Εξίσωση με τρεις αγνώστους

#1

Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{108(a^3 +b^3 +c^2)=108(2ab+c)-59}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 04, 2018 7:15 am
Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{108(a^3 +b^3 +c^2)=108(2ab+c)-59}$

Μία λύση για αυτό,

Την γράφουμε στην μορφή $\rm 108c^2-108c+108(a^3+b^3)-216ab+59=0$ .

Πρέπει η διακρίνουσα να είναι $\geq 0$ οπότε:

$\rm 108^2-4\cdot 108(108(a^3+b^3)-216ab+59)\geq 0\Leftrightarrow 27(a^3+b^3)-54ab+8\leq 0 \Leftrightarrow$
$\rm \Leftrightarrow 27(a^3+b^3-2ab)+8\leq 0$
Όμως αφού $\rm a,b>0$ από $\rm AM-GM$ είναι $\rm a^3+b^3+\dfrac{8}{27}\geq 3\sqrt[3]{\rm a^3b^3\dfrac{8}{27}}=2ab \Leftrightarrow 27(a^3+b^3-2ab)+8\geq 0$

Επομένως πρέπει να ισχύει η ισότητα ,αυτό συμβαίνει όταν $\rm a^3=b^3=\dfrac{8}{27}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{2}{3}$ .
Τότε η διακρίνουσα θα ισούται με

οπότε $\rm c=\dfrac{108}{2\cdot 108}=\dfrac{1}{2}$

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση