Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω

θετικός ακέραιος. Αν οι $a_1,a_2,\dots,a_n$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ , τότε να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. }$

ΘΕΜΑ 2. Έστω ABCD

ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω

ένα σημείο στην πλευρά

τέτοιο ώστε $\angle APD=\angle BPC=45^{\circ}.$ Εάν

είναι το σημείο τομής της ευθείας

με τη μεσοκάθετο του τμήματος

, να δειχθεί ότι $\angle CQD=90^{\circ}.$

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z,w

τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2&=10w-1\\ y^2&=13w-1\\ z^2&=85w-1.\\ \end{aligned}}$

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος

για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο

με ακριβώς

στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του

είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία a,b

του

, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους

δεν ανήκει στο

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

harrisp · #2

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι $a_1,a_2,\dots,a_n$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ , τότε να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. }$

Απο

εχουμε οτι $RHS\geq \dfrac {n}{2}$ .

Όμως ειναι $\dfrac {x}{x^2+1}\leq 1/2$ και το ζητούμενο γινεται προφανές.

JimNt. · #3

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο

Διαγραφή εσφαλμένης λύσης.

#4

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 2. Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω ένα σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε $\angle APD=\angle BPC=45^{\circ}.$ Εάν είναι το σημείο τομής της ευθείας με τη μεσοκάθετο του τμήματος , να δειχθεί ότι $\angle CQD=90^{\circ}.$

: TEST-3.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές

● Προφανώς $D\widehat PC=90^0.$ Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται στην πλευρά

στο

Τότε $C\widehat DP=C\widehat PB=45^0$ (σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), οπότε το PDC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα το

βρίσκεται στη μεσοκάθετη του

και ταυτίζεται με το σημείο

● Αν το ημικύκλιο διαμέτρου

δεν εφάπτεται στην πλευρά AB,

τότε επειδή έχει ένα κοινό σημείο

με την

θα την τέμνει και σε ένα δεύτερο σημείο, έστω

Τότε $C\widehat DQ=C\widehat PQ=45^0$ (ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο). Άρα το

βρίσκεται στη μεσοκάθετη του

και το ισοδύναμο ζητούμενο αποδείχτηκε.

#5

JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο

Ορίζουμε τα στοιχεία του : . Από την εκφώνηση προκύπτει ότι $\Leftrightarrow$ . Συνεπώς, $a_1\ge 45$ . Επομένως, αφού θέλουμε το μέγιστο , $\boxed{n\le 2016-45+1=1972}$ . (μου φαίνεται πως κάτι δεν πάει καλά...)

Η διαίσθηση σου είναι σωστή. Αλλά τι δεν πάει καλά;

Φιλικά,

Αχιλλέας

raf616 · #6

achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μια λύση για αυτό:

Καταρχάς, αν $n \geq 2$ , δεν μπορεί ο

να περιέχεται στο

.

Θεωρούμε τώρα τις τριάδες:

$\\T_1 = \{2, 1008, 2016\} \\ T_2 = \{3, 671, 2013\} \\T_3 = \{4, 503, 2012\} \\T_4 = \{5, 403, 2015\} \\T_5 = \{6, 335, 2010\}$

οι οποίες είναι της μορφής (a_i, a_j, a_k)

και για τις οποίες ισχύει $a_i\cdot a_j = a_k$ .

Επομένως, από καθεμία από αυτές μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ

στοιχεία.

Παρατηρούμε, ακόμα, πως κανένας εκ των αριθμών a_j, a_k

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Θεωρούμε, τώρα, δυάδες της μορφής (k, k^2)

με $7 \leq k \leq 44$ , οι οποίες είναι

το πλήθος. Τότε αφού 44^2 < 2016

από καθεμία από αυτές

μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ ένα στοιχείο.

Για τους εναπομείναντες μέχρι το 2016

αριθμούς έχουμε πως είναι το πλήθος $2016 - 38\cdot 2 - 5 \cdot 3 - 1 = 1924$

(δε λαμβάνουμε υπόψη ούτε τον

).

Άρα $n \leq 1924 + 1 \cdot 38 + 2 \cdot 5 = 1972$ .

Για n = 1972

επιλέγουμε $S = \{45, 46, \cdots 2016\}$ το οποίο ικανοποιεί τα ζητούμενα αφού το ελάχιστο δυνατό γινόμενο δύο στοιχείων είναι

45^2 > 2016

και άρα κανένα γινόμενο δύο στοιχείων του

δεν ανήκει στο

.

#7

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2&=10w-1\\ y^2&=13w-1\\ z^2&=85w-1.\\ \end{aligned}}$

Επαναφορά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι $a_1,a_2,\dots,a_n$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ , τότε να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. }$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Η $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x+1},x>0$

με δεύτερη παράγωγο βγαίνει κοίλη.

Η Jensen μετά το βγάζει.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #9

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2&=10w-1\\ y^2&=13w-1\\ z^2&=85w-1.\\ \end{aligned}}$

Τις γράφω στην μορφή $\left\{\begin{matrix} & 10w=x^2+1 & \\ & 13w=y^2+1 & \\ & 85w=z^2+1 & \end{matrix}\right.$
οπότε διώχνω το

και προκύπτουν οι 13x^2+3=10y^2,17x^2+15=2z^2

Από αυτές προκύπτει ότι

περιττός και $\pmod 4$ έχω y,z

άρτιοι.
Τις αφαιρώ κατά μέλη άρα $4x^2+12=2z^2-10y^2\Leftrightarrow 2x^2+6=z^2-5y^2$ .
Θέτω z=2z_1,y=2y_1

και παίρνω x^2+3=2z_1^2-10y_1^2

Αυτή $\pmod 8$ δίνει $4=2z_1^2-10y_1^2\pmod8\Rightarrow 2+5y_1^2=z_1^2\pmod 8\Leftrightarrow 2+y_1^2=z_1^2\pmod 4$ πράγμα άτοπο αφού $y_1^2+2=2,3\not \equiv 0,1=z_1^2\pmod 4$

Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μέλη σε σύνδεση