Πολύχρωμο πασχαλινό αυγό

[Al.Koutsouridis]

Η Αναστασία έβαψε ένα σφαιροειδές αυγό χρησιμοποιώντας πέντε χρώματα, βουτώντας το με την σειρά σε ένα ποτήρι με την κάθε βαφή, ώστε να βαφτεί ακριβώς το μισό της επιφάνειάς του (ημισφαίριο) κάθε φορά. Ως αποτέλεσμα το αυγό βάφτηκε πλήρως. Να αποδείξετε, ότι μια από τις βαφές ήταν περιττή, δηλαδή εάν η Αναστασία δεν χρησιμοποιούσε αυτή την βαφή και στις υπόλοιπες το βουτούσε όπως και πριν, τότε αυτό ούτως ή άλλως θα βαφόταν πλήρως.


Υγ. Το πρόβλημα είναι το 5ο της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη από την φετινή ολυμπιάδα της Μόσχας. Κάποια άλλη στιγμή θα προσπαθήσω να ανεβάσω και τα υπόλοιπα.

[Ανδρέας Πούλος]

Χωρίζουμε τη σφαίρα σε τέσσερα ίσα μέρη τα οποία ορίζονται από δύο μέγιστους κύκλους
που τα επίπεδά τους είναι κάθετα μεταξύ τους. Τα μέρη αυτά τα ονομάζουμε 1, 2, 3, 4 αντίστοιχα
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.
Σε κάθε βούτηγμα του σφαιρικού αυγού σε κάποιο χρώμα για να καλυφθεί η μισή του επιφάνεια
έχουμε τέσσερεις δυνατές περιπτώσεις τις (1, 2) (1,4) (2, 3) (3,4).
Φυσικά, μπορούμε και με δύο φορές να βάψουμε το αυγό π.χ. (1,2) και (3,4).
Στη χειρότερη περίπτωση απαιτούνται 4 βαφές δηλαδή οι παραπάνω περιπτώσεις.
Άρα, μια πέμπτη βαφή είναι περιττή.

σφαίρα.png (6.06 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

[Al.Koutsouridis]

Χωρίζουμε τη σφαίρα σε τέσσερα ίσα μέρη τα οποία ορίζονται από δύο μέγιστους κύκλους
που τα επίπεδά τους είναι κάθετα μεταξύ τους. Τα μέρη αυτά τα ονομάζουμε 1, 2, 3, 4 αντίστοιχα
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.
Σε κάθε βούτηγμα του σφαιρικού αυγού σε κάποιο χρώμα για να καλυφθεί η μισή του επιφάνεια
έχουμε τέσσερεις δυνατές περιπτώσεις τις (1, 2) (1,4) (2, 3) (3,4).
Φυσικά, μπορούμε και με δύο φορές να βάψουμε το αυγό π.χ. (1,2) και (3,4).
Στη χειρότερη περίπτωση απαιτούνται 4 βαφές δηλαδή οι παραπάνω περιπτώσεις.
Άρα, μια πέμπτη βαφή είναι περιττή.
σφαίρα.png

Καλησπέρα κ.Ανδρέα,

Στην παραπάνω θεωρήση νομίζω υποθέτετε ότι το αυγό το περίστρέφουμε κατα 90 μοίρες γύρο από τους μεγιστους κύκλους που αναφέρετε και μετά το βουτάμε. Κάτι τέτοιο όμως δεν προκύπτει από την εκφώνηση.

[Al.Koutsouridis]

Χριστός Ανέστη!

Επαναφορά για το πασχαλινό τραπέζι .

[rek2]

Χριστός Ανέστη!

Επαναφορά για το πασχαλινό τραπέζι .

Χρόνια Πολλά! Χριστός ανέστη!!


Δεν αρκούν δύο χρώματα; Δύο ημισφαίρια , δύο χρώματα...

[Mihalis_Lambrou]

Δεν αρκούν δύο χρώματα; Δύο ημισφαίρια , δύο χρώματα...

Κώστα και Ανδρέα, ίσως δεν είναι σαφές από την εκφώνηση αλλά αυτό που λέει ή άσκηση είναι το εξής:

Η Αναστασία έβαψε την σφαίρα με πέντε χρώματα, με τον τρόπο που περιγράφει η άσκηση. Η φίλη της η μάγισσα έχει ένα τρόπο να αφαιρεί ένα από τα χρώματα, χωρίς να βλάψει τα υπόλοιπα. Δείξτε ότι η μάγισσα μπορεί να επιλέξει ένα από τα χρώματα το οποίο θα αφαιρέσει, αλλά η σφαίρα θα παραμείνει εξ ολοκλήρου βαμμένη.

[Al.Koutsouridis]

Χρόνια Πολλά! Χριστός ανέστη!!

Δεν αρκούν δύο χρώματα; Δύο ημισφαίρια , δύο χρώματα...

Αληθώς Ανέστη!

Αν το ερώτημα ήταν, πόσα είναι τα ελάχιστα δυνατά βουτήματα, τότε ναι, αν βουτούσαμε το ένα ημισφαίριο (νότιο) και μετά το άλλο (βόρειο) θα βαφόταν το αυγό πλήρως. Όμως το πρόβλημα δεν ζητάει αυτό.

Ας φανταστούμε ότι αρχικά βάφουμε το ημισφαίριο από το μεσημβρινό μέχρι τον , ύστερα το ημισφαίριο από τον μεσημβρινό έως , ύστερα από έως , την τέταρτη φορά από το έως και τέλος την πέμτη φορά από τον μεσημβρινό έως . Το αυγό έχει βαφτεί πλήρως με αυτήν την διαδικασία.

Αυτό που ισχυρίζεται το πρόβλημα είναι, ότι μια από αυτές τις βαφές ήταν περιττή. Πράματι αν δεν κάναμε την δεύτερη βαφή από τον μεσημβρινό έως , το αβγό θα βαφόταν πλήρως και από τα υπόλοιπα βουτήματα.

Το παραπάνω ήταν μια ειδική περίπτωση, βάψαμε κατά την "φορά" των μεσημβρινών και με συγκεκριμένα "βήματα". Ισχυριζόμαστε, ότι όπως και να γίνουν οι βαφές, οποιαδήποτε ημισφαίρια και αν βουτάμε, μία τουλάχιστον θα είναι περιττή.

Edit: Τώρα πρόσεξα ότι απάντησε και ο κ.Λάμπρου.

[Demetres]

Θεωρούμε ότι οι βαφές μας μπαίνουν και μέσα στο αυγό.

Για το χρώμα έστω το κομμάτι του αυγού που δεν πήρε το χρώμα . Αν δεν ισχύει το ζητούμενο, δηλαδή αν η τομή κάθε τεσσάρων από τα είναι μη κενή, τότε από το θεώρημα Helly η τομή και των πέντε είναι μη κενή, δηλαδή δεν είχαμε χρωματίσει όλα το αυγό στην αρχή, άτοπο.

Δεν γνωρίζω αν θα έπρεπε να επικαλεστούμε το θεώρημα ή να το αποδείξουμε σε αυτήν την ειδική περίπτωση.

[KDORTSI]

Καλημέρα, Καλό Πάσχα και Χρόνια Πολλά!!

Πασχαλιά 2020.png (72.46 KiB) Προβλήθηκε 1450 φορές

Μικρό σχόλιο:
Το ανωτέρω σχήμα δεν είναι τυχαία φωτογραφία.
Είναι ένας κύλινδρος, δύο ελλειψοειδή, μια έλικα και
μερικές καμπύλες επί της επιφάνειας του ενός ελλειψοειδούς!

Αν θέλετε να δείτε την πασχαλιάτικη λαμπάδα να "καίει" τότε
επισκεφθείτε το συνημμένο αρχείο.

Πασχαλιάτικη λαμπάδα 1.ggb

(13.64 KiB) Μεταφορτώθηκε 35 φορές

ΥΓ. Η σχέση του μηνύματός μου είναι καθαρά για τις πασχαλιάτικες ευχές!!

Κώστας Δόρτσιος

[Al.Koutsouridis]

Θεωρούμε ότι οι βαφές μας μπαίνουν και μέσα στο αυγό.

Για το χρώμα έστω το κομμάτι του αυγού που δεν πήρε το χρώμα . Αν δεν ισχύει το ζητούμενο, δηλαδή αν η τομή κάθε τεσσάρων από τα είναι μη κενή, τότε από το θεώρημα Helly η τομή και των πέντε είναι μη κενή, δηλαδή δεν είχαμε χρωματίσει όλα το αυγό στην αρχή, άτοπο.

Δεν γνωρίζω αν θα έπρεπε να επικαλεστούμε το θεώρημα ή να το αποδείξουμε σε αυτήν την ειδική περίπτωση.

