Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 16, 2017 7:58 pm

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το 4 της Β' Γυμνασίου. (Δείτε εδώ.)

Πρόβλημα 2

Αν

\displaystyle  \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) = a^a - 1

να υπολογίσετε το a.

Πρόβλημα 3

Τρεις φίλοι, ο Άρης, ο Ερμής και η Αθηνά πήραν μέρος σε ένα διαγωνισμό Μαθηματικού κουίζ 100 προβλημάτων. Ο Άρης και η Αθηνά έλυσαν σωστά 55 προβλήματα ο κάθε ένας και ο Ερμής έλυσε σωστά 70 προβλήματα. Με το τέλος του διαγωνισμού ένα πρόβλημα του κουίζ χαρακτηρίστηκε δύσκολο αν λύθηκε σωστά μόνο από ένα από τους πιο πάνω μαθητές και εύκολο αν λύθηκε σωστά και από τους τρεις. Να βρείτε πόσα περισσότερα ήταν τα δύσκολα προβλήματα από τα εύκολα.

Σημείωση: Η πρόθεση σε αυτό το πρόβλημα ήταν να λέει επιπλέον ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε από τουλάχιστον ένα μαθητή.

Πρόβλημα 4

Δίνεται τετράγωνο AB\Gamma\Delta. Τα E και Z είναι σημεία των πλευρών B\Gamma και \Delta\Gamma αντίστοιχα, M είναι το σημείο τομής των AE και BZ, K είναι το σημείο τομής των AZ και \Delta E και \Lambda είναι το σημείο τομής των BZ και \Delta E. Το τετράπλευρο AK \Lambda M έχει εμβαδόν 26\, \mathrm{cm}^2 και τα τρίγωνα BEM και \Delta KZ έχουν εμβαδόν 10\,\mathrm{cm}^2 και 5\,\mathrm{cm}^2 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου \Gamma E \Lambda Z.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1.4] 
\clip(-0.5196546435601143,-0.5031478227393796) rectangle (4.596737058447321,4.389712202966759); 
\draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (0.,0.); 
\draw [line width=1pt] (0.,0.)-- (4.,0.); 
\draw [line width=1pt] (4.,0.)-- (4.,4.); 
\draw [line width=1pt] (4.,4.)-- (0.,4.); 
\draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (4.,1.); 
\draw [line width=1pt] (4.,1.)-- (0.,0.); 
\draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (2.3986755748179123,0.); 
\draw [line width=1pt] (2.3986755748179123,0.)-- (4.,4.); 
\draw (0,4) node[anchor=south east] {A}; 
\draw (4,4) node[anchor=south west] {B}; 
\draw (4,0) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}}; 
\draw (0,0) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}}; 
\draw (4,1) node[anchor=west] {E}; 
\draw (2.3986755748179123,0) node[anchor=north] {Z}; 
\draw (2,0.5214887484838215) node[anchor=north] {K}; 
\draw (2.6654402342537633,0.6663600585634408) node[anchor=north west] {\text{\gr Λ}}; 
\draw (3.076335426522966,1.6) node[anchor=south west] {M}; 
\draw [fill=white] (0.,4.) circle (1.5pt); 
\draw [fill=white] (0.,0.) circle (1.5pt); 
\draw [fill=white] (4.,0.) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (4.,4.) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (4.,1.) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (2.3986755748179123,0.) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (2.085954993935286,0.5214887484838215) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (2.6654402342537633,0.6663600585634408) circle (1.5pt); 
\draw [fill= white] (3.076335426522966,1.6927484301077753) circle (1.5pt); 
\end{tikzpicture}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 16, 2017 8:55 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Νοέμ 16, 2017 7:58 pm
Πρόβλημα 2

Αν

\displaystyle  \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) = a^a - 1

να υπολογίσετε το a.
Αρχίζοντας από το τέλος προς την αρχή με συνεχή επανάληψη της ταυτότητας (x+1)(x-1)=x^2-1 έχουμε

\displaystyle  \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) =

\displaystyle  = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^1} -1 \right) =

\displaystyle  = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^2} - 1 \right)=

\displaystyle  = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^3} -1 \right)=

....


\displaystyle  = 2^{2^6} -1 = 2^{64} -1= 16^{16}-1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 26 επισκέπτες