Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Α΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
Να απλοποιήσετε την παράσταση:
Πρόβλημα 2
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι:
(α) Το άθροισμα των άρτιων αριθμών που βρίσκονται μεταξύ των θετικών ακεραίων και είναι:
(β) Ο ακέραιος διαιρείται με το .
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε δύο κύκλους και , που εφάπτονται εξωτερικά στο και φέρουμε τις διαμέτρους τους και , αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο , διαμέτρου . Έστω σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια, διαμέτρου του κύκλου . Η ευθεία τέμνει τον στο και τον στα σημεία , ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των και . Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε την κάθετη στην , που τέμνει τον κύκλο στο . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών και πρώτων ακεραίων , για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου.
(Ένας θετικός ακέραιος είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, όταν υπάρχει θετικός ακέραιος , ώστε .)
Πρόβλημα 1
Να απλοποιήσετε την παράσταση:
Πρόβλημα 2
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι:
(α) Το άθροισμα των άρτιων αριθμών που βρίσκονται μεταξύ των θετικών ακεραίων και είναι:
(β) Ο ακέραιος διαιρείται με το .
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε δύο κύκλους και , που εφάπτονται εξωτερικά στο και φέρουμε τις διαμέτρους τους και , αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο , διαμέτρου . Έστω σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια, διαμέτρου του κύκλου . Η ευθεία τέμνει τον στο και τον στα σημεία , ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των και . Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε την κάθετη στην , που τέμνει τον κύκλο στο . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών και πρώτων ακεραίων , για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου.
(Ένας θετικός ακέραιος είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, όταν υπάρχει θετικός ακέραιος , ώστε .)
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
(α) Ο αριθμός είναι περιττός αφού ο είναι άρτιος ,όπως και ο είναι περιττός.
Άρα
Το πλήθος των όρων του είναι
και αποτελούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά , άρα
(β)
Never stop learning , because life never stops teaching.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Β΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
(α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου , για την οποία η συνάρτηση με είναι σταθερή.
(β) Να βρείτε την τιμή της .
Πρόβλημα 2
Δίνεται γωνία και η διχοτόμος της. Στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με , στη διχοτόμο παίρνουμε τμήμα με και στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με . Αν το σημείο είναι το μέσον του και το σημείο είναι το μέσον του , να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με . Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες , οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις . Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο , του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο .
Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου .
Πρόβλημα 1
(α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου , για την οποία η συνάρτηση με είναι σταθερή.
(β) Να βρείτε την τιμή της .
Πρόβλημα 2
Δίνεται γωνία και η διχοτόμος της. Στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με , στη διχοτόμο παίρνουμε τμήμα με και στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με . Αν το σημείο είναι το μέσον του και το σημείο είναι το μέσον του , να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με . Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες , οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις . Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο , του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο .
Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου .
Σωτήρης Λοϊζιάς
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Xωρίς να θέλω να ¨χαλάσω" το θέμα θέλω να πω ένα μπράβο στους θεματοδότες και ειδικά για τα τέταρτα θέματα και των 2 τάξεων!!
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Συμφωνώ ως αφορά το 4 θέμα της β λυκείου , εξαιρετικό για τα τα αλλά τρία δεν μου άρεσαν , δεν μπορείς με αυτά να ξεχωρίσεις τον καλό μαθητή .
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Έχουμε:
Λόγω του ότι οι αριθμοί είναι πρώτοι, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1.
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει πως (άτοπο)
2.
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι (άτοπο)
3.
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι , άρα (, άτοπο) ή και .
Η λύση ικανοποιεί την αρχική και εγκρίνεται.
Houston, we have a problem!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το
Παρατηρούμε ότι Θα αποδείξουμε ότι αυτή είναι η ελάχιστη τιμή. Αρκεί να αποκλείσουμε τις τιμές
Οι άρτιες τιμές βγαίνουν από το παιχνίδι αμέσως, γιατί φανερά περιττός.
Επίσης η λήγει είτε σε , είτε σε , άρα από τις περιττές περιπτώσεις αρκεί να εξετάσουμε τις
Η δεύτερη αποκλείεται να ισχύει, αφού το αριστερό μέλος δεν είναι πολλαπλάσιο του .
Ας είναι τώρα άτοπο.
Τέλος, ας είναι Αυτή πάλι είναι αδύνατη, εξετάζοντας το τελευταίο ψηφίο του αριστερού μέλους.
Τελικά το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου είναι το
***Διόρθωση τυπογραφικού
Μάγκος Θάνος
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Γ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
Δίνεται η συνάρτηση , με τις ιδιότητες:
i. συνεχής στο
ii. παραγωγίσιμη στο
iii.
iv. η γραφική παράσταση της στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο
Ορίζουμε τη συνάρτηση , με . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β΄ Λυκείου.
Πρόβλημα 3
Ίδιο με το πρόβλημα 4 της Β΄ Λυκείου
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο , με . Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Πρόβλημα 1
Δίνεται η συνάρτηση , με τις ιδιότητες:
i. συνεχής στο
ii. παραγωγίσιμη στο
iii.
iv. η γραφική παράσταση της στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο
Ορίζουμε τη συνάρτηση , με . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β΄ Λυκείου.
Πρόβλημα 3
Ίδιο με το πρόβλημα 4 της Β΄ Λυκείου
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο , με . Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Είναι το πρόβλημα αυτό , λύση Βισβίκη (πάλι ? )Soteris έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 03, 2017 12:45 pmΒ΄ Λυκείου , Πρόβλημα 3
Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με . Από τις κορυφές
φέρουμε παράλληλες ευθείες , οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο
και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις .
Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο ,
του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
κι επειδή η είναι διχοτόμος, τα τρίγωνα είναι όμοια,Soteris έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 03, 2017 12:45 pmΒ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 2
Δίνεται γωνία και η διχοτόμος της. Στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με , στη διχοτόμο παίρνουμε τμήμα με και στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με . Αν το σημείο είναι το μέσον του και το σημείο είναι το μέσον του , να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
άρα και Αλλά,
οπότε τα τρίγωνα είναι όμοια (έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Αν υπάρχει τέτοια τιμή του θα πρέπει να επαληθεύεται για κάθε τιμή του άρα θα είναι και
● Αν τότε: που εξαρτάται από το άρα απορρίπτεται.
● Αν τότε:
Άρα για η συνάρτηση είναι σταθερή και παίρνει την τιμή
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
θέμα 1 Γ Λυκείου
Η είναι παραγωγίσιμη στο με [1]
Ισχύουν οι προυποθέσεις ΘΜΤ στο για την και έτσι:
με [2]
H είναι γν. αύξουσα για διότι κοίλη άρα από [2] αφού και τότε γν.αύξουσα στο μια που είναι και συνεχής στο διάστημα αυτό αρα που είναι το ζητούμενο
Η είναι παραγωγίσιμη στο με [1]
Ισχύουν οι προυποθέσεις ΘΜΤ στο για την και έτσι:
με [2]
H είναι γν. αύξουσα για διότι κοίλη άρα από [2] αφού και τότε γν.αύξουσα στο μια που είναι και συνεχής στο διάστημα αυτό αρα που είναι το ζητούμενο
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Από το εγγράψιμο προκύπτει ότι πως .Soteris έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 8:06 pm
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο , με . Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Άρα αρκεί , δηλαδή .
Παρατηρούμε πως αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το είναι το μέσο του .
Αρκεί ειδικότερα να αποδείξουμε αυτό το λήμμα:
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο () με έγκεντρο . Οι ευθείες και τέμνουν τις και αντίστοιχα στα σημεία . Να αποδειχθεί ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από το μέσο του .
Απόδειξη:
Έστω πως αυτή η κάθετη τέμνει την στο , την στο και την στο .
Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την έχουμε την σχέση:
Θέλουμε να αποδείξουμε πως , οπότε αρκεί:
Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την έχουμε την σχέση:
Άρα αρκεί:
Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, επομένως ο λόγος δηλώνει το λόγο των εμβαδών τους.
Όμως αυτά τα τρίγωνα έχουν το ίδιο ύψος από την κορυφή (ιδιότητα έγκεντρου), άρα ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με .
Αρκεί λοιπόν .
Έστω . Θα είναι , , και .
Από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε πως , ενώ από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε ότι .
Διαιρώντας προκύπτει ότι
Ακόμη έχουμε πως , ενώ .
Διαιρώντας προκύπτει ότι
Άρα και το λήμμα αποδείχθηκε!
Edit: προσθήκη σχήματος και διόρθωση κάποιων τυπογραφικών
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Δεκ 09, 2017 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Σίγουρα υπάρχει κάτι πιο όμορφο και απλό αλλά επειδή ξεκίνησα μετρικά ας έχει...Θα αποδείξουμε αρχικά το παρακάτω λήμμα:Soteris έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 8:06 pmΓ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο , με . Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Λήμμα: Αν ορθογώνιο τρίγωνο και τα ίχνη των διχοτόμων του από τις κορυφές αντίστοιχα τότε η ευθεία που ορίζουν το μέσο του και το έγκεντρο του τριγώνου είναι κάθετη στην υποτείνουσα.
Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι . Για το δεύτερο μέλος έχουμε από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων
(1)
Χρησιμοποιώντας τις μετρικές σχέσεις του θεωρήματος διχοτόμων η (1) γράφεται διαδοχικά
Αν ανοίξουμε τις παρενθέσεις και κανουμε αναγωγή ομοίων όρων στον αριθμητή εύκολα αλλά επίπονα στο γράψιμο στον υπολογιστή βρίσκουμε
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισχύει και η παράσταση γίνεται
(2)
Ισχύει όμως , όπου το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την υποτείνουσα (). Ομως . Οπότε έχουμε
γεγονός που ολοκληρώνει την απόδειξη του λήμματος.
Στο πρόβλημά μας τώρα (για ευκολία τα ονόματα των σημείων αντιστοιχήθηκαν σε λατινικούς χαρακτήρες, βλέπε σχήμα).
Εφόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με το κέντρο ()του περιγγεγραμμένου κύκλου του επίσης ορθογώνιου τριγώνου θα είναι το μέσο του . Οπότε σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα θα είναι .
Επειδή και το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο θα ισχύει και . Από την καθετότητα έχουμε ότι . Δηλαδή και τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Ανεβάσαμε σχεδόν ταυτόχρονα παρόμοια λύση! Διαφέρει μόνο ο τρόπος απόδειξης του λήμματος.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 09, 2017 10:23 pmΣίγουρα υπάρχει κάτι πιο όμορφο και απλό αλλά επειδή ξεκίνησα μετρικά ας έχει...Θα αποδείξουμε αρχικά το παρακάτω λήμμα:Soteris έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 8:06 pmΓ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 4
Δίνεται τετράπλευρο , με . Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και , αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και , να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
Houston, we have a problem!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Όντως . Η δικιά σου είναι πιο όμορφη και κοψή όμως .Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 09, 2017 11:22 pmΑνεβάσαμε σχεδόν ταυτόχρονα παρόμοια λύση! Διαφέρει μόνο ο τρόπος απόδειξης του λήμματος.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Λυκείου, 2017
Soteris έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 02, 2017 2:00 pmΑ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 3
Θεωρούμε δύο κύκλους και , που εφάπτονται εξωτερικά στο και φέρουμε τις διαμέτρους τους και , αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο , διαμέτρου . Έστω σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια, διαμέτρου του κύκλου . Η ευθεία τέμνει τον στο και τον στα σημεία , ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των και . Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε την κάθετη στην , που τέμνει τον κύκλο στο . Να αποδείξετε ότι .
Αφού το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Η θα είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε (1).
Επίσης είναι . Επομένως και εφόσον το μέσο η ευθεία είναι μεσοπαράλληλος των θα διέρχεται και από το μέσο, έστω , του τμήματος .
Δηλαδή η είναι διάμεσος και ύψος του τριγώνου . Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με και (2).
Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) βρίσκουμε ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες