IMC Stage-II 2015

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τρί Φεβ 20, 2018 2:00 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Φεβ 19, 2018 11:31 am
Μπήκαν οι ασκήσεις 11 και 12

\rule{500pt}{0.7pt}

Για την άσκηση 10 σκεφτόμαστε ως εξής:

Ο αριθμός 2015 αφήνει υπόλοιπο 2+0+1+5 = 8 όταν διαιρεθεί με το 9. Αν κάθε ένας από τους τέσσερις αριθμούς αφήνει υπόλοιπο d, τότε πρέπει ο 4d-8 = 4(d-2) να είναι πολλαπλάσιος του 9. Πρέπει λοιπόν d=2.

Άρα τα δυνατά αθροίσματα είναι 2,11,20,29,\ldots

Από 29 και πάνω απορρίπτονται αφού το μέγιστο άθροισμα που μπορούμε να έχουμε είναι 27. Το 2 επίσης απορρίπτεται αφού ο μέγιστος τριψήφιος αριθμός που μπορούμε να γράψουμε είναι το 200, οπότε το συνολικό άθροισμα των αριθμών είναι το πολύ 800.

Τέλος για τα 11 και 20 βρίσκουμε παραδείγματα με δοκιμές.
Έχω μία απορία. :?: Γιατί επιλέγουμε το 9 για να διαιρέσουμε το 2015;
Επίσης γιατί το υπόλοιπο d είναι το άθροισμα των ψηφίων;

Ευχαριστώ



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 20, 2018 4:07 pm

Filippos Athos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 2:00 pm

Έχω μία απορία. :?: Γιατί επιλέγουμε το 9 για να διαιρέσουμε το 2015;
Επίσης γιατί το υπόλοιπο d είναι το άθροισμα των ψηφίων;

Ευχαριστώ
Όταν έχουμε αθροίσματα ψηφίων, τότε βολεύει να δούμε την διαιρετότητα με το 9. Ο λόγος είναι τα δύο πιο κάτω αποτελέσματα:

(α) Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Πιο γενικά ισχύει το εξής

(β) Όταν ένας αριθμός διαιρεθεί με το 9, αφήνει το ίδιο υπόλοιπο όπως και όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρεθεί με το 9.

Π.χ. το υπόλοιπο της διαίρεσης του 839748931021 με το 9 είναι το ίδιο με το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8+3+9+7+4+8+9+3+1+0+2+1 με το 9. Επειδή 8+3+9+7+4+8+9+3+1+0+2+1= 55 και 5+5 = 10, το υπόλοιπο της διαίρεσης ισούται με 1.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Φεβ 21, 2018 4:14 pm

Άσκηση 11: Έχουμε τρεις θετικούς ακεραίους. Ο πρώτος είναι διψήφιος αριθμός ο οποίος αποτελείται από δύο ίδια ψηφία. Ο δεύτερος είναι διψήφιος αριθμός, ο οποίος αποτελείται από δύο διαφορετικά ψηφία, και του οποίου το ψηφίο των μονάδων είναι το ίδιο με αυτό του πρώτου αριθμού. Ο τρίτος είναι μονοψήφιος αριθμός, με το ψηφίο του να ισούται με το ψηφίο των δεκάδων του δεύτερου αριθμού. Ακριβώς δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι πρώτοι. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε αυτούς τους αριθμούς;

Οι αριθμοί μας είναι
\overline{AA}
\overline{BA} και
\overline{B}
Για το A=1 το
\overline{AA}=11 \rightarrow πρώτος, τότε B\in (2,4,5,6), εδώ έχουμε 4 επιλογές.

Το A\neq 2,4,5,6,8 γατί πάντα θα βγάινει το πολύ 1 πρώτος αριθμός

Για το A=3\rightarrow \overline{AA}=33 που είναι σύνθετος, τότε B\in (2,5,7), εδώ έχουμε 3 επιλογές.
Για το A=7\rightarrow \overline{AA}=77 που είναι σύνθετος, τότε B=3. Μόνο 1 επιλογή
Για τοA=9\rightarrow \overline{AA}=99 που είναι σύνθετος, τότεB\in (2,5,7). Έχουμε 3 επιλογές

Συνολικά \boxed{\Sigma =4+3+1+3=11 }


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Φεβ 21, 2018 7:23 pm

Άσκηση 12: Διαιρούμε έναν θετικό ακέραιο με το 5 και καταγράφουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο. Ακολούθως διαιρούμε και πάλι τον ίδιο θετικό ακέραιο με το 3 και καταγράφουμε πάλι το πηλίκο και το υπόλοιπο. Αν οι ίδιοι αριθμοί αλλά με διαφορετική σειρά έχουν καταγραφεί, να βρεθεί το γινόμενο όλων των δυνατών τιμών του αρχικού αριθμού.

N\rightarrow ο θετικός ακέραιος αριθμός
p\rightarrow το πηλίκο
y\rightarrow το υπόλοιπο της διαίρεσης
d\rightarrow ο διαιρέτης



N=5p+y\rightarrow y=N-5p (1)

N=3y+p (2)

Από το (1) και (2) έχουμε
N=7p Αρά ο αριθμός Ν είναι το πολλαπλάσιο του 7

N\in (7,14)

Το N> 14 απορρίπτεται γιατί το y> d

Επομένως το γινόμενο όλων των δυνατών τιμών του αρχικού αριθμού ειναι \boxed{ 7\cdot 14=98}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 27, 2018 4:18 pm

Προστέθηκαν τα τελευταία προβλήματα.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Παρ Μαρ 02, 2018 7:00 pm

Άσκηση 13: Το E είναι σημείο της πλευράς AB του τετραγώνου ABCD ώστε AE = 2 EB. Το Z είναι το μέσο της πλευράς BC. Τα M και N είναι τα μέσα των DE και DZ αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του EMN ισούται με 5 \cm^2, να υπολογιστεί το εμβαδόν, σε \cm^2, του πενταγώνου MEBZN.

EDEBZ=EABCD-EAED-EDZC

EAED=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}EABCD=\frac{1}{3}EABCD

EDZC=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}EABCD=\frac{1}{4}EABCD


EDEBZ=EABCD-\frac{1}{3}EABCD-\frac{1}{4}EABCD


EDEBZ=\frac{5}{12}EABCD (1)

EEZB=\frac{1}{2}EEBC

EEBC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}EABCD=\frac{1}{6}EABCD

επομένως ΕΕΖΒ=\frac{1}{12}EABCD (2)

Από το (1) και (2)

EDEZ=\frac{4}{12}EABCD (3)

EDEZ=EDMN+EEMN+EENZ

EDEZ=5+5+10=20cm^{2}

Από το (3) έχουμε \frac{4}{12}EABCD=20cm^{2} αρά EABCD=60cm^{2} (4)

Από το (2)και (4)

EΕΖΒ=\frac{1}{12}EABCD=\frac{1}{12}\cdot 60=5cm^{2}


Και τελευταίο E MEBZN=EEMN+EENZ+EEZB
EMEBZN=\boxed{5+10+5=20cm^{2} } :jump:
Συνημμένα
ask 13 2015.png
ask 13 2015.png (29.19 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Παρ Μαρ 09, 2018 6:00 pm

Καλησπέρα,
ζητάω βοήθεια για αυτά τα τελευταία δύο προβλήματα σας παρακαλώ :helpsmilie:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 09, 2018 11:03 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:40 pm
Άσκηση 14: Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, \ldots, 12 σε τέσσερις ομάδες των τριών αριθμών, ώστε σε κάθε ομάδα το άθροισμα να είναι πολλαπλάσιο του 3;

Ας γράψουμε A = \{1,4,7,10\},B=\{2,5,8,11\},C=\{3,6,9,12\}.

Για να έχουμε τρεις αριθμούς με άθροισμα πολλαπλάσιο του 3 από που πρέπει να τους πάρουμε; Π.χ. να είναι και οι τρεις από το C. Τι άλλες επιλογές υπάρχουν;


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τρί Μαρ 13, 2018 9:07 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 11:03 pm
Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 27, 2018 6:40 pm
Άσκηση 14: Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, \ldots, 12 σε τέσσερις ομάδες των τριών αριθμών, ώστε σε κάθε ομάδα το άθροισμα να είναι πολλαπλάσιο του 3;

Ας γράψουμε A = \{1,4,7,10\},B=\{2,5,8,11\},C=\{3,6,9,12\}.

Για να έχουμε τρεις αριθμούς με άθροισμα πολλαπλάσιο του 3 από που πρέπει να τους πάρουμε; Π.χ. να είναι και οι τρεις από το C. Τι άλλες επιλογές υπάρχουν;
Νομίζω πως ΄εχω βρει τη λύση αλλά δεν είμαι σύγουρος αν είναι ο σωστός τρόπος σκέψης.
Αν επιλέξουμε τις τριάδες από τα σύνολα A, B, C ξεχωριστά έχουμε 4^{3}=64 επιλογές.

Αν επιλέξουμε τις τριάδες από τα διαφορετικά σύνολα, βλέπουμε ότι τον καθε αριθμό μιας τριάδας πρέπει να τον πάρουμε από διαφορετικό σύνολο (δηλαδή δεν γίνεται δύο αριθμοί μιας τριάδας να είναι από το ίδιο σύνολο).

Αν, για παράδειγμα, επιλέξουμε τον πρώτο αριθμό της πρώτης τριάδας από το σύνολο A, για άλλους δύο αριθμούς της ίδιας τριάδας έχουμε 4^{2}=16 επιλογές.
Για την δεύτερη τριάδα 3^{2}=9 επιλογές.
Για την τρίτη τριάδα 2^{2}=4 και
για την τέταρτη 1^{2}=1 επιλογή.

Συνολικά έχουμε 16\cdot 9\cdot 4\cdot 1 +64=576+64=640 :wink:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 15, 2018 10:59 am

Πολύ ωραία.

Δίνω και μια υπόδειξη για το τελευταίο:

Η τελεία στο πιο κάτω σχήμα είναι ο δεύτερος αριθμός. Σε ποια κουτιά μπορεί να βρίσκεται ο πρώτος αριθμός και σε ποια ο τρίτος; (Κάποια από τα κουτιά μπορεί να έχουν αριθμούς μικρότερους του 1 ή μεγαλύτερους του 19.

\begin{tikzpicture}[scale=0.6,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] 
\clip(-13.409371675224776,-1.7714112863030538) rectangle (12.735826599123058,2.5182474129149592); 
\draw [line width=1.pt] (1.,1.)-- (1.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (1.,-1.)-- (6.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (6.,-1.)-- (6.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (6.,1.)-- (1.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (7.,1.)-- (7.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (7.,-1.)-- (12.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (12.,-1.)-- (12.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (12.,1.)-- (7.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (-1.,1.)-- (-1.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (-1.,-1.)-- (-6.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (-6.,-1.)-- (-6.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (-6.,1.)-- (-1.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (-7.,1.)-- (-7.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (-7.,-1.)-- (-12.,-1.); 
\draw [line width=1.pt] (-12.,-1.)-- (-12.,1.); 
\draw [line width=1.pt] (-12.,1.)-- (-7.,1.); 
\draw (-3.66261551687496,0.12907041588214194) node[anchor=north west] {9}; 
\draw (-9.907055395483477,0.2105196316900789) node[anchor=north west] {9}; 
\draw (3.3420170426076368,0.1562201544847876) node[anchor=north west] {9}; 
\draw (9.695055875626737,0.12907041588214194) node[anchor=north west] {9}; 
\draw [fill=black] (0.,0.) circle (5.0pt); 
\end{tikzpicture}


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Πέμ Μαρ 22, 2018 4:46 pm

Άσκηση 15: Ένας αριθμός από τους 1, 2, 3, \ldots, 19 ονομάζεται ακόλουθος ενός άλλου αριθμού από τους 1, 2, 3, \ldots, 19 αν είτε ο δεύτερος αριθμός είναι μεγαλύτερος του πρώτου με διαφορά μεταξύ 10 και 18 (συμπεριλαμβανομένων) ή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ 1 και 9 (συμπεριλαμβανομένων). Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε τρεις αριθμούς από τους 1,2,3,\ldots,19 ώστε ο πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του πρώτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου;

Καλησπέρα,

Εδώ υπάρχει ένα λάθος στην μετάφραση. Ο δεύτερος πρέπει να είναι ακόλουθος του τρίτου αριθμού (όχι πρώτου όπως γράφει).
Η αγγλική έκδοση λέει ` In how many ways can we choose three numbers from 1, 2, 3, …, 19 such that the first is a follower of the second, the second is a follower of the third, and the first is also a follower of the third? `

Ας ονομάσουμε το σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο πρώτος ακόλουθος \Pi, το σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο δεύτερος ακόλουθος \Delta και σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο τρίτος T

Έχω ξεκινήσει με το δεύτερο αριθμό.

Αν \Delta =1 τότε για να πληροί τους όρους (πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του πρώτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου)
\Pi =(2,3...9) και T=(12,13...19).
Από το σύνολο \Pi το 10 πρέπει να αποκλειστεί, επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο T ο αριθμός που να είναι μεγαλύτερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ.20). Παρόμοια από το σύνολο T το 11 πρέπει να αποκλειστεί επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο \Pi ο αριθμός που να είναι μικρότερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ. 1).
Επομένως το 2 απο το σύνολο \Pi μπορεί να συνδυαστεί με 8 αριθμούς από το σύνολο T (12,13..19).
Το 3 απο το σύνολο \Pi μπορεί να συνδυαστεί με 7 αριθμούς από το σύνολο T (13, 14,..19)...και το 9 μονο 1 επιλογή (το αριθμό 19 από το σύνολο T)

Άρα για το \Delta =1 έχουμε 8+7+6+..+1=36 τρόπους.

Αν \Delta =2
\Pi =(3,4,..., 10) και T=(1,13...19)
Από το σύνολο \Pi το 11 πρέπει να αποκλειστεί, επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο T ο αριθμός που να είναι μεγαλύτερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ.21). Το 10 δεν το αποκλείσαμε επειδή πληρεί τον όρο ο πρώτος αριθμός ναείναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ 1 και 9. Στην περίπτωση μας είναι το 10 μεγαλύτερο με διαφορά 9 απο το αριθμό 1 που βρίσκεται στο σύνολο T.

Και εδώ έχουμε 8+7+6+..+1=36 τρόπους.

Επειδή το \Delta μπορέι να πάει ως 19, συνολικά έχουμε

\boxed{ 19\cdot 36=684 } τρόπους


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 23, 2018 3:46 pm

Σωστά. Απολογούμαι για το λάθος. :oops: Το διόρθωσα.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Απρ 11, 2018 12:46 pm

Γεια σας,

Θα δημοσιεύσετε μήπως και τα άλλα προβληματα των IMC Stage II;

Ευχαριστώ :trampoline:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7789
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2015

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 14, 2018 11:45 am

Συνεχίζω με του 2014 εδώ.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Σάβ Απρ 21, 2018 12:56 pm

Καλημέρα,

Θα ήθελα να ζητήσω την βοήθεια για μια άσκηση :trial1: που δόθηκε φέτος για προετοιμασιες για το IMC-Β`επιλογής της ΚΥΜΕ.

Από 100 μαθητές 80 παίζουν μπάσκετ, 85 ποδόσφαιρο, 74 τένις και 68 βόλει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μαθητών ποθ παίζει και τα 4 αθλήματα;

Ευχαριστώ :smile:


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: IMC Stage-II 2015

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 21, 2018 2:06 pm

Filippos Athos έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 12:56 pm
Καλημέρα,

Θα ήθελα να ζητήσω την βοήθεια για μια άσκηση :trial1: που δόθηκε φέτος για προετοιμασιες για το IMC-Β`επιλογής της ΚΥΜΕ.

Από 100 μαθητές 80 παίζουν μπάσκετ, 85 ποδόσφαιρο, 74 τένις και 68 βόλει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μαθητών ποθ παίζει και τα 4 αθλήματα;

Ευχαριστώ :smile:
sports.png
sports.png (4.4 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Stage-II 2015

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Σάβ Απρ 21, 2018 8:28 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 2:06 pm
Filippos Athos έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 12:56 pm
Καλημέρα,

Θα ήθελα να ζητήσω την βοήθεια για μια άσκηση :trial1: που δόθηκε φέτος για προετοιμασιες για το IMC-Β`επιλογής της ΚΥΜΕ.

Από 100 μαθητές 80 παίζουν μπάσκετ, 85 ποδόσφαιρο, 74 τένις και 68 βόλει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μαθητών ποθ παίζει και τα 4 αθλήματα;

Ευχαριστώ :smile:
sports.png
Ευχαριστώ πολύ :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Xriiiiistos και 5 επισκέπτες