Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Πρόβλημα 1
Δίνεται η ακολουθία με και για ισχύει
.
Να αποδείξετε ότι:
(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
β) αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες είναι άρτιος.
Πρόβλημα 2
Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός , ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του και έχει ακριβώς θετικούς διαιρέτες.
Πρόβλημα 3
Δίνονται δύο κύκλοι και με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από ένα σημείο του κύκλου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο και έστω τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον . Οι ευθείες τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της ευθείας και της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Δίνονται σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν από αυτά, έστω , τέτοια ώστε να ισχύει
για κάθε με .
Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.
Δίνεται η ακολουθία με και για ισχύει
.
Να αποδείξετε ότι:
(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
β) αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες είναι άρτιος.
Πρόβλημα 2
Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός , ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του και έχει ακριβώς θετικούς διαιρέτες.
Πρόβλημα 3
Δίνονται δύο κύκλοι και με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από ένα σημείο του κύκλου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο και έστω τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον . Οι ευθείες τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της ευθείας και της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Δίνονται σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν από αυτά, έστω , τέτοια ώστε να ισχύει
για κάθε με .
Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Ωραία ασκησούλα. Μάλλον κανείς δεν θα είχε πρόβλημα να την λύσει.
Γράφουμε την ανάλυσή του σε πρώτους. Τότε ο κάνει την δουλειά. καθώς
α) Είναι πολλαπλάσιο του αφού και όμοια για τους υπόλοιπους παράγοντες του (άμεσο από Bernoulli: ). Επίσης,
β) το πλήθος των διαιρετών είναι με χρήση του τύπου ότι το πλήθος των διαιρετών του είναι .
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Πρέπει η να είναι εφαπτόμενη του . Επομένως αρκεί το τετράπλευρο να είναι αρμονικό, καθώς σε αυτή την περίπτωση από γνωστό λήμμα θα ξέρουμε πως οι εφαπτόμενες από το και το θα τέμνονται πάνω στην .Soteris έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pmΠρόβλημα 3
Δίνονται δύο κύκλοι και με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από ένα σημείο του κύκλου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο και έστω τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον . Οι ευθείες τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της ευθείας και της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Έστω ότι η τέμνει τον ξανά στο σημείο . Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο είναι αρμονικό, καθώς οι εφαπτόμενες από το και στον τέμνονται πάνω στην (δηλαδή στο ).
Τέλος παρατηρούμε πως μια ομοιοθεσία και μια στροφή (αυτό λέγεται ομοιότητα) με κέντρο το μεταφέρει τον στον και αντίστροφα.
Με αυτό τον μετασχηματισμό το πάει στο , το πάει στο και το πάει στο .
Σύμφωνα λοιπόν με τις ιδιότητες της ομοιότητας τα τετράπλευρα και είναι όμοια. Άρα αφού το είναι αρμονικό, είναι και το .
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
α)
Θα το αποδείξουμε με επαγωγή:
Για είναι και για είναι
Έστω ότι μέχρι κάποιο ισχύει ότι:
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
Έχουμε:
1η περίπτωση, αν τότε:
Αν το είναι άρτιος, έστω έχουμε:
Αν το είναι περιττός, έστω έχουμε:
Άρα
2η περίπτωση, αν τότε:
Αν το είναι άρτιος, έστω έχουμε:
Αν το είναι περιττός, έστω έχουμε:
Άρα
Επομένως η επαγωγή ολοκληρώθηκε.
β)
Αν και οι δύο δείκτες είναι άρτιοι, έστω έχουμε:
Αν ο ένας δείκτης είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι έχουμε:
Αν και οι δύο δείκτες είναι περιττοί, έστω έχουμε:
Άρα
Επομένως, από όλες αυτές τις περιπτώσεις, προκύπτει το ζητούμενο.
Houston, we have a problem!
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Αυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.Soteris έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 3
Δίνονται δύο κύκλοι και με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από ένα σημείο του κύκλου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο και έστω τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον . Οι ευθείες τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της ευθείας και της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
To επιχείρημα στη σελίδα 77 εδώ δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. https://users.renyi.hu/~p_erdos/1972-09.pdf
Να σημειώσω ότι το 2010 αποδείχθηκε από τους Fox, Lee, Sudakov ότι αν έχουμε μια οικογένεια με σύνολα, τότε μπορούμε να βρούμε υποοικογένεια από σύνολα με την ιδιότητα η ένωση οποιονδήποτε δύο συνόλων της υποοικογένειας να μην ανήκει στην υποοικογένεια. Το αποτέλεσμα αυτό είναι βέλτιστο.
http://math.mit.edu/~cb_lee/resource/union-free.pdf
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018
Από ό,τι βλέπω κι εγώ, πράγματι είναι η άσκηση αυτή! Βέβαια η λύση που έδωσα είναι διαφορετική.silouan έγραψε: ↑Δευ Φεβ 26, 2018 12:26 amΑυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.Soteris έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 3
Δίνονται δύο κύκλοι και με , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από ένα σημείο του κύκλου που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο και έστω τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον . Οι ευθείες τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής της ευθείας και της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες