Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

#1

Πρόβλημα 1

(α) Να απλοποιήσετε το κλάσμα

$\displaystyle A = \frac{(\nu^5 - 10n^3 + 9\nu)(\nu^2-4)}{\nu^2 + 3\nu}$

(β) Να αποδείξετε ότι ο

διαιρείται με το

για κάθε φυσικό αριθμό $\nu$ .

Πρόβλημα 2

Αν ισχύει $\text{\gr συν}(x) - \text{\gr ημ}(x) = \sqrt{2}\text{\gr ημ}(x)$ να αποδείξετε ότι:

(α) $\text{\gr εφ}(x) = \sqrt{2}-1$
(β) $\text{\gr συν}(x) + \text{\gr ημ}(x) = \sqrt{2}\text{\gr συν}(x)$

Πρόβλημα 3

(α) Να αποδείξετε ότι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x^3-2x+1=0

είναι $x_1 = 1, x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, x_3 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ .

(β) Δίνεται ότι $(x^3+1)^3 = 8(2x-1), \, x \in \mathbb{R} \quad (1)$ και
$y = \sqrt[3]{2x-1}\, y \in \mathbb{R} \qquad (2)$

(i) Να αποδείξετε ότι ισχύει: x^3 - y^3 = 2(y-x)

(ii) Να βρείτε όλες τις τιμές $x \in \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την εξίσωση (1)

Πρόβλημα 4

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ . Έστω σημείο

πάνω στην πλευρά $B\Gamma$ του τετραγώνου. Η διχοτόμος της γωνίας $\angle \Delta AM$ τέμνει την πλευρά $\Delta \Gamma$ στο σημείο

. Από το σημείο

φέρουμε κάθετη ευθεία προς την

η οποία τέμνει την ευθεία

στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι $AH = BM + \Delta N$ .

#2

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2017 4:02 pm
Πρόβλημα 1

(α) Να απλοποιήσετε το κλάσμα

$\displaystyle A = \frac{(\nu^5 - 10n^3 + 9\nu)(\nu^2-4)}{\nu^2 + 3\nu}$

(β) Να αποδείξετε ότι ο διαιρείται με το για κάθε φυσικό αριθμό $\nu$ .

(α) $\displaystyle A = \frac{{n({n^4} - 10{n^2} + 9)(n - 2)(n + 2)}}{{n(n + 3)}} = \frac{{({n^2} - 9)({n^2} - 1)(n - 2)(n + 2)}}{{n + 3}}$

$\displaystyle A = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)$

(β) Ο αριθμός $\displaystyle (n +1)(n + 2)$ είναι προφανώς άρτιος, ενώ ο $\displaystyle (n -3)(n - 2)(n -1)$ ως γινόμενο τριών

διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του

. Άρα ο

είναι πολλαπλάσιο του 12.

#3

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2017 4:02 pm

Πρόβλημα 4

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ . Έστω σημείο πάνω στην πλευρά $B\Gamma$ του τετραγώνου. Η διχοτόμος της γωνίας $\angle \Delta AM$ τέμνει την πλευρά $\Delta \Gamma$ στο σημείο . Από το σημείο φέρουμε κάθετη ευθεία προς την η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε ότι $AH = BM + \Delta N$ .

: Α Λυκείου 2017 Κύπρος.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

Λόγω της διχοτόμου είναι $\displaystyle \Delta {\rm N} = {\rm N}{\rm E},{\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm B},\Delta \widehat {\rm N}{\rm A} = {\rm A}\widehat {\rm N}{\rm E} = {\rm N}\widehat {\rm A}{\rm B},$ άρα $\boxed{{\rm H}{\rm N} = {\rm H}{\rm A}}$

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως οξείες με πλευρές κάθετες, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle {\rm A}{\rm E}{\rm H},{\rm A}{\rm B}{\rm M}$ είναι ίσα και $\boxed{{\rm H}{\rm E} = {\rm B}{\rm M}}$

$\displaystyle {\rm A}{\rm H} = {\rm H}{\rm N} = {\rm H}{\rm E} + {\rm E}{\rm N} = {\rm M}{\rm B} + \Delta {\rm N}$

#4

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2017 4:02 pm
Πρόβλημα 2

Αν ισχύει $\text{\gr συν}(x) - \text{\gr ημ}(x) = \sqrt{2}\text{\gr ημ}(x)$ να αποδείξετε ότι:

(α) $\text{\gr εφ}(x) = \sqrt{2}-1$
(β) $\text{\gr συν}(x) + \text{\gr ημ}(x) = \sqrt{2}\text{\gr συν}(x)$

(α) Διαιρώ με $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x \ne 0$
$\displaystyle 1 - \varepsilon \varphi x = \sqrt 2 \varepsilon \varphi x \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2 - 1$

(β) $\displaystyle \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow \eta \mu x = \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu x \Leftrightarrow \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu x$

Παρατήρηση: Για την ιστορία, αν η γωνία

είναι οξεία τότε $\displaystyle x = \frac{\pi }{8}$

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση