Συνδυαστική στα πολυώνυμα

panagiotis iliopoulos · #1

Ένα πολυώνυμο P(x)

n-οστού βαθμού ικανοποιεί τη συνθήκη $P(k)=2^{k}$ για k=0,1,2,....,n.

Βρείτε το

.

#2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 8:35 pm
Ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού ικανοποιεί τη συνθήκη $P(k)=2^{k}$ για
Βρείτε το .

H άσκηση είναι κλασική, και σίγουρα την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Γράφω την κύρια ιδέα:

Από τους γνωστούς τύπους των διωνυμικών συντελεστών $\binom {k}{0}+ \binom {k}{1} +...+\binom {k}{k} =2^k$

εύκολα βλέπουμε ότι το

$\displaystyle{P(x) = 1 + x + \frac {x(x-1)}{2!}+ ... + \frac {x(x-1)(x-2)...(x-(n-1))}{n!}}$

ικανοποιεί τις $P(k)=2^{k}$ για k=0,1,2,....,n

. Ως βαθμού

είναι μοναδικό. Και λοιπά.

Παναγιώτη: Πολύ ωραίες οι ασκήσεις που βάζεις και με χαρά θέλουμε να σε ενθαρρύνουμε να ασχολείσαι με αυτές γιατί είναι ασκήσεις πολύ πέρα από την ηλικία σου. 'Ομως να υπενθυμίσω ότι στο φόρουμ βάζουμε μόνο ασκήσεις των οποίων ξέρουμε την λύση (εκτός αν το δηλώσουμε ρητά).

Τσιαλας Νικολαος · #3

Κύριε Μιχάλη καλησπέρα. Νομίζω ότι έχει την λύση μιας και το "μαρτυράει" από την ονομασία του θέματος!

AlexandrosG · #4

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 8:35 pm
Ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού ικανοποιεί τη συνθήκη $P(k)=2^{k}$ για
Βρείτε το .

Μια άλλη λύση. Ένα πολυώνυμου βαθμού

καθορίζεται πλήρως από n+1

τιμές του και μάλιστα από το θεώρημα παρεμβολής του Lagrange έχουμε και τύπο. Άμα το χρησιμοποιήσουμε στο πρόβλημα μας παίρνουμε $\displaystyle{P(x)=\sum_{i=0}^n2^i\frac{\prod_{j\neq i}(x-j)}{\prod_{j\neq i}(i-j)}.}$

Υπολογίζουμε τώρα το P(n+1)

. Έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} P(n+1) & =\sum_{i=0}^n2^i\frac{\prod_{j\neq i}(n+1-j)}{\prod_{j\neq i}(i-j)} \\ & = \sum_{i=0}^n2^i\frac{\prod_{j=0}^n(n+1-j)}{\prod_{j\neq i}(i-j)(n+1-i)} \\& = \sum_{i=0}^n2^i\frac{(n+1-0)(n+1-1)...(n+1-n)}{(i-0)(i-1)...(i-(i-1))(i-(i+1))...(i-n)(n+1-i)}\\ & = \sum_{i=0}^n2^i\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!(-1)^{n-i}} \\ &= \sum_{i=0}^n2^i(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i} \\ &=-\sum_{i=0}^{n+1}2^i(-1)^{n+1-i}\binom{n+1}{i}+2^{n+1}\\&=-(2-1)^{n+1}+2^{n+1}\\&=2^{n+1}-1\\ \end{aligned}}$

Στην παραπροτελευταία ισότητα προσθέσαμε και αφαιρέσαμε τον όρο που αντιστοιχεί στο i=n+1

για να απλοποιήσουμε το άθροισμα με το διωνυμικό θεώρημα.

Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Re: Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Re: Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Re: Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση