Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Σάβ Ιαν 06, 2018 1:39 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Ιαν 05, 2018 1:08 pm
Datis-Kalali έγραψε:
Δευ Ιαν 01, 2018 8:19 pm
NT1) Έστω ότι N είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνάρτησεις f: N \rightarrow N που ικανοποιούν τις σχέσεις ταυτόχρονα:
i. Η συνάρτηση f είναι 1–1 (ένα προς ένα)
ιii.Αν m \vert n τότε f(m) \vert f(n)
iii.Το πλήθος των διαιρέτων του f(n) είναι διπλάσιο του πλήθου των διαιρέτων του n
Για p συγκεκριμένο πρώτο, ορίζουμε f(n) = p^{r+1}n, όπου p^r είναι η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το n. Ας ελέγξουμε ότι ισχύουν τα (i)-(iii)

(i) Αν p^r η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το n, τότε p^{2r+1} είναι η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το f(n). Άρα n = f(n)/p^{(k+1)/2} όπου p^k η μεγαλύτερη δύναμη του p η οποία διαιρεί το f(n).

(ii) Άμεσο γράφοντας τους m,n σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.

(iii) Άμεσο από τον τύπο d(p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}) = (r_1+1) \cdots (r_k+1), όπου d(n) το πλήθος των διαιρετών του n. Πράγματι, αν p^r η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί τον n, τότε η συνεισφορά του πρώτου p στον τύπο για το πλήθος των διαιρετών είναι r+1 για το n και (2r+1)+1 = 2(r+1) για το f(n).

Προφανώς για διαφορετικούς πρώτους έχουμε διαφορετικές συναρτήσεις (διαφέρουν π.χ. στο p(1)) άρα υπάρχουν όντως άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.

Επεξεργασία: Υπάρχουν άλλες τέτοιες συναρτήσεις ή όχι; (Έχω λύση, αλλά δεν λέω αν η απάντηση είναι αρνητική ή καταφατική.)
Νομίζω ότι υπάρχει και άλλες συναρτήσεις. Π.χ. μπορουμε να θέτουμε f(n)=p^aq^bn όπου υπάρχει μια σχέση μεταξύ των a,b και n...



Λέξεις Κλειδιά:
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Σάβ Ιαν 06, 2018 6:35 pm

Θα προσθέσω και μία ανισότητα.
Α5) Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \le \frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab} \le 3


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες