Εξίσωση με τρεις αγνώστους

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Εξίσωση με τρεις αγνώστους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μαρ 04, 2018 7:15 am

Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle{108(a^3 +b^3 +c^2)=108(2ab+c)-59}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εξίσωση με τρεις αγνώστους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 25, 2020 12:15 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 7:15 am
Να βρεθούν οι θετικές λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle{108(a^3 +b^3 +c^2)=108(2ab+c)-59}
Μία λύση για αυτό,

Την γράφουμε στην μορφή \rm 108c^2-108c+108(a^3+b^3)-216ab+59=0.

Πρέπει η διακρίνουσα να είναι \geq 0 οπότε:

\rm 108^2-4\cdot 108(108(a^3+b^3)-216ab+59)\geq 0\Leftrightarrow 27(a^3+b^3)-54ab+8\leq 0 \Leftrightarrow
\rm \Leftrightarrow 27(a^3+b^3-2ab)+8\leq 0
Όμως αφού \rm a,b>0 από \rm AM-GM είναι \rm a^3+b^3+\dfrac{8}{27}\geq 3\sqrt[3]{\rm a^3b^3\dfrac{8}{27}}=2ab \Leftrightarrow 27(a^3+b^3-2ab)+8\geq 0

Επομένως πρέπει να ισχύει η ισότητα ,αυτό συμβαίνει όταν \rm a^3=b^3=\dfrac{8}{27}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{2}{3}.
Τότε η διακρίνουσα θα ισούται με 0 οπότε \rm c=\dfrac{108}{2\cdot 108}=\dfrac{1}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες