Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλους τους ακέραιους , για τους οποίους ο αριθμός (ο αριθμός με βάση το ) είναι τέλειο τετράγωνο.
Πρόβλημα 2
Δίνεται τραπέζιο με και . Αν το μέσον της πλευράς και τα περίκεντρα των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου είναι εξαπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου .
Πρόβλημα 3
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες , για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Πρόβλημα 4
Έστω ένα σύνολο διαδοχικών θετικών ακεραίων και μία μετάθεση των στοιχείων του .
(α) Να αποδείξετε ότι:
(β) Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , έτσι ώστε το τετράγωνο να μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια που ανά δύο να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και τα μήκη και πλάτη τους να σχηματίζουν την ακολουθία .
Να βρείτε όλους τους ακέραιους , για τους οποίους ο αριθμός (ο αριθμός με βάση το ) είναι τέλειο τετράγωνο.
Πρόβλημα 2
Δίνεται τραπέζιο με και . Αν το μέσον της πλευράς και τα περίκεντρα των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου είναι εξαπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου .
Πρόβλημα 3
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες , για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Πρόβλημα 4
Έστω ένα σύνολο διαδοχικών θετικών ακεραίων και μία μετάθεση των στοιχείων του .
(α) Να αποδείξετε ότι:
(β) Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , έτσι ώστε το τετράγωνο να μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια που ανά δύο να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και τα μήκη και πλάτη τους να σχηματίζουν την ακολουθία .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Στην πραγματικότητα πρέπει να λύσουμε τη διοφαντική:
, με θετικοί ακέραιοι.
Έστω .
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Αν άρτιος τότε παρατηρούμε πως:
Άρα το είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνο, άτοπο.
Αν περιττός τότε παρατηρούμε πως:
, καθώς για είναι
Άρα το είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνο, άτοπο.
Οι περιπτώσεις και δίνουν (άτοπο) και (εγκρίνεται). Άρα μοναδική περίπτωση είναι .
Houston, we have a problem!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Επειδή είναι το μέσο του θα είναι Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι:
Έστω οι ακτίνες των κύκλων Τότε λόγω των γωνιών των θα είναι
κι επειδή θα είναι:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Για το 3:
Θέτω:
Τότε:
Αρα:
Ομως .
Ισότητα για
Θέτω:
Τότε:
Αρα:
Ομως .
Ισότητα για
Κώστας
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Όμορφο πρόβλημα!Soteris έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 1:07 pmΠρόβλημα 4
Έστω ένα σύνολο διαδοχικών θετικών ακεραίων και μία μετάθεση των στοιχείων του .
(α) Να αποδείξετε ότι:
(β) Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο , έτσι ώστε το τετράγωνο να μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια που ανά δύο να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και τα μήκη και πλάτη τους να σχηματίζουν την ακολουθία .
(α) Θα κάνω την απόδειξη με ισχυρή επαγωγή στο ήμισυ του πλήθους των στοιχείων του . Για ευκολία θα συμβολίζω με το .
Για δηλαδή με ο ισχυρισμός προφανώς ισχύει (δοκιμάζουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς και όλοι είναι μικρότεροι του )
Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο ισχυρισμός ισχύει όταν με . Τότε για οποιαδήποτε μετάθεση των στοιχείων του θα ισχύει ότι
Θα κάνουμε την απόδειξη όταν δηλαδή αποδεικνύοντας ότι για οποιαδήποτε μετάθεση των στοιχείων του ισχύει
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Κάποιο εκ των γινομένων που εμφανίζονται στο παραπάνω άθροισμα, ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας το , είναι ίσο με . Τότε
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κάποιο είναι ίσο με , ας υποθέσουμε και κάποιο ίσο με , ας υποθέσουμε και τα δεν εμφανίζονται στο ίδιο γινόμενο. Τότε έχουμε διαδοχικά:
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
(β) To άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων είναι ίσο με όπου μία μετάθεση των και από την άλλη πρέπει να είναι ίσο με το εμβαδό του τετραγώνου δηλαδή .
Συνεπώς από το (α) ερώτημα έχουμε
Άρα κι επειδή άρα . Μένει να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο διαστάσεων που να χωρίζεται σε ορθογώνια όπως ορίζει η εκφώνηση. Η κατασκευή φαίνεται παρακάτω κι έτσι η μέγιστη τιμή του είναι το .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες