημείο X στο εσωτερικό του ABCD είναι τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου X στο εσωτερικό του ABCD τέτοιου ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA},
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD ικανοποιεί AB\cdot  CD = BC\cdot  DA και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο X στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε \angle{XAB} = \angle{XCD} και \angle{XBC} = \angle{XDA}.
Να δειχθεί ότι \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}.
Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
gbaloglou έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:14 am
achilleas έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.
Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

:clap2: :clap2:
Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου X. Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου X σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του X.
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων. Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.

Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;
Σωτήρη ρωτάς (Υ.Γ.) αν η αρμονικότητα έπεται από τις τρεις σχέσεις γωνιών (δύο δοθείσες και μία ζητούμενη), σωστά;

Η θέση σου κατά της απόκρυψης διαδικασιών ύπαρξης πολύ ενδιαφέρουσα, φοβάμαι όμως ότι, όπως υπαινίχθηκα και στο προηγούμενο μήνυμα μου, η συνεχής ζήτηση για νέα, δύσκολα προβλήματα οδηγεί αναπόφευκτα σε τέτοιες καταστάσεις. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι φανερό ότι δεν υπάρχει σημείο με τις ζητούμενες ιδιότητες σε τυχόν τετράπλευρο, αναρωτιέμαι αν υπάρχει σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο. Για να πάμε και στο θέμα της κατασκευής, ας εξετάσουμε και την πολύ ειδική περίπτωση ενός αρμονικού τραπεζίου (με BC//AD και |AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|), όπου, χρησιμοποιώντας ΚΑΙ το ζητούμενο (και το αντίστροφο που νομίζω ότι θέτεις), μία χαρακτηριστική ιδιότητα του X είναι να είναι η ευθεία BXD διχοτόμος της γωνίας AXC, οπότε το X είναι κατασκευάσιμο.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 17-7-2018 10 πμ: συντομεύτηκε δραστικά η τελευταία πρόταση!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες