Η είναι παραγωγισιμη(από σχέση (2)) και με παραγώγιση προκύπτει ότι είναι γνησίως μονότονη()christinat έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 25, 2020 10:33 pmΘέματα μεγάλων
3)Θέτοντας στην αρχική σχέση (1) προκύπτει ότι
Αν τότε (2)
Αν τότε
Έστω
Οποτε (3)
Θέτω στην αρχική :
(4)
Έστω για κάθε πραγματικό
Αν :
Έστω , πραγματικοί αριθμοί και
Τότε
Αρα από την σχέση (2) έπεται ότι επομένως η είναι «1-1»
Η είναι συνεχής ως πράξη συνεχών συναρτήσεων
, όπου
και
Αφού συνεχής στο ισχύει ότι :
Έστω ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής σε κάποιον πραγματικό
Έτσι (A)
Αν πραγματικός:
Τότε η
είναι συνεχής στο αφού η συνεχής στο l( συνεχής στο )
οποτε:
Επομένως και αφού “1-1” θα είναι ,άτοπο από σχέση (A)
Αν τότε προφανώς
Συνεπώς το βγαίνει άπειρο ,άτοπο αφού συνεχής
Άρα συνεχής
Επομένως και η συνεχής
Επειδή η είναι και συνεχής και «1-1» ,θα είναι γνησίως μονότονη
Απόδειξη:
Έστω με
Αν τότε:
Αφού συνεχής στο , και από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Και επειδή η είναι «1-1» θα ισχύει ότι
Οποτε ,άτοπο
Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και στις περιπτώσεις που
ή ή
Οπότε ή
Από σχέση (2) έπεται ότι το σύνολο τιμών της είναι όλο το
Επομένως το σύνολο τιμών της είναι το *(αποδεικνύεται)
Οπότε υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε
Θέτω στην αρχική :
Αρα αρκεί
Από σχέση (4) για βγαίνει (5)
Θέτω στην σχέση (5) :
Αν τότε για κάθε πραγματικό αριθμό
,άτοπο
Η αρχική σχέση μέσω της σχέσης (5) γίνεται :
(6)
Θέτοντας στην σχέση (2) προκύπτει ότι
αφού
«1-1»
Θέτω στην σχέση (6) όπου
Τότε
Για :
και με αλλαγή μεταβλητής είναι
Στην σχέση (5):
Έστω
Άρα και