Άσκηση 15: Ένας αριθμός από τους 1, 2, 3, \ldots, 19 ονομάζεται ακόλουθος ενός άλλου αριθμού από τους 1, 2, 3, \ldots, 19 αν είτε ο δεύτερος αριθμός είναι μεγαλύτερος του πρώτου με διαφορά μεταξύ 10 και 18 (συμπεριλαμβανομένων) ή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ 1 και 9 (συμπεριλαμβανομένων). Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε τρεις αριθμούς από τους 1,2,3,\ldots,19 ώστε ο πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του πρώτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου;
Καλησπέρα,
Εδώ υπάρχει ένα λάθος στην μετάφραση. Ο δεύτερος πρέπει να είναι ακόλουθος του τρίτου αριθμού (όχι πρώτου όπως γράφει).
Η αγγλική έκδοση λέει ` In how many ways can we choose three numbers from 1, 2, 3, …, 19 such that the first is a follower of the second, the second is a follower of the third, and the first is also a follower of the third? `
Ας ονομάσουμε το σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο πρώτος ακόλουθος
, το σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο δεύτερος ακόλουθος
και σύνολο αριθμών που μπορεί να πάρει ο τρίτος
Έχω ξεκινήσει με το δεύτερο αριθμό.
Αν
τότε για να πληροί τους όρους (πρώτος να είναι ακόλουθος του δεύτερου, ο δεύτερος ακόλουθος του πρώτου, και ο πρώτος ακόλουθος του τρίτου)
και
.
Από το σύνολο
το 10 πρέπει να αποκλειστεί, επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο
ο αριθμός που να είναι μεγαλύτερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ.20). Παρόμοια από το σύνολο
το 11 πρέπει να αποκλειστεί επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο
ο αριθμός που να είναι μικρότερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ. 1).
Επομένως το
απο το σύνολο
μπορεί να συνδυαστεί με
αριθμούς από το σύνολο
(12,13..19).
Το
απο το σύνολο
μπορεί να συνδυαστεί με
αριθμούς από το σύνολο
(13, 14,..19)...και το
μονο
επιλογή (το αριθμό 19 από το σύνολο
)
Άρα για το
έχουμε
τρόπους.
Αν
και
Από το σύνολο
το 11 πρέπει να αποκλειστεί, επειδή δεν υπάρχει στο σύνολο
ο αριθμός που να είναι μεγαλύτερος για 10 τουλαχιστόν (δηλ.21). Το 10 δεν το αποκλείσαμε επειδή πληρεί τον όρο ο πρώτος αριθμός ναείναι μεγαλύτερος του δεύτερου με διαφορά μεταξύ 1 και 9. Στην περίπτωση μας είναι το 10 μεγαλύτερο με διαφορά 9 απο το αριθμό 1 που βρίσκεται στο σύνολο
.
Και εδώ έχουμε
τρόπους.
Επειδή το
μπορέι να πάει ως 19, συνολικά έχουμε
τρόπους