Ωραία η αναγωγή στο θεώρημα Helly, θεωρώντας τα μη βαμμένα ημισφαίρια. Για την χρήση του θεωρήματος χωρίς απόδειξη, σε αυτή την ειδική περίπτωση, δε ξέρω. Εικάζω πρέπει να αποδειχτεί. Αν και το θεώρημα Helly, τουλάχιστον στην δισδιάστατη εκδοχή του, είναι ένα αρκετά δημοφιλές θέμα στους μαθηματικούς ομίλους. Να σημειώσουμε ότι οι επίσημες λύσεις πρέπει να είναι πάντα "σχολικές", αν εξαιρέσει κανείς θέματα όπως μαθηματική επαγωγή.

Έχω δει σε άλλα προβλήματα να αναφέρεται ρητά, ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη. Για παράδειγμα στο πρόβλημα 8, 10/11ης τάξης της ολυμπιάδας του λυκείου 237 για το 2018, η εκφώνηση ήταν διατυπωμένη ως εξής:

"Ο γράφος με την αφαίρεση οποιασδήποτε κορυφής του γίνεται επίπεδος. Να αποδείξεται ότι οι κορυφές του δέχονται χρωματισμό. (Χρήση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων χωρίς απόδειξη δεν επιτρέπεται!)"

Βέβαια ρητή αναφορά στη μη χρήση του θεωρήματος Helly έδώ, θα ήταν περισσότερο υπόδειξη.

[Al.Koutsouridis]

Μεγάλη Πέμπτη σήμερα και ως γνωστό είναι η μέρα, που κατά παράδοση, βάφουμε τα αυγά (και φτιάχνουμε τα τσουρέκια). Αρπάζω λοιπόν την ευκαιρία να μεταφέρω την επίσημη λύση στο πρόβλημα και το σχόλιο που την συνοδεύει, μιας και σχετίζεται με την λύση του Δημήτρη παραπάνω.

Λύση. Έστω το κέντρο της βαμμένης σφαίρας και έστω τα ημισφαίρια, βαμμένα με το στο χρώμα, . Έστω το μέσο (πόλος) του ημισφαίριου : και το επίπεδο, που διέρχεται από το κύκλο της βάσης του ημισφαίριου , είναι κάθετο στο διάνυσμα .

Το κυρτό περίβλημα των σημείων είναι το κυρτό πολύεδρο με κορυφές τα . Θα δείξουμε, ότι αυτό το πολύεδρο περιέχει το σημείο . Πράγματι, αν , τότε θα βρεθεί ένα τέτοιο επίπεδο , που διέρχεται από το , ώστε το να βρίσκεται αυστηρά στο εσωτερικό ενός εκ των ημιχώρων, στα οποία το διαιρεί τον χώρο. Τότε για ένα σημείο , που βρίσκεται στο άλλο ημιχώρο και τέτοιο, ώστε , όλα τα εσωτερικά γινόμενα είναι αρνητικά, από όπου συμπεραίνουμε ότι το σημείο δεν ανήκει σε κανένα ημισφαίριο και άρα, δεν είναι βαμμένο.

Το γεγονός με την σειρά του σημαίνει, ότι το ανήκει σε ένα από τα τετράεδρα, που σχηματίζονται με κάποια τέσσερα σημεία εκ των (ΤΟ είναι η ένωση τέτοιων τετράεδρων). Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, το σημείο ανήκει στο τετράεδρο με κορυφές τα . Αυτό σημαίνει, ότι η σφαίρα είναι βαμμένη με τα πρώτα τέσσερα χρώματα: αν και για , τότε για όλα τα , δηλαδή όλο το τετράεδρο βρίσκεται αυστηρά στο ίδιο ημιχώρο σε σχέση με το επίπεδο, που διέρχεται από το κάθετα στο διάνυσμα και δεν μπορεί να περιέχει το σημείο .

Σχόλιο συντάκτη. Η απόδειξη, ότι το σημείο εσωτερικό του πολύεδρου πράγματι βρίσκεται σε ένα από τα υποδειχθείσα τετράεδρα, μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω ημιευθεία, με αρχή το σημείο που διέρχεται από το σημείο , τέμνει την επιφάνεια του τετράεδρου στο σημείο . Εφόσον το σημείο βρίσκεται σε μια από τις έδρες του πολύεδρου, θα ανήκει σε ένα τρίγωνο με κορυφές κάποια τρία από τα αρχικά σημεία, Επομένως, το σημείο ανήκει στο τετράεδρο . (Ο ισχυρισμός αυτός είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος Καραθεωδωρή για το κυρτό περίβλημα: οποιοδήποτε σημείο του διάστατου χώρου, που ανήκει στο κυρτό περίβλημα μερικών σημείων, θα ανήκει στο κυρτό περίβλημα το πολύ εξ αυτών των σημείων.)

Πηγή