Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω n θετικός ακέραιος. Αν οι a_1,a_2,\dots,a_n είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1+a_2+\cdots+a_n=n, τότε να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
	\dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. 
	}


ΘΕΜΑ 2. Έστω ABCD ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω P ένα σημείο στην πλευρά AB τέτοιο ώστε \angle APD=\angle BPC=45^{\circ}. Εάν Q είναι το σημείο τομής της ευθείας AB με τη μεσοκάθετο του τμήματος CD, να δειχθεί ότι \angle CQD=90^{\circ}.

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z,w τέτοιοι ώστε

\displaystyle{\begin{aligned} 
	x^2&=10w-1\\ 
	y^2&=13w-1\\ 
	z^2&=85w-1.\\ 
\end{aligned}}


ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο S με ακριβώς n στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του S είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία a,b του S, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους ab δεν ανήκει στο S.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Φεβ 24, 2017 8:41 pm

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω n θετικός ακέραιος. Αν οι a_1,a_2,\dots,a_n είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1+a_2+\cdots+a_n=n, τότε να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
	\dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. 
	}
Απο Andreescu εχουμε οτι RHS\geq \dfrac {n}{2}.

Όμως ειναι \dfrac {x}{x^2+1}\leq 1/2 και το ζητούμενο γινεται προφανές.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Παρ Φεβ 24, 2017 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 24, 2017 9:00 pm

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο S με ακριβώς n στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του S είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία a,b του S, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους ab δεν ανήκει στο S.
Διαγραφή εσφαλμένης λύσης.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Φεβ 25, 2017 11:11 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 25, 2017 1:02 am

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 2. Έστω ABCD ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω P ένα σημείο στην πλευρά AB τέτοιο ώστε \angle APD=\angle BPC=45^{\circ}. Εάν Q είναι το σημείο τομής της ευθείας AB με τη μεσοκάθετο του τμήματος CD, να δειχθεί ότι \angle CQD=90^{\circ}.
TEST-3.png
TEST-3.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές
● Προφανώς D\widehat PC=90^0. Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου CD εφάπτεται στην πλευρά AB στο P. Τότε C\widehat DP=C\widehat PB=45^0 (σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), οπότε το PDC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα το P βρίσκεται στη μεσοκάθετη του CD και ταυτίζεται με το σημείο Q.

● Αν το ημικύκλιο διαμέτρου CD δεν εφάπτεται στην πλευρά AB, τότε επειδή έχει ένα κοινό σημείο P με την AB, θα την τέμνει και σε ένα δεύτερο σημείο, έστω Q. Τότε C\widehat DQ=C\widehat PQ=45^0 (ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο). Άρα το Q βρίσκεται στη μεσοκάθετη του CD και το ισοδύναμο ζητούμενο αποδείχτηκε.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 5:06 am

JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο S με ακριβώς n στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του S είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία a,b του S, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους ab δεν ανήκει στο S.
Ορίζουμε τα στοιχεία του S: a_1<a_2<....<a_n<2017. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι a_1^2>2016 \Leftrightarrow a_1>44. Συνεπώς, a_1\ge 45. Επομένως, αφού θέλουμε το μέγιστο ,\boxed{n\le 2016-45+1=1972} . (μου φαίνεται πως κάτι δεν πάει καλά...)
Η διαίσθηση σου είναι σωστή. Αλλά τι δεν πάει καλά;

Φιλικά,

Αχιλλέας


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Κυρ Φεβ 26, 2017 6:44 pm

achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο S με ακριβώς n στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του S είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία a,b του S, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους ab δεν ανήκει στο S.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
Μια λύση για αυτό:

Καταρχάς, αν n \geq 2, δεν μπορεί ο 1 να περιέχεται στο S.

Θεωρούμε τώρα τις τριάδες:

\\T_1 = \{2, 1008, 2016\} \\ 
T_2 = \{3, 671, 2013\} \\T_3 = \{4, 503, 2012\} \\T_4 = \{5, 403, 2015\} \\T_5 = \{6, 335, 2010\}

οι οποίες είναι της μορφής (a_i, a_j, a_k) και για τις οποίες ισχύει a_i\cdot a_j = a_k.

Επομένως, από καθεμία από αυτές μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ 2 στοιχεία.

Παρατηρούμε, ακόμα, πως κανένας εκ των αριθμών a_j, a_k δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Θεωρούμε, τώρα, δυάδες της μορφής (k, k^2) με 7 \leq k \leq 44, οι οποίες είναι 38 το πλήθος. Τότε αφού 44^2 < 2016 από καθεμία από αυτές

μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ ένα στοιχείο.

Για τους εναπομείναντες μέχρι το 2016 αριθμούς έχουμε πως είναι το πλήθος 2016 - 38\cdot 2 - 5 \cdot 3 - 1 = 1924

(δε λαμβάνουμε υπόψη ούτε τον 1).

Άρα n \leq 1924 + 1 \cdot 38 + 2 \cdot 5 = 1972.

Για n = 1972 επιλέγουμε S = \{45, 46, \cdots 2016\} το οποίο ικανοποιεί τα ζητούμενα αφού το ελάχιστο δυνατό γινόμενο δύο στοιχείων είναι

45^2 > 2016 και άρα κανένα γινόμενο δύο στοιχείων του S δεν ανήκει στο S.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 11, 2020 12:32 am

achilleas έγραψε:
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z,w τέτοιοι ώστε

\displaystyle{\begin{aligned} 
	x^2&=10w-1\\ 
	y^2&=13w-1\\ 
	z^2&=85w-1.\\ 
\end{aligned}}
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3347
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 11, 2020 10:27 pm

achilleas έγραψε:
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Έστω n θετικός ακέραιος. Αν οι a_1,a_2,\dots,a_n είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1+a_2+\cdots+a_n=n, τότε να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
	\dfrac{a_1}{a_1^2+1}+\dfrac{a_2}{a_2^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_n^2+1}\leq \dfrac{1}{a_1+1}+\dfrac{1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n+1}. 
	}

Φιλικά,

Αχιλλέας
Η \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x+1},x>0

με δεύτερη παράγωγο βγαίνει κοίλη.

Η Jensen μετά το βγάζει.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 15, 2020 1:30 pm

achilleas έγραψε:
Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pm


ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z,w τέτοιοι ώστε

\displaystyle{\begin{aligned} 
	x^2&=10w-1\\ 
	y^2&=13w-1\\ 
	z^2&=85w-1.\\ 
\end{aligned}}
Τις γράφω στην μορφή \left\{\begin{matrix} & 10w=x^2+1 & \\ & 13w=y^2+1 & \\ & 85w=z^2+1 & \end{matrix}\right.
οπότε διώχνω το w και προκύπτουν οι 13x^2+3=10y^2,17x^2+15=2z^2
Από αυτές προκύπτει ότι x περιττός και \pmod 4 έχω y,z άρτιοι.
Τις αφαιρώ κατά μέλη άρα 4x^2+12=2z^2-10y^2\Leftrightarrow 2x^2+6=z^2-5y^2.
Θέτω z=2z_1,y=2y_1 και παίρνω x^2+3=2z_1^2-10y_1^2
Αυτή \pmod 8 δίνει 4=2z_1^2-10y_1^2\pmod8\Rightarrow 2+5y_1^2=z_1^2\pmod 8\Leftrightarrow 2+y_1^2=z_1^2\pmod 4 πράγμα άτοπο αφού y_1^2+2=2,3\not \equiv 0,1=z_1^2\pmod 4


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες