Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τετ Απρ 26, 2017 6:53 pm

Πρόβλημα 1

Στο πιο κάτω σχήμα το \displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}} είναι ορθογώνιο με \displaystyle{{\rm A\Delta}=4~\text{cm}} και \displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=6~\text{cm}}. Αν \displaystyle{{\rm E\Delta}=1~\text{cm}, {\rm ZB}=2~\text{cm}} και η \displaystyle{{\rm AH}} είναι κάθετη στην \displaystyle{{\rm EZ}}, να υπολογίσετε:
(α) το εμβαδόν του πενταπλεύρου \displaystyle{{\rm E\Delta\Gamma BZ}}
(β) το μήκος της \displaystyle{{\rm AH}}
B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_1.png
B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_1.png (5.48 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές
Πρόβλημα 2

Δίνεται η σειρά αριθμών: \displaystyle{1, 2, 3, 11, 22, 33, 111, 222, 333, 1111, 2222, 3333, \ldots}

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα των ψηφίων του \displaystyle{500^{o\upsilon}} αριθμού στην πιο πάνω σειρά.

(β) Πόσες φορές θα εμφανιστεί το ψηφίο \displaystyle{1} στους πρώτους \displaystyle{500} αριθμούς της σειράς;

Πρόβλημα 3

Το άθροισμα \displaystyle{5} διαδοχικών θετικών ακεραίων \displaystyle{x-2, x-1, x, x+1} και \displaystyle{x+2} είναι τέλειο τετράγωνο. Αν το άθροισμα των τριών μεσαίων (\displaystyle{x-1, x} και \displaystyle{x+1}) από τους πιο πάνω αριθμούς είναι κύβος ακέραιου αριθμού, να υπολογίσετε την μικρότερη τιμή που μπορεί να έχει ο ακέραιος αριθμός \displaystyle{x}.

Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε πόσοι διψήφιοι περιττοί αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα.

(β) Να βρείτε πόσοι τριψήφιοι περιττοί αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

(γ) Να βρείτε πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του \displaystyle{3}. Πόσοι από αυτούς έχουν τουλάχιστον ένα ψηφίο ίσο με \displaystyle{3};

Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} με πλευρές \displaystyle{{\rm AB}=12~\text{cm}} και \displaystyle{{\rm A\Gamma}=8~\text{cm}}. Τα σημεία \displaystyle{{\rm \Delta}} και \displaystyle{{\rm E}} ανήκουν στις πλευρές του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}, έτσι ώστε \displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=3~\text{cm}} και το εμβαδόν του τετραπλεύρου \displaystyle{{\rm B\Gamma\Delta E}} να είναι ίσο με τα \displaystyle{\dfrac{5}{8}} του εμβαδού του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}}. Να υπολογίσετε το μήκος του \displaystyle{{\rm EB}}.
B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_2.png
B_Epilogis_IMC_2017_KeyStageII_2.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Μάιος 02, 2017 2:16 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε πόσοι διψήφιοι περιττοί αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα.

(β) Να βρείτε πόσοι τριψήφιοι περιττοί αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

(γ) Να βρείτε πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του \displaystyle{3}. Πόσοι από αυτούς έχουν τουλάχιστον ένα ψηφίο ίσο με \displaystyle{3};
(a) Τα διψήφια τέλεια τετράγωνα είναι: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Από αυτά, περιττά είναι τα: 25, 49, 81. Άρα, υπάρχουν 3 διψήφια περιττά τέλεια τετράγωνα.

(\beta) Συνολικά υπάρχουν 1000 τριψήφιοι. Από αυτούς, οι 500 είναι περιττοί και οι 32 είναι τέλεια τετράγωνα, από το 10^{2} μέχρι το 31^{2}.

Στα 32 τέλεια τετράγωνα, τα 11 είναι περιττά. Άρα, υπάρχουν 500-11=489 τριψήφιοι περιττοί αριθμοί που δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

(\gamma) Συνολικά υπάρχουν 10000 τετραψήφιοι. Από αυτούς, οι \dfrac{9999-1002}{3}=2999 είναι πολλαπλάσια του 3.

Αν το ψηφίο των χιλιάδων ισούται με 3, έχω ότι οι περιπτώσεις για τα υπόλοιπα ψηφία είναι όσα και τα τριψήφια πολλαπλάσια του 3, δηλαδή 329.

Ομοίως και για τα υπόλοιπα. Άρα, από τα 2999 τα 329 \cdot 4=1316 έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο ίσο με 3.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/KeyStage II, 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Μάιος 02, 2017 2:38 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Στο πιο κάτω σχήμα το \displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}} είναι ορθογώνιο με \displaystyle{{\rm A\Delta}=4~\text{cm}} και \displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}=6~\text{cm}}. Αν \displaystyle{{\rm E\Delta}=1~\text{cm}, {\rm ZB}=2~\text{cm}} και η \displaystyle{{\rm AH}} είναι κάθετη στην \displaystyle{{\rm EZ}}, να υπολογίσετε:
(α) το εμβαδόν του πενταπλεύρου \displaystyle{{\rm E\Delta\Gamma BZ}}
(β) το μήκος της \displaystyle{{\rm AH}}
(a) ΕAEZ=\dfrac{AE \cdot AZ}{2}=6cm^{2}
ΕΑB \Gamma \Delta=AB \cdot \Gamma \Delta=24cm^{2}
ΕE \Delta \Gamma BZ=24-6=18cm^{2}

(\beta) Κάνω Π.Θ. στο AEZ:

EZ^{2}=AE^{2}+AZ^{2} \Rightarrow EZ=5

Άρα, έχω:

ΕAEZ=\dfrac{AH \cdot EZ}{2}=6cm^{2} \Rightarrow AH=2,4


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης