IMC Stage II 2014

#1

Συνεχίζω με τα θέματα του 2014.

Θυμίζω ότι απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού. Σε κάθε άσκηση ζητείται μόνο η τελική απάντηση χωρίς την οποιαδήποτε αιτιολόγηση. Εδώ όμως ας δούμε πλήρεις εξηγήσεις.

Άσκηση 1: Αν πολλαπλασιάσουμε την ηλικία που έχει ο Μαξ φέτος με την ηλικία που θα έχει η Μίνι του χρόνου, θα πάρουμε το τετράγωνο ενός ακεραίου. Αν πολλαπλασιάσουμε την ηλικία που θα έχει ο Μαξ του χρόνου, με την ηλικία που έχει η Μίνι φέτος, πάλι θα πάρουμε το τετράγωνο ενός ακεραίου. Αν η Μίνι είναι φέτος 8 χρονών, και ο Μαξ είναι μεγαλύτερος από 1 και μικρότερος από 100 χρονών, ποια είναι η ηλικία του Μαξ;

Άσκηση 2: Σε μια χορωδία, περισσότερα από τα $\frac{2}{5}$ αλλά λιγότερα από το $\frac{1}{2}$ των παιδιών είναι αγόρια. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός παιδιών της χορωδίας;

Άσκηση 3: Κάθε κορίτσι θέλει να ιππεύσει ένα άλογο από μόνη της, αλλά υπάρχουν άλογα μόνο για τα $\frac{10}{13}$ από αυτά. Αν το σύνολο των ποδιών όλων των αλόγων και όλων των κοριτσιών είναι 990

, πόσα κορίτσια πρέπει να περιμένουν τη σειρά τους;

Άσκηση 4: Σίγουρα το $\frac{23}{30} = \frac{57}{78}$ είναι λανθασμένο. Όμως, αν ο ίδιος θετικός ακέραιος αφαιρεθεί από κάθε ένα από τους 23, 30, 57

και

, τότε θα είναι σωστό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός που πρέπει να αφαιρεθεί;

Filippos Athos · #2

Άσκηση 1: Αν πολλαπλασιάσουμε την ηλικία που έχει ο Μαξ φέτος με την ηλικία που θα έχει η Μίνι του χρόνου, θα πάρουμε το τετράγωνο ενός ακεραίου. Αν πολλαπλασιάσουμε την ηλικία που θα έχει ο Μαξ του χρόνου, με την ηλικία που έχει η Μίνι φέτος, πάλι θα πάρουμε το τετράγωνο ενός ακεραίου. Αν η Μίνι είναι φέτος 8 χρονών, και ο Μαξ είναι μεγαλύτερος από 1 και μικρότερος από 100 χρονών, ποια είναι η ηλικία του Μαξ;

Μαξ

Μίνι

$M\cdot 9$ είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου. (Σ1) $M\in \left ( 1,2^{2},3^{2},4^{2},5^{2},6^{2},7^{2},8^{2},9^{2} \right )$

$\left (M+1 \right )\cdot 8$ είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακεραίου. Από το (Σ1) το μόνο που πληροί τους όρους της δεύτερης εξίσωσης είναι

το $M=7^{2}=49$

Filippos Athos · #3

Άσκηση 2: Σε μια χορωδία, περισσότερα από τα \frac{2}{5} αλλά λιγότερα από το \frac{1}{2} των παιδιών είναι αγόρια. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός παιδιών της χορωδίας;

-αριθμός αγοριών

-συνολικός αριθμός παιδιών της χορωδίας

$\frac{2}{5}\cdot X<A<\frac{1}{2}\cdot X$

$X\neq (1,2)$ γιατί ο αριθμός των παιδιών δεν γίνεται να είναι δεκαδικός αριθμός

Για το X=3

, αναγκαστικά το A=1

, όμος $\frac{2}{5}\nless \frac{1}{3}$ , όποτε απορρίπτεται.
Για το X=4

πάλι το

(επειδή για το $A=2\nless \frac{1}{2}X$ ). Απορρίπτεται επειδή $\frac{2}{5}\nless\frac{1}{4}$

.
.
.
Για το X=7

, το

πληροί τους όρους του προβλήματος $\frac{2}{5}< \frac{3}{7}<\frac{1}{2}$

Επομένως ο μικρότερος δυνατός αριθμός παιδιών της χορωδίας είναι

#4

Ωραία. Έβαλα τις ασκήσεις 3 και 4.

#5

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 11:44 am
Άσκηση 3: Κάθε κορίτσι θέλει να ιππεύσει ένα άλογο από μόνη της, αλλά υπάρχουν άλογα μόνο για τα $\frac{10}{13}$ από αυτά. Αν το σύνολο των ποδιών όλων των αλόγων και όλων των κοριτσιών είναι , πόσα κορίτσια πρέπει να περιμένουν τη σειρά τους;

Με εξίσωση είναι εύκολη (*) αλλά επειδή απευθυνόμαστε σε παιδιά Δημοτικού, ας δούμε λύση με πρακτική Αριθμητική:

Αν τα κορίτσια ήσαν

τότε τα άλογα θα ήσαν

, και τα πόδια θα ήσαν $2\times 13 + 4 \times 10=66$ . Αλλά τα πόδια είναι $990= 66\times 15$ , οπότε χρειαζόμαστε

φορές περισσότερα κορίτσια.

Τελικά τα κορίτσια είναι $13\times 15 =195$ και τα άλογα $\frac{10}{13} \times 195 = 150$ , που σημαίνει ότι τα κορίτσια που περισσεύουν είναι 195-150=45

. Μπορούμε να ελέγξουμε ότι τα νούμερα αυτά επαληθεύουν τα δεδομένα της άσκησης.

(*) Αν

τα κορίτσια τότε τα άλογα είναι $\frac{10K}{13}$ , οπότε τα πόδια είναι $2\times K + 4 \times \frac{10K}{13} =990$ . Λύνοντας είναι K=195

και λοιπά.

#6

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 11:44 am

Άσκηση 4: Σίγουρα το $\frac{23}{30} = \frac{57}{78}$ είναι λανθασμένο. Όμως, αν ο ίδιος θετικός ακέραιος αφαιρεθεί από κάθε ένα από τους και , τότε θα είναι σωστό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός που πρέπει να αφαιρεθεί;

Μάλλον ξέφυγε στους εξεταστές η άσκηση μια και είναι απλή, και λύνεται χωρίς φαντασία.

Δεν έχουμε παρά να ελέγξουμε ποια από τις ισότητες $\displaystyle{\frac{23-1}{30-1} = \frac{57-1}{78-1}}$ , $\displaystyle{\frac{23-2}{30-2} = \frac{57-2}{78-2}}$ , ... είναι σωστή. θα βρούμε ότι είναι η έκτη στην σειρά, $\displaystyle{\frac{23-6}{30-6} = \frac{57-6}{78-6}}$ . Εδώ τα δύο κλάσματα είναι $\displaystyle{\frac{17}{24} = \frac{51}{72}= \frac{17\times 3 }{24\times 3}}$

IMC Stage II 2014

IMC Stage II 2014

Re: IMC Stage II 2014

Re: IMC Stage II 2014

Re: IMC Stage II 2014

Re: IMC Stage II 2014

Re: IMC Stage II 2014

Μέλη σε σύνδεση