EGMO 2018/3
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
EGMO 2018/3
Οι διαγωνιζόμενες σε μία EGMO, ονομάζονται . Μετά το διαγωνισμό μπαίνουν στην ουρά η μια πίσω από την άλλη, έξω από το εστιατόριο σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες.
Το συμβούλιο των Κριτών επιλέγει μια αρχική διάταξη των διαγωνιζομένων στην ουρά.
Κάθε λεπτό το συμβούλιο επιλέγει έναν ακέραιο με .
- Αν η διαγωνιζόμενη έχει μπροστά της τουλάχιστον σε πλήθος άλλες διαγωνιζόμενες, τότε πληρώνει ένα Ευρώ στο συμβούλιο των Κριτών και μετακινείται προς τα εμπρός στην ουρά ακριβώς θέσεις.
- Αν η διαγωνιζόμενη έχει μπροστά της λιγότερες από σε πλήθος άλλες διαγωνιζόμενες, τότε το εστιατόριο ανοίγει και η διαδικασία τερματίζεται.
(α) Αποδείξτε πως, ανεξαρτήτως των επιλογών του Συμβουλίου των Κριτών, η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον.
(β) Για κάθε , προσδιορίστε το μέγιστο ποσό σε Ευρώ που μπορεί να εισπράξει το Συμβούλιο των Κριτών, μετά από κατάλληλη επιλογή της αρχικής διάταξης στην ουρά και της ακολουθίας των κινήσεων (δηλαδή τις επιλογές των ακεραίων ).
Το συμβούλιο των Κριτών επιλέγει μια αρχική διάταξη των διαγωνιζομένων στην ουρά.
Κάθε λεπτό το συμβούλιο επιλέγει έναν ακέραιο με .
- Αν η διαγωνιζόμενη έχει μπροστά της τουλάχιστον σε πλήθος άλλες διαγωνιζόμενες, τότε πληρώνει ένα Ευρώ στο συμβούλιο των Κριτών και μετακινείται προς τα εμπρός στην ουρά ακριβώς θέσεις.
- Αν η διαγωνιζόμενη έχει μπροστά της λιγότερες από σε πλήθος άλλες διαγωνιζόμενες, τότε το εστιατόριο ανοίγει και η διαδικασία τερματίζεται.
(α) Αποδείξτε πως, ανεξαρτήτως των επιλογών του Συμβουλίου των Κριτών, η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον.
(β) Για κάθε , προσδιορίστε το μέγιστο ποσό σε Ευρώ που μπορεί να εισπράξει το Συμβούλιο των Κριτών, μετά από κατάλληλη επιλογή της αρχικής διάταξης στην ουρά και της ακολουθίας των κινήσεων (δηλαδή τις επιλογές των ακεραίων ).
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2018/1/3
Ας γράψω για τον μέγιστο αριθμό φορών που μπορεί επιτροπή να επιλέξει το και η να μετακινηθεί μπροστά.
Παρατηρούμε ότι όταν γίνεται αυτό, η έχει μπροστά της τουλάχιστον άλλες κοπέλες, και άρα και τουλάχιστον μία κοπέλα με .
Όμως η κοπέλα μπορεί να περάσει την κοπέλα το πολύ φορές. (Μία αν ξεκίνησε πιο πίσω, και ακόμη μία για κάθε φορά που η περνά την .)
Πρέπει λοιπόν και .
Επαγωγικά τώρα είναι απλό ότι . (Με επαγωγή στο .)
Άρα θα γίνουν το πολύ προσπεράσματα.
Αυτό μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
Ξεκινάμε από την διάταξη . Επαγωγικά (οι περιπτώσεις είναι προφανείς) μπορούμε να καταλήξουμε στην κάνοντας προσπεράσματα. Μετά επιλέγουμε διαδοχικά τους για να καταλήξουμε στην διάταξη . Μετά μπορούμε να κάνουμε επαγωγικά άλλες κινήσεις.
Συνολικά καταφέραμε να κάνουμε κινήσεις.
Άρα το μέγιστο ποσό που μπορούν να πάρουν οι κριτές είναι ευρώ.
Παρατηρούμε ότι όταν γίνεται αυτό, η έχει μπροστά της τουλάχιστον άλλες κοπέλες, και άρα και τουλάχιστον μία κοπέλα με .
Όμως η κοπέλα μπορεί να περάσει την κοπέλα το πολύ φορές. (Μία αν ξεκίνησε πιο πίσω, και ακόμη μία για κάθε φορά που η περνά την .)
Πρέπει λοιπόν και .
Επαγωγικά τώρα είναι απλό ότι . (Με επαγωγή στο .)
Άρα θα γίνουν το πολύ προσπεράσματα.
Αυτό μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
Ξεκινάμε από την διάταξη . Επαγωγικά (οι περιπτώσεις είναι προφανείς) μπορούμε να καταλήξουμε στην κάνοντας προσπεράσματα. Μετά επιλέγουμε διαδοχικά τους για να καταλήξουμε στην διάταξη . Μετά μπορούμε να κάνουμε επαγωγικά άλλες κινήσεις.
Συνολικά καταφέραμε να κάνουμε κινήσεις.
Άρα το μέγιστο ποσό που μπορούν να πάρουν οι κριτές είναι ευρώ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 19 επισκέπτες