Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{{\rm A\Delta}=4~\text{cm}}$ και $\displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=6~\text{cm}}$ . Αν $\displaystyle{{\rm E\Delta}=1~\text{cm}, {\rm ZB}=2~\text{cm}}$ και η $\displaystyle{{\rm AH}}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{{\rm EZ}}$ , να υπολογίσετε:
(α) το εμβαδόν του πενταπλεύρου $\displaystyle{{\rm E\Delta\Gamma BZ}}$
(β) το μήκος της $\displaystyle{{\rm AH}}$

: B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_1.png (5.48 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Πρόβλημα 2

Δίνεται η σειρά αριθμών: $\displaystyle{1, 2, 3, 11, 22, 33, 111, 222, 333, 1111, 2222, 3333, \ldots}$

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα των ψηφίων του $\displaystyle{500^{o\upsilon}}$ αριθμού στην πιο πάνω σειρά.

(β) Πόσες φορές θα εμφανιστεί το ψηφίο $\displaystyle{1}$ στους πρώτους $\displaystyle{500}$ αριθμούς της σειράς;

Πρόβλημα 3

Το άθροισμα $\displaystyle{5}$ διαδοχικών θετικών ακεραίων $\displaystyle{x-2, x-1, x, x+1}$ και $\displaystyle{x+2}$ είναι τέλειο τετράγωνο. Αν το άθροισμα των τριών μεσαίων ( $\displaystyle{x-1, x}$ και $\displaystyle{x+1}$ ) από τους πιο πάνω αριθμούς είναι κύβος ακέραιου αριθμού, να υπολογίσετε την μικρότερη τιμή που μπορεί να έχει ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{x}$ .

Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε πόσοι διψήφιοι περιττοί αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα.

(β) Να βρείτε πόσοι τριψήφιοι περιττοί αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

(γ) Να βρείτε πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ . Πόσοι από αυτούς έχουν τουλάχιστον ένα ψηφίο ίσο με $\displaystyle{3}$ ;

Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ με πλευρές $\displaystyle{{\rm AB}=12~\text{cm}}$ και $\displaystyle{{\rm A\Gamma}=8~\text{cm}}$ . Τα σημεία $\displaystyle{{\rm \Delta}}$ και $\displaystyle{{\rm E}}$ ανήκουν στις πλευρές του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ , έτσι ώστε $\displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=3~\text{cm}}$ και το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{{\rm B\Gamma\Delta E}}$ να είναι ίσο με τα $\displaystyle{\dfrac{5}{8}}$ του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}$ . Να υπολογίσετε το μήκος του $\displaystyle{{\rm EB}}$ .

: B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_2.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε πόσοι διψήφιοι περιττοί αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα.

(β) Να βρείτε πόσοι τριψήφιοι περιττοί αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

(γ) Να βρείτε πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ . Πόσοι από αυτούς έχουν τουλάχιστον ένα ψηφίο ίσο με $\displaystyle{3}$ ;

Τα διψήφια τέλεια τετράγωνα είναι: 16, 25, 36, 49, 64, 81

. Από αυτά, περιττά είναι τα: 25, 49, 81

. Άρα, υπάρχουν

διψήφια περιττά τέλεια τετράγωνα.

$(\beta)$ Συνολικά υπάρχουν 1000

τριψήφιοι. Από αυτούς, οι 500

είναι περιττοί και οι

είναι τέλεια τετράγωνα, από το $10^{2}$ μέχρι το $31^{2}$ .

Στα

τέλεια τετράγωνα, τα

είναι περιττά. Άρα, υπάρχουν 500-11=489

τριψήφιοι περιττοί αριθμοί που δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

$(\gamma)$ Συνολικά υπάρχουν 10000

τετραψήφιοι. Από αυτούς, οι $\dfrac{9999-1002}{3}=2999$ είναι πολλαπλάσια του

.

Αν το ψηφίο των χιλιάδων ισούται με

, έχω ότι οι περιπτώσεις για τα υπόλοιπα ψηφία είναι όσα και τα τριψήφια πολλαπλάσια του

, δηλαδή

.

Ομοίως και για τα υπόλοιπα. Άρα, από τα 2999

τα $329 \cdot 4=1316$ έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο ίσο με

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{{\rm A\Delta}=4~\text{cm}}$ και $\displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=6~\text{cm}}$ . Αν $\displaystyle{{\rm E\Delta}=1~\text{cm}, {\rm ZB}=2~\text{cm}}$ και η $\displaystyle{{\rm AH}}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{{\rm EZ}}$ , να υπολογίσετε:
(α) το εμβαδόν του πενταπλεύρου $\displaystyle{{\rm E\Delta\Gamma BZ}}$
(β) το μήκος της $\displaystyle{{\rm AH}}$

Ε $AEZ=\dfrac{AE \cdot AZ}{2}=6cm^{2}$
Ε $ΑB \Gamma \Delta=AB \cdot \Gamma \Delta=24cm^{2}$
Ε $E \Delta \Gamma BZ=24-6=18cm^{2}$

$(\beta)$ Κάνω Π.Θ. στο AEZ

:

$EZ^{2}=AE^{2}+AZ^{2} \Rightarrow EZ=5$

Άρα, έχω:

Ε $AEZ=\dfrac{AH \cdot EZ}{2}=6cm^{2} \Rightarrow AH=2,4$

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Μέλη σε σύνδεση