Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
1. Σε σκακιέρα είναι τοποθετημένοι μερικοί ίπποι, εξάλλου σε κάθε τετράγωνο είναι τοποθετημένος τουλάχιστον ένας ίππος. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος κελιών που απειλούν αυτοί οι ίπποι; (ο ίππος δεν απειλεί το κελί στο οποίο είναι τοποθετημένος, αλλά μπορεί να απειλεί κελιά στα οποία είναι τοποθετημένοι άλλοι ίπποι.)
2. Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί και . Αποδείξτε, ότι αν , τότε ο αριθμός θα είναι σύνθετος.
3. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά. Μπορούμε να διαλέξουμε δυο σημεία και και να μεταφέρουμε το σημείο στο μέσο του τμήματος . Προέκυψε, ότι με τέτοιες μεταφορές, τα σημεία κατέλαβαν τις ίδιες θέσεις (πιθανόν με διαφορετική σειρά). Για ποιο ελάχιστο θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο;
4. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Αποδείξτε την ανίσωση
.
5. Στην υποτείνουσά ορθογωνίου τριγώνου δίνεται σημείο , ώστε . Έστω σημείο της καθέτου από το σημείο προς την ευθεία , που ισαπέχει από τα σημεία και . Επίσης, έστω το μέσο του τμήματος . Αποδείξτε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
6. Έστω επίπεδος γράφος, όλες οι κορυφές του οποίου έχουν βαθμό . Ο Βασίλης και ο Πέτρος κινούνται κατά μήκος των ακμών του. Την πρώτη φορά ο καθένας τους κινείται τυχαία, μετά όμως ο καθένας τους κινείται ευθεία (από τα τρία μονοπάτια διαλέγει το μεσαίο). Στο τέλος σε κάθε κορυφή υπήρξε ακριβώς ένας από αυτούς και ακριβώς μια φορά. Να αποδείξετε, ότι ο γράφος έχει άρτιο αριθμό κορυφών.
7. Δίνεται περιγεγραμμένο τετράπλευρο . Είναι γνωστό, ότι . Στην διχοτόμο της γωνίας διαλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο προς την πλευρά . Αποδείξτε, ότι .
8. Ο Νίκος σκέφτηκε ένα διψήφιο αριθμό και ο Γιώργος προσπαθεί να τον μαντέψει. Για να το πετύχει ανακοινώνει έναν φυσικό αριθμό και ο Νίκος κοινοποιεί στον Γιώργο το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού . Για ποιο ελάχιστο πλήθος ερωτήσεων ο Γιώργος εγγυημένα θα μαντέψει σωστά τον αριθμό;
Πηγή
1. Σε σκακιέρα είναι τοποθετημένοι μερικοί ίπποι, εξάλλου σε κάθε τετράγωνο είναι τοποθετημένος τουλάχιστον ένας ίππος. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος κελιών που απειλούν αυτοί οι ίπποι; (ο ίππος δεν απειλεί το κελί στο οποίο είναι τοποθετημένος, αλλά μπορεί να απειλεί κελιά στα οποία είναι τοποθετημένοι άλλοι ίπποι.)
2. Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί και . Αποδείξτε, ότι αν , τότε ο αριθμός θα είναι σύνθετος.
3. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά. Μπορούμε να διαλέξουμε δυο σημεία και και να μεταφέρουμε το σημείο στο μέσο του τμήματος . Προέκυψε, ότι με τέτοιες μεταφορές, τα σημεία κατέλαβαν τις ίδιες θέσεις (πιθανόν με διαφορετική σειρά). Για ποιο ελάχιστο θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο;
4. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Αποδείξτε την ανίσωση
.
5. Στην υποτείνουσά ορθογωνίου τριγώνου δίνεται σημείο , ώστε . Έστω σημείο της καθέτου από το σημείο προς την ευθεία , που ισαπέχει από τα σημεία και . Επίσης, έστω το μέσο του τμήματος . Αποδείξτε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
6. Έστω επίπεδος γράφος, όλες οι κορυφές του οποίου έχουν βαθμό . Ο Βασίλης και ο Πέτρος κινούνται κατά μήκος των ακμών του. Την πρώτη φορά ο καθένας τους κινείται τυχαία, μετά όμως ο καθένας τους κινείται ευθεία (από τα τρία μονοπάτια διαλέγει το μεσαίο). Στο τέλος σε κάθε κορυφή υπήρξε ακριβώς ένας από αυτούς και ακριβώς μια φορά. Να αποδείξετε, ότι ο γράφος έχει άρτιο αριθμό κορυφών.
7. Δίνεται περιγεγραμμένο τετράπλευρο . Είναι γνωστό, ότι . Στην διχοτόμο της γωνίας διαλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο προς την πλευρά . Αποδείξτε, ότι .
8. Ο Νίκος σκέφτηκε ένα διψήφιο αριθμό και ο Γιώργος προσπαθεί να τον μαντέψει. Για να το πετύχει ανακοινώνει έναν φυσικό αριθμό και ο Νίκος κοινοποιεί στον Γιώργο το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού . Για ποιο ελάχιστο πλήθος ερωτήσεων ο Γιώργος εγγυημένα θα μαντέψει σωστά τον αριθμό;
Πηγή
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 02, 2022 9:55 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Η ανισότητα αναπτυγμένη γράφεται , ή αλλιώς, αφού , , που είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητας Schur .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
4. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Αποδείξτε την ανίσωση
.
Πηγή
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Φέρνουμε .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
5. Στην υποτείνουσά ορθογωνίου τριγώνου δίνεται σημείο , ώστε . Έστω σημείο της καθέτου από το σημείο προς την ευθεία , που ισαπέχει από τα σημεία και . Επίσης, έστω το μέσο του τμήματος . Αποδείξτε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Αρκεί να δείξουμε πως .
Είναι .
Αρκεί λοιπόν .
Από τα όμοια τρίγωνα , είναι (1).
Επίσης, αφού , και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια.
Έτσι, , και από (1), (2).
Από (2), και αφού τα τρίγωνα είναι ορθογωνία, αυτά τα δύο τρίγωνα είναι όμοια.
Άρα, , ό.έ.δ.
Υ.Γ. Συγγνώμη για την έλλειψη σχήματος. Με την πρώτη ευκαιρία θα το προσθέσω. Αν κάποιος μπορεί ας το βάλει. Ευχαριστώ πολύ!
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Δίνω το σχήμα.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Απρ 16, 2018 12:09 amΦέρνουμε .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
5. Στην υποτείνουσά ορθογωνίου τριγώνου δίνεται σημείο , ώστε . Έστω σημείο της καθέτου από το σημείο προς την ευθεία , που ισαπέχει από τα σημεία και . Επίσης, έστω το μέσο του τμήματος . Αποδείξτε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Αρκεί να δείξουμε πως .
Είναι .
Αρκεί λοιπόν .
Από τα όμοια τρίγωνα , είναι (1).
Επίσης, αφού , και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια.
Έτσι, , και από (1), (2).
Από (2), και αφού τα τρίγωνα είναι ορθογωνία, αυτά τα δύο τρίγωνα είναι όμοια.
Άρα, , ό.έ.δ.
Υ.Γ. Συγγνώμη για την έλλειψη σχήματος. Με την πρώτη ευκαιρία θα το προσθέσω. Αν κάποιος μπορεί ας το βάλει. Ευχαριστώ πολύ!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Πάρα πολύ ωραία όλα τα θέματα. Για την παραπάνω:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pm2. Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί και . Αποδείξτε, ότι αν , τότε ο αριθμός θα είναι σύνθετος.
Η συνθήκη γράφεται . Αν τα ήσαν πρώτα προς αλλήλους τότε θα είχαμε και .
Αλλά τότε από την θα είχαμε , που αντιβαίνει στην υπόθεση .
Τελικά τα έχουν κοινό διαιρέτη και άρα για κάποια .
Έπεται ότι σύνθετος.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Φέρνουμε .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
7. Δίνεται περιγεγραμμένο τετράπλευρο . Είναι γνωστό, ότι . Στην διχοτόμο της γωνίας διαλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο προς την πλευρά . Αποδείξτε, ότι .
Από την προφανή ισότητα των έχουμε .
Το Π.Θ. στα τρίγωνα , δίνει και .
Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο παραπάνω (χρησιμοποιούμε ) έχουμε (1).
Από το κριτήριο καθετότητας (2).
Από (1), (2) (3).
Όμως, αφού και το είναι περιγεγραμμένο, έχουμε , αφού επίσης (από τα ίσα ).
Έτσι, (4).
Συνδυάζοντας τις (3), (4),
, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Πρέπει αφού για αυτό είναι αδύνατο.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
3. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά. Μπορούμε να διαλέξουμε δυο σημεία και και να μεταφέρουμε το σημείο στο μέσο του τμήματος . Προέκυψε, ότι με τέτοιες μεταφορές, τα σημεία κατέλαβαν τις ίδιες θέσεις (πιθανόν με διαφορετική σειρά). Για ποιο ελάχιστο θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο;
Έστω ευθεία ώστε ένα από τα σημεία, έστω το , να είναι πάνω στην και όλα τα υπόλοιπα είναι από την μία μεριά της . Αυτό εξακολουθεί να ισχύει μετά από κάθε μεταφορά. Μάλιστα απαγορεύεται να μεταφερθεί το αφού τότε όλα τα σημεία θα είναι πάντα από την μία μεριά της .
Θεωρούμε τώρα την κυρτή θήκη του συνόλου των σημείων. Επειδή έχουμε πεπερασμένο αριθμό σημείων, ανά τρία μη συνευθειακά, αυτή θα είναι ένα πολύγωνο. Οι κορυφές του είναι κάποια από τα δοθέντα σημεία και από την παρατήρηση της προηγούμενης παραγράφου αυτά απαγορεύονται να μεταφερθούν.
Άρα πρέπει απαραίτητα . Για μπορούμε να πάρουμε τα σημεία και .
Διαλέγουμε πρώτα τα και μεταφέρουμε το στο .
Διαλέγουμε μετά τα και μεταφέρουμε το στο .
Τέλος διαλέγουμε τα και μεταφέρουμε το στο , δηλαδή στην αρχική του θέση.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2012)
Καταρχάς ευχαριστώ πολύ τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη που μου επεσήμανε ένα μη εξηγήσιμο σημείο στην προηγούμενη λύση μου την οποία και αντικαθιστώ με αυτή που ακολουθεί. Επισημαίνω επίσης ότι με εντυπωσίασε η λύση του Ορέστη.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Απρ 15, 2018 1:17 pmΑνοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012
7. Δίνεται περιγεγραμμένο τετράπλευρο . Είναι γνωστό, ότι . Στην διχοτόμο της γωνίας διαλέγουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο προς την πλευρά . Αποδείξτε, ότι .
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας Με μία απλή εφαρμογή του θεωρήματος Μενελάου στα τρίγωνα , βλέπουμε ότι οι ευθείες συγκλίνουν στο ( είναι σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές). Προφανώς το είναι ριζικό κέντρο των με αντίστοιχα κέντρα τα Αν επί της θεωρήσουμε σημείο τέτοιο που οι προβολή του στην να έχει τη ιδιότητα τότε θα ισχύει που σημαίνει ότι το θα ανήκει στον ριζικό άξονα των με κέντρα αντίστοιχα με το να ανήκει επίσης στον ίδιο ριζικό άξονα. Άρα Εδώ θεωρώ ότι το πρόβλημα τελείωσε. Αν τότε η λύση είναι σχεδόν άμεση.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες