Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 975
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Δεκ 16, 2017 3:03 pm

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017-2018.

Θέματα της 7ης τάξης για την δεύτερη φάση



1. Σχεδιάστε τέσσερεις ημιευθείες OA, OB, OC, OD με κοινή κορυφή έτσι, ώστε σε αυτό το σχήμα να εμφανίζονται γωνίες 100^0, 110^0, 120^0, 130^0 και 140^0. Σημειώστε, ποιες ακριβώς γωνίες έχουν αυτά τα μεγέθη.


2. Η Αθηνά, ο Κώστας και ο Νίκος ήθελαν να αγοράσουν αδιάβροχα. Δυστυχώς δεν τους έφταναν τα χρήματα. Του Κώστα το ένα τρίτο της τιμής του αδιάβροχου, του Νίκου το ένα τέταρτο της τιμής του αδιάβροχου και της Αθηνάς το ένα πέμπτο της τιμής του αδιάβροχου. Όταν στις εκπτώσεις η τιμή του αδιάβροχου έπεσε κατά 9,4 ευρώ, οι φίλοι ένωσαν τις αποταμιεύσεις τους και αγόρασαν τρία αδιάβροχα, ξοδεύοντας όλα τα χρήματα. Πόσα ευρώ κόστιζε το αδιάβροχο πριν τις εκπτώσεις;


3. Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;


4. Σε τετραγωνισμένο φύλλο χαρτί σχεδιάστηκε ένα μεγάλο τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό κόπηκε σε μερικά ίδια μεσαία τετράγωνα. Ένα από τα μεσαία τετράγωνα κόπηκε σε μερικά ίδια μικρά τετράγωνα. Οι πλευρές όλων των τετραγώνων βρίσκονται πάνω στις ευθείες του πλέγματος. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του μεγάλου, μεσαίου και μικρού τετραγώνου, αν το άθροισμα των εμβαδών τους είναι ίσο με 154.


5. Σε κάθε κορυφή ενός κύβου κατοικεί ένας αριθμός, όχι απαραίτητα θετικός. Όλοι οι οχτώ αριθμοί είναι διαφορετικοί. Αν ο αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των τριών αριθμών, οι οποίοι κατοικούν σε γειτονική κορυφή, τότε είναι ευτυχισμένος. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος ευτυχισμένων αριθμών που μπορεί να κατοικεί στις κορυφές του ενός κύβου;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Δεκ 21, 2017 2:59 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Δεκ 16, 2017 3:03 pm

5. Σε κάθε κορυφή ενός κύβου κατοικεί ένας αριθμός, όχι απαραίτητα θετικός. Όλοι οι οχτώ αριθμοί είναι διαφορετικοί. Αν ο αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των τριών αριθμών, οι οποίοι κατοικούν σε γειτονική κορυφή, τότε είναι ευτυχισμένος. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος ευτυχισμένων αριθμών που μπορεί να κατοικεί στις κορυφές του ενός κύβου;
Μπορούν όλοι οι αριθμοί να είναι ευτυχισμένοι: Βάλτε σε μια κορυφή τον αριθμό 6, στις γειτονικές τις τους 1,2,3, Στις κάθε μια από τις υπόλοιπες κορυφές βάλτε τον αντίθετο από τον αριθμό που βρίσκεται στην απέναντί της κορυφή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 21, 2017 3:48 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Δεκ 16, 2017 3:03 pm
1. Σχεδιάστε τέσσερεις ημιευθείες OA, OB, OC, OD με κοινή κορυφή έτσι, ώστε σε αυτό το σχήμα να εμφανίζονται γωνίες 100^0, 110^0, 120^0, 130^0 και 140^0. Σημειώστε, ποιες ακριβώς γωνίες έχουν αυτά τα μεγέθη.
.
Με χρήση γωνιών 10^o+100^o+120^o+130^o=360^o.
.
Συνημμένα
diafores moires.PNG
diafores moires.PNG (3.63 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 22, 2017 1:35 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Δεκ 16, 2017 3:03 pm

2. Η Αθηνά, ο Κώστας και ο Νίκος ήθελαν να αγοράσουν αδιάβροχα. Δυστυχώς δεν τους έφταναν τα χρήματα. Του Κώστα το ένα τρίτο της τιμής του αδιάβροχου, του Νίκου το ένα τέταρτο της τιμής του αδιάβροχου και της Αθηνάς το ένα πέμπτο της τιμής του αδιάβροχου. Όταν στις εκπτώσεις η τιμή του αδιάβροχου έπεσε κατά 9,4 ευρώ, οι φίλοι ένωσαν τις αποταμιεύσεις τους και αγόρασαν τρία αδιάβροχα, ξοδεύοντας όλα τα χρήματα. Πόσα ευρώ κόστιζε το αδιάβροχο πριν τις εκπτώσεις;
Αν x η τιμή του αδιαβρόχου πριν τις εκπτώσεις, οι τρεις φίλοι είχαν χρήματα για  \dfrac {2x}{3} ,\, \dfrac {3x}{4}, \, \dfrac {4x}{5} του αδιαβρόχου, αντίστοιχα. Με τις εκπτώσεις όλα μαζί τα λεφτά τους είναι όσο τρία αδιάβροχα (που έγιναν κατά 9,4 ευρώ πιο φτηνά, έκαστο). Άρα

 \dfrac {2x}{3} + \dfrac {3x}{4} + \dfrac {4x}{5}= 3(x-9,4)

Λύνοντας θα βρούμε x=36.

Επαλήθευση: Τα χρήματά τους ήσαν, αντίστοιχα  \dfrac {2\cdot 36}{3} =24,\, \dfrac {3\cdot 36}{4}=27, \, \dfrac {4\cdot 36}{5}=28,2 ευρώ. Σύνολο 24+27+28,2=79,8 ευρώ. Τα δε παλτά έχουν 36-9,4=26,6 ευρώ στις εκπτώσεις, οπότε τα τρία κοστίζουν  3 \cdot 26,6 = 79,8, όπως πριν.

Παραλλαγή της λύσης: Τα χρήματα που τους λείπουν για να αγοράσουν τρία αδιάβροχα είναι  \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{5}=  \dfrac {47}{60} της τιμής του αδιάβροχου. Αυτά είναι ίσα με 3\times 9,4 αφού με την έκπτωση εκμηδενίστηκε η διαφορά. Μπορούμε τώρα να καταστρώσουμε πρωτοβάθμια εξίσωση για να βρούμε την τιμή x του αδιάβροχου ή, καλύτερα, είναι σαφές ότι το ζητούμενο είναι 3\times 9,4 \times \dfrac {60}{47}=36 ευρώ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18 (ΙΙΦ 7η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 22, 2017 10:37 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Δεκ 16, 2017 3:03 pm
4. Σε τετραγωνισμένο φύλλο χαρτί σχεδιάστηκε ένα μεγάλο τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό κόπηκε σε μερικά ίδια μεσαία τετράγωνα. Ένα από τα μεσαία τετράγωνα κόπηκε σε μερικά ίδια μικρά τετράγωνα. Οι πλευρές όλων των τετραγώνων βρίσκονται πάνω στις ευθείες του πλέγματος. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του μεγάλου, μεσαίου και μικρού τετραγώνου, αν το άθροισμα των εμβαδών τους είναι ίσο με 154.
Απάντηση: Το μεγάλο τετράγωνο έχει πλευρά 12, το μεσαίο 3 και το μικρό 1, που ικανοποιούν 12^2+3^2+1^2=154.

Πράγματι, αν a \in \mathbb N η πλευρά του μικρού τετραγώνου τότε του μεσαίου είναι της μορφής ka (δηλαδή η πλευρά του κόβεται σε k ίσα μέρη από όπου προκύπτουν τα μικρά τετράγωνα, όπου k>1 φυσικός). Όμοια η πλευρά του μεγάλου είναι πολλαπλάσιο του ka, δηλαδή είναι της μορφής mka. Άρα

a^2+k^2a^2+ m^2k^2a^2=154.

Το a^2 είναι διαιρέτης του 154= 2\cdot 7 \cdot 11, οπότε a=1.

H προηγούμενη τώρα γίνεται k^2+ m^2k^2=153= 3^2\cdot 17, οπότε k=3. Μένει m^2=16, δηλαδή m=4. Οι πλευρές λοιπόν είναι 1 και 1\cdot 3=3 και 1\cdot 3 \cdot 4=12.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες