Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm

Πρόβλημα 1

Να υπολογίσετε την τιμή του A:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017} + \frac{2}{2017} + \frac{3}{2017} + \cdots + \frac{2016}{2017} + \frac{2017}{2017}

Πρόβλημα 2

Ο \mu είναι περιττός πρώτος αριθμός και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των αριθμών 24, 42 και 54.

(α) Να βρείτε την τιμή του \mu.

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

\displaystyle  A = \dfrac{\left(\mu - \dfrac{\mu}{2}\right)}{\dfrac{\mu}{3}+1} \div \dfrac{5 - \mu}{\mu} - \frac{1}{8}

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το E είναι σημείο της πλευρά AB του τετραγώνου AB\Gamma\Delta τέτοιο ώστε AE = 12 \mathrm{cm}. Αν το εμβαδόν του τριγώνου AE\Gamma είναι 216 \mathrm{cm}^2 να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου EB\Gamma.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] 
\clip(-1.858268732042116,-1.608695240765236) rectangle (3.0017407303574086,2.5352258708942554); 
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (-1.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (-1.,-1.)-- (2.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (2.,2.); 
\draw [line width=1pt] (2.,2.)-- (-1.,2.); 
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (2.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (0.,2.); 
\draw (-1,2) node[anchor=south east] {A}; 
\draw (2,2) node[anchor=south west] {B}; 
\draw (2,-1) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}}; 
\draw (-1,-1) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}}; 
\draw (0,2) node[anchor=south] {E}; 
\draw [fill=white] (-1.,2.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (-1.,-1.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (2.,-1.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (2.5pt); 
\end{tikzpicture}

Πρόβλημα 4

Ο Αντρέας, ο Βασίλης, ο Κώστας, η Δέσποινα και η Ελένη μοιράζονται ένα μπουκάλι χυμό πορτοκαλιού. Ο Αντρέας παίρνει πρώτος το μπουκάλι, και καθώς βάζει χυμό στο ποτήρι του, χύνει έξω 10 \mathrm{ml} χυμού. Όταν το ποτήρι του και το μπουκάλι έχουν την ίδια ποσότητα χυμού, δίνει το μπουκάλι στον επόμενο. Ομοίως, ο Bασίλης, ο Κώστας, η Δέσποινα και η Ελένη χύνουν έξω 10 \mathrm{ml} χυμού καθώς βάζουν τη δική τους μερίδα, και ο κάθε ένας σταματά να βάζει χυμό όταν το ποτήρι του και το μπουκάλι έχουν την ίδια ποσότητα χυμού. Αν κάθε άτομο βάζει χυμό στο ποτήρι του με τη σειρά και στο τέλος παραμένει 10 \mathrm{ml} χυμού στη μπουκάλα, να βρείτε πόσα \mathrm{ml} χυμού ήταν αρχικά στο μπουκάλι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 15, 2017 3:59 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm
Πρόβλημα 1

Να υπολογίσετε την τιμή του A:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017} + \frac{2}{2017} + \frac{3}{2017} + \cdots + \frac{2016}{2017} + \frac{2017}{2017}
Έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
1+2+3+ \cdots + 2017 &= \underbrace{\left ( 1+2017 \right ) + \left ( 2 + 2016 \right ) + \left ( 3 + 2015 \right )}_{1008 \;\; \text{\gr φορές}} + \cdots + 1009 \\  
 &= 1008 \cdot 2018 + 1009 
\end{aligned}} Άρα
\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{A} &= \frac{1008 \cdot 2018 + 1009}{2017} \\  
 &= \frac{1008 \cdot \left ( 2017+1 \right )+1009}{2017}\\  
 &= \frac{1008 \cdot 2017}{2017} + \frac{1008+1009}{2017}\\  
 &= 1 + 1008 \\ 
 &= 1009  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 15, 2017 4:15 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το E είναι σημείο της πλευρά AB του τετραγώνου AB\Gamma\Delta τέτοιο ώστε AE = 12 \mathrm{cm}. Αν το εμβαδόν του τριγώνου AE\Gamma είναι 216 \mathrm{cm}^2 να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου EB\Gamma.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] 
\clip(-1.858268732042116,-1.608695240765236) rectangle (3.0017407303574086,2.5352258708942554); 
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (-1.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (-1.,-1.)-- (2.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (2.,2.); 
\draw [line width=1pt] (2.,2.)-- (-1.,2.); 
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (2.,-1.); 
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (0.,2.); 
\draw (-1,2) node[anchor=south east] {A}; 
\draw (2,2) node[anchor=south west] {B}; 
\draw (2,-1) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}}; 
\draw (-1,-1) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}}; 
\draw (0,2) node[anchor=south] {E}; 
\draw [fill=white] (-1.,2.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (-1.,-1.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (2.,-1.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (2.5pt); 
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (2.5pt); 
\end{tikzpicture}
Ας βρούμε πρώτα τη πλευρά του τετραγώνου. Είναι:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ( {\rm A\overset{\triangle}{E}} \Gamma \right ) =216 &\Leftrightarrow \frac{{\rm AE} \cdot {\rm B} \Gamma}{2} = 216  \\  
 &\Leftrightarrow \frac{12 \cdot {\rm B} \Gamma}{2} = 216\\  
 &\Leftrightarrow {\rm B} \Gamma = \frac{216}{6} \\  
 &\Leftrightarrow {\rm B} \Gamma =36 \; {\rm cm} 
\end{aligned}}
Συνεπώς το εμβαδόν που ζητάμε είναι όσο το εμβαδόν του μισού τετραγώνου μείον το εμβαδόν του τριγώνου το εμβαδόν του οποίου γνωρίζουμε. Συνεπώς:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left ({\rm E\overset{\triangle}{B}} \Gamma  \right ) &= \frac{36^2}{2} - 216 \\  
 &=432 \;{\rm cm}^2  
\end{aligned}} Thanks Δημήτρη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 16, 2017 2:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:59 pm
Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm
Πρόβλημα 1

Να υπολογίσετε την τιμή του A:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017} + \frac{2}{2017} + \frac{3}{2017} + \cdots + \frac{2016}{2017} + \frac{2017}{2017}
Έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
1+2+3+ \cdots + 2017 &= \underbrace{\left ( 1+2017 \right ) + \left ( 2 + 2016 \right ) + \left ( 3 + 2015 \right )}_{1008 \;\; \text{\gr φορές}} + \cdots + 1009 \\  
 &= 1008 \cdot 2018 + 1009 
\end{aligned}} Άρα <...>
Ένας πιο γρήγορος τρόπος, είναι να ταιριάξουμε το \displaystyle  \frac{1}{2017} με το \displaystyle  \frac{2016}{2017}, το \displaystyle  \frac{2}{2017} με το \displaystyle  \frac{2015}{2017}, ... , το\displaystyle  \frac{1008}{2017} με το \displaystyle  \frac{1009}{2017}.

Συνολικά έχουμε 1008 ζεύγη με άθροισμα 1 το κάθε ένα, και επιπλέον το κλάσμα \displaystyle  \frac{2017}{2017}. Συνολικό άθροισμα λοιπόν 1009.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:07 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm
Πρόβλημα 1

Να υπολογίσετε την τιμή του A:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017} + \frac{2}{2017} + \frac{3}{2017} + \cdots + \frac{2016}{2017} + \frac{2017}{2017}
Εάν τα παιδιά έχουν δεν το άθροισμα 1+2+...+n, τότε είναι απλό:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017}( 1+ 2  +... + 2017) = \frac{1}{2017}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2017 \cdot 2018= ...

Στην Ελλάδα κάπου το μαθαίνουν, τουλάχιστον μαζί με την ανεκδοτολογική ιστορία του μικρού Gauss που το έλυσε εξ απαλών ονύχων. Δεν ξέρω όμως σε ποια τάξη και κατά πόσο γίνεται ως μέρος σχετικής θεωρίας.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Α' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:07 pm
Demetres έγραψε:
Τετ Νοέμ 15, 2017 3:42 pm
Πρόβλημα 1

Να υπολογίσετε την τιμή του A:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017} + \frac{2}{2017} + \frac{3}{2017} + \cdots + \frac{2016}{2017} + \frac{2017}{2017}
Εάν τα παιδιά έχουν δεν το άθροισμα 1+2+...+n, τότε είναι απλό:

\displaystyle  A = \frac{1}{2017}( 1+ 2  +... + 2017) = \frac{1}{2017}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2017 \cdot 2018= ...

Στην Ελλάδα κάπου το μαθαίνουν, τουλάχιστον μαζί με την ανεκδοτολογική ιστορία του μικρού Gauss που το έλυσε εξ απαλών ονύχων. Δεν ξέρω όμως σε ποια τάξη και κατά πόσο γίνεται ως μέρος σχετικής θεωρίας.
Τώρα πια είναι εκτός ύλης. Εγώ προσωπικά το διδάσκω και στα παιδιά δημοτικού ακόμη


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες