mathematica.gr

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 12 Μαρτίου 2017 - 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Αντικαταστήστε στην παράσταση τα γράμματα με ψηφία, χρησιμοποιώντας όλα τα ψηφία από το 1 έως το 6 από μια ακριβώς φορά έτσι, ώστε αυτή να αληθεύει. (Επεξήγηση: με συμβολίζουμε ένα διψήφιο αριθμό με ψηφία και , στη δύναμη , είναι αρκετό να φέρετε ένα παράδειγμα αντικατάστασης.)


Πρόβλημα 2. Στο επίπεδο δίνεται τρίγωνο και 10 ευθείες, καμία εκ των οποίων δεν είναι παράλληλη με άλλη. Προέκυψε, ότι κάθε ευθεία ισαπέχει από κάποιες δυο κορυφές του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.


Πρόβλημα 3. Στην περιφέρεια κύκλου είναι γραμμένοι 100 μη μηδενικοί αριθμοί. Μεταξύ κάθε δυο γειτονικών αριθμών γράφουμε το γινόμενο τους και οι παλιοί αριθμοί διαγράφονται. Το πλήθος των θετικών αριθμών δεν άλλαξε. Ποιό είναι το ελάχιστο πλήθος θετικών αριθμών που μπορεί να υπήρχαν αρχικά;


Πρόβλημα 4. Σε κυρτό εξάγωνο ABCDEF όλες οι πλευρές είναι ίσες και . Να αποδείξετε, ότι σε αυτό μπορεί να εγγραφεί κύκλος (δηλαδή υπάρχει κύκλος στο εσωτερικό του εξάγωνου, που εφάπτεται όλων των πλευρών του).


Πρόβλημα 5. Ένας καθηγητής βάζει βαθμούς στην κλίμακα από 0 έως 100. Στην γραμματεία μπορούν να αλλάξουν το άνω όριο της κλίμακας σε οποιοδήποτε άλλο μη μηδενικό φυσικό αριθμό και να κάνουν προσαρμογή του βαθμού αναλογικά στη νέα κλίμακα στρογγυλοποιώντας σε ακέραιο. Οι μη ακέραιοι αριθμοί στρογγυλοποιούνται στον πλησιέστερο ακέραιο. Αν το δεκαδικό μέρος είναι ίσο με 0,5, η γραμματεία στρογγυλοποιεί σε οποιονδήποτε πλησιέστερο ακέραιο, ξεχωριστά για κάθε βαθμό. (Για παράδειγμα, ο βαθμός 37 στην κλίμακα 100 μετά την προσαρμογή στην κλίμακα 40 μετατρέπεται σε και στρογγυλοποιείται στο 15.) Οι φοιτητές Πέτρος και Βασίλης πήραν τους βαθμούς και αντίστοιχα, διαφορετικούς από 0 και 100. Να αποδείξετε, ότι η γραμματεία μπορεί να κάνει μερικές προσαρμογές βαθμών έτσι, ώστε ο Πέτρος να πάρει τον βαθμό και ο Βασίλης τον βαθμό (η προσαρμογή γίνεται ταυτόχρονα και για τους δυο βαθμούς).


Πρόβλημα 6. Ο τζίτζικας μπορεί να κάνει άλματα σε μια τετραγωνισμένη λωρίδα πλάτους ενός κελιού κατά 8,9 ή 10 κελιά προς οποιαδήποτε πλευρά. ( Άλμα κατά κελιά σημαίνει ότι μεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης του άλματος του τζίτζικα υπάρχουν κελιά.). Θα ονομάσουμε τον φυσικό αριθμό «αλλόμενο», εάν ο τζίτζικας μπορεί ξεκινώντας από κάποιο κελί, να περάσει μια λωρίδα μήκους , περνώντας από κάθε κελί της μια ακριβώς φορά. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει μη αλλόμενος , μεγαλύτερος του 50.


Στατιστικά: (1861 συμμετοχές)


Σημείωση: Σύμφωνα με την πηγή που είναι η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας εδώ. «Τα θέματα και οι λύσεις διατίθενται ελεύθερα για μη εμπορική χρήση (με επιθυμητή την αναφορά στην πηγή κατά την ανατύπωση)».

Πρόβλημα 1



Θα γράψω σε λιγο τον τροπο σκέψης μου.

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 12 Μαρτίου 2017 - 8η τάξη

Πρόβλημα 2. Στο επίπεδο δίνεται τρίγωνο και 10 ευθείες, καμία εκ των οποίων δεν είναι παράλληλη με άλλη. Προέκυψε, ότι κάθε ευθεία ισαπέχει από κάποιες δυο κορυφές του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Παρατηρούμε ότι για να ισαπέχει μια ευθεία από δυο κορυφές ενός τριγώνου θα πρέπει είτε να είναι παράλληλη προς την πλευρά που ορίζουν (στην περίπτωση που δεν τέμνει τον φορέα της πλευράς), είτε να διέρχεται από το μέσο της πλευράς. Πράγματι οι κάθετες από τις κορυφές του τριγώνου προς την ευθεία ορίζουν παραλληλόγραμμο (δυο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες).Αρα οι διαγώνιοί του, που η μία είναι η πλευρά που ορίζουν οι κορυφές και η αλλή έχει φορέα την ευθεία προς εξέταση, θα διχοτομούνται.

Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν τρεις ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο. Τότε θα έχουμε το πολύ 6 ευθείες που διέρχονται από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου και αλλές τρεις που θα είναι παράλληλες προς τις πλευρές. Μένει μια ευθεία που θα πρέπει να είναι κι αυτή παράλληλη προς κάποια άλλη, γεγονός που αντιβαίνει στην υπόθεση ότι καμία δεν είναι παράλληλη με άλλη (άτοπο). Άρα υπάρχουν τρεις ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Πρόβλημα 4. Σε κυρτό εξάγωνο ABCDEF όλες οι πλευρές είναι ίσες και . Να αποδείξετε, ότι σε αυτό μπορεί να εγγραφεί κύκλος (δηλαδή υπάρχει κύκλος στο εσωτερικό του εξάγωνου, που εφάπτεται όλων των πλευρών του).

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα ( κοινή πλευρά, , ). Επομένως τα σημεία ισαπέχουν από την και άρα . Δηλαδή το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο και ας είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τότε το θα βρίσκεται στη κοινή μεσοκάθετο των τμημάτων . Σε αυτή την μεσοκάθετο όμως θα βρίσκονται και οι κορυφές των τριγώνων αντίστοιχα, αφού είναι ισοσκελή με βάσεις τις βάσεις του τραπεζίου. Οπότε και η διέρχεται από το .

Η ως μεσοκάθετος θα είναι και διχοτόμος των γωνιών των ισοσκελών τριγώνων . Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η είναι διχοτόμος των γωνιών και διχοτόμος των γωνιών . Δηλαδή το είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του πολυγώνου και άρα θα ισαπέχει από κάθε πλευρά του. Αν γράψουμε το κύκλο με κέντρο το και ακτίνα την απόσταση του απο τις πλευρές, τότε αυτός θα είναι ο ζητούμενος εγγεγραμμένος κύκλος.

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 3. Στην περιφέρεια κύκλου είναι γραμμένοι 100 μη μηδενικοί αριθμοί. Μεταξύ κάθε δυο γειτονικών αριθμών γράφουμε το γινόμενο τους και οι παλιοί αριθμοί διαγράφονται. Το πλήθος των θετικών αριθμών δεν άλλαξε. Ποιό είναι το ελάχιστο πλήθος θετικών αριθμών που μπορεί να υπήρχαν αρχικά;

Αν βάλουμε θετικούς αριθμούς στις θέσεις και αρνητικούς στις υπόλοιπες, τότε θα έχουμε θετικούς αριθμούς και πριν και μετά την διαδικασία.

Δεν μπορούμε να έχουμε λιγότερους. Πράγματι έστω ότι έχουμε θετικούς αριθμούς. Αυτοί χωρίζουν τον κύκλο σε τόξα. Έστω ότι σε αυτά τα τόξα υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί. Πρέπει . Το τόξο που έχει αρνητικούς αριθμούς, δίνει τουλάχιστον θετικούς αριθμούς. Άρα μετά την διαδικασία θα έχουμε τουλάχιστον



θετικούς αριθμούς, άτοπο.

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 6. Ο τζίτζικας μπορεί να κάνει άλματα σε μια τετραγωνισμένη λωρίδα πλάτους ενός κελιού κατά 8,9 ή 10 κελιά προς οποιαδήποτε πλευρά. ( Άλμα κατά κελιά σημαίνει ότι μεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης του άλματος του τζίτζικα υπάρχουν κελιά.). Θα ονομάσουμε τον φυσικό αριθμό «αλλόμενο», εάν ο τζίτζικας μπορεί ξεκινώντας από κάποιο κελί, να περάσει μια λωρίδα μήκους , περνώντας από κάθε κελί της μια ακριβώς φορά. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει μη αλλόμενος , μεγαλύτερος του 50.

Θα δείξουμε ότι ο δεν είναι αλλόμενος.

Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι υπάρχει, και έστω μια ακολουθία κελιών που πιστοποιεί ότι ο είναι αλλόμενος.

Από αυτήν την ακολουθία διαγράφουμε τα κελια με , με , και με . Συνολικά διαγράψαμε κελιά. Στην ακολουθία έχουν μείνει κελιά. Δύο από αυτά πρέπει να είναι διαδοχικά στην ακολουθία αφού η διαγραφή κελιών αφήνει το πολύ ομάδες διαδοχικών κελιών ενώ εμείς έχουμε κελιά.

Όμως από τα κελία που έμειναν, δηλαδή τα με , με , με , και με , δεν μπορούν να υπάρχουν δύο διαδοχικά κελιά στην ακολουθία.