Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2017
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 9η τάξη.
1. Ο υπολογιστής του Αλέξανδρου μπορεί να κάνει δυο διαδικασίες. Αν τον φορτώσουμε με μια κάρτα με τον αριθμό

, τότε αυτός την επιστρέφει πίσω καθώς και άλλη μια με τον αριθμό

. Αν τον φορτώσουμε διαδοχικά με κάρτες που έχουν τους αριθμούς

και

, τότε αυτός τις επιστρέφει πίσω και επίσης εκτυπώνει κάρτες με όλες τις ρίζες του τριωνύμου

(μία, δύο, ή καμία). Αρχικά ο Αλέξανδρος είχε μόνο την κάρτα με τον αριθμό

. Είναι άραγε αληθές, ότι για οποιοδήποτε

ο Αλέξανδρος θα μπορέσει κάποια στιγμή να λάβει κάρτα με τον αριθμό

;
2. Σε τρίγωνο

και στην πλευρά

βρέθηκε σημείο

, ώστε

. Το σημείο

είναι το συμμετρικό του κέντρου

του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

ως προς το σημείο

. Να αποδείξετε, ότι το

είναι κάθετο στο

, όπου

το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

που εφάπτεται της πλευράς

.
3. Ο Πέτρος, ο Νίκος και η Μαρία παίζουν με ένα πίνακα διαστάσεων

το ακόλουθο παιχνίδι. Με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος, έπειτα ο Νίκος, έπειτα η Μαρία, έπειτα πάλι ο Πέτρος κ.ο.κ.) χρωματίζουν τα ακριανά κελιά του πίνακα (δηλαδή αυτά που έχουν κοινή πλευρά με το περίγραμμα του πίνακα). Απαγορεύεται να χρωματίσουν κελί γειτονικό κατά πλευρά με ήδη χρωματισμένο. Εκτός από αυτό, απαγορεύεται να χρωματίσουν κελί συμμετρικό, ως προς το κέντρο του πίνακα, ενός ήδη χρωματισμένου. Χάνει, αυτός που δεν μπορεί να κάνει κίνηση. Μπορούν άραγε ο Νίκος και η Μαρία να συνεννοηθούν μεταξύ τους και να παίξουν έτσι, ώστε να χάσει ο Πέτρος;
4. Στα κελιά ενός πίνακα

είναι γραμμένοι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί. Σε κάθε μια από τις τρείς γραμμές του πίνακα συναντώνται από μια φορά οι αριθμοί

. Για κάθε στήλη το άθροισμα των γινομένων ανά δυο των τριών αριθμών που την αποτελούν, διαιρείται με το

. Για ποια

αυτό μπορεί να συμβεί;
Καταληκτική αίθουσα
5. Η γωνία

μη ισοσκελούς τρίγωνου

είναι ίση με

. Το σημείο

είναι η βάση του ύψους από την κορυφή

. Στις πλευρές

και

βρέθηκαν σημεία

και

αντίστοιχα τέτοια, ώστε

και το τετράπλευρο

να είναι εγγράψιμο. Να βρείτε την γωνία

.
6. Οι αριθμοί

και

ανήκουν στο διάστημα

και ικανοποιούν την ισότητα

. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση

;
7. Θα ονομάσουμε «τετραγωνισμένο τεταρτημόριο» το πρώτο τεταρτημόριο ενός ορθοκανονικού συστήματος, διαμερισμένο σε τετράγωνα πλευράς 1. Σε τετραγωνισμένο τεταρτημόριο είναι χρωματισμένα

τετράγωνα. Να αποδείξετε, ότι σε αυτό θα βρεθούν τουλάχιστον

τετράγωνα (συμπεριλαμβανομένου, ήδη χρωματισμένων), γειτονικά κατά πλευρά τουλάχιστον με ένα χρωματισμένο.