Άσκηση με πολυώνυμα

panagiotis iliopoulos · #1

Έστω

τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω

ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: P(a)=b

,

. (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)

Datis-Kalali · #2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:27 pm
Έστω τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: , , . (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)

Έστω ότι υπάχει τέτοια πολυώνυμα, είναι γνωστό ότι
$a-b \vert P(a)-P(b)$ , $b-c \vert P(b)-P(c)$ και $c-a\vert P(c)-P(a)$ , δηλαδη
$a-b\vert b-c$ , $b-c \vert c-a$ και $c-a \vert a-b$
Έτσι c-a=a-b

,

και

δηλαδή

, άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν τέτιοια πολυώνυμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Datis-Kalali έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:43 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:27 pm
Έστω τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: , , . (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)
Έστω ότι υπάχει τέτοια πολυώνυμα, είναι γνωστό ότι
$a-b \vert P(a)-P(b)$ , $b-c \vert P(b)-P(c)$ και $c-a\vert P(c)-P(a)$ , δηλαδη
$a-b\vert b-c$ , $b-c \vert c-a$ και $c-a \vert a-b$
Έτσι , και δηλαδή , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν τέτιοια πολυώνυμα

Θέλει λίγη δουλεία ακόμα.

Εκείνο που βγαίνει είναι ότι $a-b=+_{-}1,b-c=+_{-}1,c-a=+_{-}1$

Συμπλήρωμα.
το παραπάνω που έγραψα δεν είναι σωστό.

το σωστό είναι

Από την $a-b\vert b-c,b-c\vert c-a,c-a\vert a-b$

προκύπτει ότι

$\left | a-b \right |=\left | b-c \right |=\left | c-a \right |$

θεωρώντας μια διάταξη των a,b,c

προκύπτει

Άσκηση με πολυώνυμα

Άσκηση με πολυώνυμα

Re: Άσκηση με πολυώνυμα

Re: Άσκηση με πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση