Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Είναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων.
Πρόβλημα 1
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να αποδείξετε ότι:
Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , όπου είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός
να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς ακεραίους .
Πρόβλημα 4
Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό . O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουνάδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας ψήφιος αριθμός (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή). Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός να διαιρείται με το, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.
Πρόβλημα 1
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να αποδείξετε ότι:
Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , όπου είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός
να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς ακεραίους .
Πρόβλημα 4
Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό . O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουνάδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας ψήφιος αριθμός (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή). Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός να διαιρείται με το, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Λόγω της είναι
.
Αρκεί τώρα
δηλαδή
Αυτή είναι άμεση συνέπεια της συνθήκης που δίνεται και της προφανούς
Είναι φανερό ότι η ισότητα πιάνεται μόνο όταν
Μάγκος Θάνος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Η λύση μου σε αυτό το πρόβλημα (το οποίο δεν το έλυσα όλο κατά τη διάρκεια του διαγωνισμού, αλλά το έλυσα σε 5 λεπτά μόλις πήγα σπίτι)
Αρχικά είναι γνωστό λήμμα το ότι το δεύτερο σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του , έστω , έχει την ιδιότητα .
Αυτό προκύπτει με ομοιοθεσία κέντρου που στέλνει το περίκεντρο στο κέντρο του κύκλου . Αυτή στέλνει το στο , δηλαδή στο μέσο του και το στο , άρα , δηλαδή .
Θα αποδείξουμε τώρα πως οι ευθείες συντρέχουν, έστω στο . Αν το αποδείξουμε τότε από δύναμη σημείου στα εγγράψιμα και προκύπτει ότι και , άρα και το ζητούμενο έπεται.
Έστω πως η τέμνει την στο λοιπόν. Θα αποδείξουμε πως αν τέμνει την στο τότε, .
Από το πλήρες τετράπλευρο , όπου το ορθόκεντρο, έχουμε πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αρκεί να αποδειχθεί και πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη , δηλαδή η είναι αρμονική.
Δηλαδή αρκεί να αποδειχθεί πως το είναι αρμονικό, δηλαδή η δέσμη να είναι αρμονική, δηλαδή η δέσμη να είναι αρμονική, που ισχύει καθώς και η διχοτομεί την .
Edit: προστέθηκε το σχήμα
Αρχικά είναι γνωστό λήμμα το ότι το δεύτερο σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του , έστω , έχει την ιδιότητα .
Αυτό προκύπτει με ομοιοθεσία κέντρου που στέλνει το περίκεντρο στο κέντρο του κύκλου . Αυτή στέλνει το στο , δηλαδή στο μέσο του και το στο , άρα , δηλαδή .
Θα αποδείξουμε τώρα πως οι ευθείες συντρέχουν, έστω στο . Αν το αποδείξουμε τότε από δύναμη σημείου στα εγγράψιμα και προκύπτει ότι και , άρα και το ζητούμενο έπεται.
Έστω πως η τέμνει την στο λοιπόν. Θα αποδείξουμε πως αν τέμνει την στο τότε, .
Από το πλήρες τετράπλευρο , όπου το ορθόκεντρο, έχουμε πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αρκεί να αποδειχθεί και πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη , δηλαδή η είναι αρμονική.
Δηλαδή αρκεί να αποδειχθεί πως το είναι αρμονικό, δηλαδή η δέσμη να είναι αρμονική, δηλαδή η δέσμη να είναι αρμονική, που ισχύει καθώς και η διχοτομεί την .
Edit: προστέθηκε το σχήμα
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Ιουν 17, 2018 1:45 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Καλησπέρα.Καλό πρόβλημα,όπως και η ανισότητα.silouan έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 9:51 pmΠρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Έστω το δεύτερο σημείο τομής της με τον κύκλο, το μέσο της και το σημείο τομής της με τη .Είναι γνωστό(;) ότι (το έχουμε ξαναδεί εδώ,δε μπόρεσα να βρω link πάντως θυμάμαι ότι σχετίζεται με το G4 της shortlist του 2011).Συνεπώς, άρα το είναι εγγράψιμο.Έπεται ότι .Από το αντίστροφο του θ. Newton,έπεται ότι η τετράδα είναι αρμονική.Με άλλα λόγια,το είναι το συζυγές αρμονικό του ως προς τα ,οπότε ταυτίζεται και με το σημείο τομής της με τη ,δηλαδή τα είναι συνευθειακά.Αφού το ειναι εγγράψιμο,έπεται ότι ,όπως θέλαμε.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
- Συνημμένα
-
- prokrimatikos_megalon_2018.png (44.04 KiB) Προβλήθηκε 5539 φορές
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Πολύ ωραίο.silouan έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 9:51 pm
Πρόβλημα 4
Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό . O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουνάδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας ψήφιος αριθμός (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή). Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός να διαιρείται με το, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.
Αριθμούμε τα κουτάκια από δεξιά προς αριστερά.
Για απλά γράφουμε στο πρώτο κουτάκι. Για κάθε άλλο ξεκινάμε γράφοντας στο -οστό κουτάκι. Χωρίζουμε τα υπόλοιπα κουτάκια στα ζεύγη όπου . Επειδή τότε ή .
Περίπτωση 1:
Όταν ο αντίπαλος γράψει στο ένα από τα κουτάκια του ζεύγους γράφουμε και εμείς στο άλλο. Αυτοί οι δύο αριθμοί συνεισφέρουν στον αριθμό που θα σχηματιστεί. Αυτό συμβαίνει για κάθε ζεύγος και άρα κερδίζουμε.
Περίπτωση 2:
Όταν ο αντίπαλος γράψει στο ένα από τα κουτάκια του ζεύγους εμείς γράφουμε στο άλλο. Αυτοί οι δύο αριθμοί συνεισφέρουν στον αριθμό που θα σχηματιστεί. Αυτό συμβαίνει για κάθε ζεύγος και άρα στο τέλος θα έχουμε
Οπότε κερδίζουμε σε κάθε περίπτωση.
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η ταυτοτική ακολουθία είναι λύση. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική.
Έστω συνάρτηση που πληροί τις προϋποθέσεις της εκφώνησης με . Αφού η παράσταση πρέπει πάντα να είναι τέλειο τετράγωνο, η συνάρτηση πρέπει να είναι φραγμένη (αφού ). Έστω για κάθε .
Θέτοντας , βλέπουμε ότι ο πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω . Η απόλυτη διαφορά των δύο παραγόντων δεξιά είναι . Επιλέγοντας για πρώτο, έχουμε (ο ένας από τους δύο παράγοντες θα διαιρείται με και ο άλλος το πολύ με ), οπότε . Αφού όμως ο πρώτος μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλος, έχουμε άτοπο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Ήταν η άσκηση ΝΤ2 της BMO Shortlist του 2017. Βάζω και την δική μου λύση. Δείχνω και εγώ ότι δεν μπορεί η να είναι φραγμένη αλλά με διαφορετικό τρόπο.
Λήμμα: Για κάθε υπάρχει με .
Απόδειξη λήμματος: Υποθέτω προς άτοπο ότι δεν ισχύει. Για βλέπω ότι το είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα για κάθε υπάρχει ώστε το να είναι τέλειο τετράγωνο. Παίρνω πρώτους . Για κάθε βρίσκω το οποίο δεν είναι τέλειο τετράγωνο modulo . Ακολούθως βρίσκω ώστε . Μπορώ να βρω τέτοιο επειδή η εξίσωση είναι γραμμική και . Από Κινέζικο Θεώρημα τώρα βρίσκω ώστε . Τότε το δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα . Αυτό ισχύει για κάθε , άτοπο.
Τα υπόλοιπα όπως στην λύση του Δημήτρη.
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Καλησπέρα.
Όσον αφορά το προβλημα της γεωμετρίας,ένα ακόμη στοιχείο που προκύπτει είναι το εξής:
Αν το σημείο τομής των και τότε οι τέμνονται πάνω στον κύκλο (όπως,λόγω συμμετρίας,και οι ).
Όσον αφορά το προβλημα της γεωμετρίας,ένα ακόμη στοιχείο που προκύπτει είναι το εξής:
Αν το σημείο τομής των και τότε οι τέμνονται πάνω στον κύκλο (όπως,λόγω συμμετρίας,και οι ).
Γιώργος Γαβριλόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
silouan έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 9:51 pmΕίναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων.
Πρόβλημα 1
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να αποδείξετε ότι:
Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , όπου είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός
να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς ακεραίους .
Πρόβλημα 4
Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό . O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουνάδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης
που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας ψήφιος αριθμός (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή). Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός να διαιρείται με το, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.
Πρόβλημα 1
Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου προκύπτει ότι:
Από την παραπάνω σχεση:(1)
Αφού x,y,z θετικοί ισχύει :(2)
Έστω:
Όπου
θετικοί πραγματικοί αριθμού
Από την σχεση (1) έχουμε:
Πρέπει
Από τις σχέσεις (1)-(2) προκύπτει ότι
Έστω τωρα ότι
Λόγω της (2):
όμως
Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι
Η ισότητα ισχύει όταν
Τσούρα Χριστίνα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
gavrilos έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 17, 2018 1:15 amΚαλησπέρα.Καλό πρόβλημα,όπως και η ανισότητα.silouan έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 16, 2018 9:51 pmΠρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Έστω το δεύτερο σημείο τομής της με τον κύκλο, το μέσο της και το σημείο τομής της με τη .Είναι γνωστό(;) ότι (το έχουμε ξαναδεί εδώ,δε μπόρεσα να βρω link πάντως θυμάμαι ότι σχετίζεται με το G4 της shortlist του 2011).Συνεπώς, άρα το είναι εγγράψιμο.Έπεται ότι .Από το αντίστροφο του θ. Newton,έπεται ότι η τετράδα είναι αρμονική.Με άλλα λόγια,το είναι το συζυγές αρμονικό του ως προς τα ,οπότε ταυτίζεται και με το σημείο τομής της με τη ,δηλαδή τα είναι συνευθειακά.Αφού το ειναι εγγράψιμο,έπεται ότι ,όπως θέλαμε.
Βάζω και ένα ακόμα σχήμα για συζήτηση.
Στις επίσημες λύσεις αναφέρεται ως αιτιολόγηση το ριζικό κέντρο και δεν σας κρύβω ότι κάτι δεν με ικανοποιεί απόλυτα. Τι λέτε ;
[attachment=0]tst2018greece.PNG[/attachment]
Μπ
- Συνημμένα
-
- tst2018greece.PNG (48.33 KiB) Προβλήθηκε 3784 φορές
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Για το προβλημα της γεωμετριας. Δεν μπορουμε να παρουμε οτι οι ριζικοι αξονες BC,MN,EF εχουν ριζικο κεντρο το T και να παρουμε δυνάμεις σημείου και να τελειώνουμε ή δεν γινετε αυτο?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Προκριματικός 2018 (Μεγάλοι)
Μην ξεχνάς να γράφεις τα ποστ σου με τονισμό των λέξεων, όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά αλλά και οι κανονισμοί του φόρουμ.
Επίσης να γράφεις με latex.
Στο ερώτημά σου: Αν δείξεις ότι το είναι εγγράψιμο (που ισχύει και το έδειξε ο Σιλουανός παραπάνω) τότε οι είναι κοινές χορδές τριών ανά δύο τεμνόμενων κύκλων. Από γνωστό θεώρημα (που αποδεικνύεται απλά με χρήση ριζικών αξόνων) οι χορδές αυτές συγκλίνουν. Οπότε τελειώσαμε, όπως ακριβώς και πολύ σωστά αναφέρεις.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες